河北省保定市安国市2024-2025学年九年级上学期期中数学试题（解析版）-A4

第页2024—2025学年度第一学期期中数学质量监测九年级数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（）A.2 B. C.2或 D.【答案】A【解析】【分析】本题考查一元二次方程定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案．【详解】解：是关于的一元二次方程，，即由一个根，代入，可得，解之得；由得；故选A2.如图，四边形是平行四边形，从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，能使是正方形的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了正方形的判定，用概率公式求概率，掌握正方形的判定方法和概率公式是解题的关键．根据从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，共有①②、①③、②③，3种方法，由正方形的判定方法，可得①②、①③共有2种可判定平行四边形是正方形．再根据概率公式求解即可．【详解】解：从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，共有①②、①③、②③，3种方法，由正方形的判定方法，可得①②、①③共有2种可判定平行四边形是正方形．∴，从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，能使是正方形的概率为．故选：A．3.小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是-2和．则原来的方程是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中，，逐项分析判断，即可求解．【详解】解：∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是和；∴，又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是-2和．∴A.中，，，故该选项不符合题意；B中，，，故该选项符合题意；C.中，，，故该选项不符合题意；D.中，，，故该选项不符合题意；故选：B．4.如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点P表示的数是（）A. B.2 C. D.5【答案】C【解析】【分析】设P点表示的数为x，则根据平行线分线段成比例可得，解分式方程再进行检验，符合题意即可解答．【详解】解：设P点表示的数为x，则根据平行线分线段成比例可得：解得，经检验，是分式方程的解且符合实际意义，即P点表示的数为．故选：C．【点睛】本题考查平行线分线段成比例和分式方程，解题的关键是根据平行线分线段成比例列出分式方程．5.下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据菱形的判定方法逐一进行判断即可．【详解】解：A、根据等角对等边可得平行四边形的两条邻边相等，即可得到平行四边形为菱形，不符合题意；B、根据三角形的内角和定理，得到平行四边形的对角线互相垂直，即可得到平行四边形为菱形，不符合题意；C、根据同旁内角互补，两直线平行，不能得到平行四边形是菱形，符合题意；D、根据平行四边形的对边平行，两直线平行，内错角相等，以及等角对等边可得平行四边形的两条邻边相等，即可得到平行四边形为菱形，不符合题意；故选C．【点睛】本题考查菱形的判定．熟练掌握菱形的判定方法，是解题的关键．6.已知关于的一元二次方程，其中，满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（）A.无实数根 B.有两个不相等的实数根C.有两个相等的实数根 D.无法确定【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，根据题意求出，再求出的符号即可得到结论．【详解】解：∵，∴，∴，，∴原方程无实数根，故选：A．7.如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据相似三角形的判定逐项进行分析即可．此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定三角形相似的方法是解题的关键．【详解】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；B、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；C、两三角形的两对应边成比例，但夹角不相等，故两三角形不相似，故本选项符合题意；D、阴影三角形中，两边分别为，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．故选：C．8.如图，含角的直角三角尺的斜边与矩形直尺的边在同一直线上，此时直尺的另一边与直角三角尺的直角边的交点D恰好是的中点，若，则的长为（）A.4 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形的应用，掌握直角三角形的性质，灵活运用锐角三角函数是解题关键．过点作于点，由矩形的性质可得，利用锐角三角函数求出，进而得到，再根据30度角所对的直角边等于斜边一半，即可求出的长．【详解】解：如图，过点作于点，由题意可知，，，，四边形是矩形，，，，在中，，，是的中点，在中，，，故选：D9.如图，矩形各顶点的坐标分别为O0,0，，，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是（）

A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了位似图形的性质，根据题意横纵的坐标乘以，即可求解．【详解】解：依题意，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是故选：D．10.如图，已知，，是正边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正边形的外部作正方形．若，则的值为（）A.12 B.10 C.8 D.6【答案】A【解析】【分析】本题考查的是正多边形的性质，正多边形的外角和，先求解正多边形的1个内角度数，得到正多边形的1个外角度数，再结合外角和可得答案.【详解】解：∵正方形，∴，∵，∴，∴正边形的一个外角为，∴的值为；故选A11.如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（）A.2 B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】结合图象，得到当时，，当点P运动到点B时，，根据菱形的性质，得，继而得到，当点P运动到中点时，的长为，解得即可．本题考查了菱形的性质，图象信息题，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键．【详解】结合图象，得到当时，，当点P运动到点B时，，根据菱形的性质，得，故，当点P运动到中点时，的长为，故选C．12.如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查的是相似三角形的性质，锐角三角函数的应用，规律探究；先求解，可得，再进一步探究即可；【详解】解：∵12个相似的直角三角形，∴，，∵，∴，，，∴，故选C二、填空题．（本大题4个小题，每小题3分，共12分．第15题、16题含两个空，第一空1分，第二空2分．）13.如图，李师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．其中的道理是____________________．【答案】对角线相等的平行四边形是矩形【解析】【分析】本题考查了矩形的判定，解题的关键是掌握矩形的判定．根据已知条件和矩形的判定进行解答即可得．【详解】解：∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴测量两组对边的长度是否分别相等，判定四边形是否为平行四边形，∵对角线相等的平行四边形为矩形，∴要测量它们的两条对角线是否相等，故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形．14.用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为____________．【答案】【解析】【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先利用配方法将一元二次方程化为，从而得到的值，最后代入计算即可．【详解】解：移项得，∴即故答案为：．15.已知，（1）____________；（2）____________．【答案】①.②.【解析】【分析】本题考查了比例的性质；（1）根据比例的性质即可求解；（2）根据比例的性质设，代入代数式化简，即可求解．【详解】解：（1）∵，∴，故答案为：．（2）设，∴．故答案为：．16.如图，正方形的边长为，对角线相交于点，点在的延长线上，，连接．（1）线段的长为______；（2）若为的中点，则线段的长为______．【答案】①.2②.##【解析】【分析】本题考查正方形的性质，中位线定理，正确添加辅助线、熟练运用中位线定理是解题的关键；（1）运用正方形性质对角线互相平分、相等且垂直，即可求解，（2）作辅助线，构造中位线求解即可．【详解】（1）四边形是正方形，，在中，，，，；（2）延长到点，使，连接由点向作垂线，垂足为∵为的中点，为的中点，∴为的中位线，在中，，，在中，，为的中位线，；故答案为：2；.三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.按要求解下列一元二次方程（1）（公式法）（2）（配方法）（3）（因式分解法）【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程；（1）先化为一般形式，然后根据求根公式，解一元二次方程，即可求解．（2）先化二次项系数为，再配方法得出，进而直接开平方即可求解．（3）先移项，然后根据因式分解法得，即可求解．【小问1详解】解：，即，∴，，∴，即；【小问2详解】解：，∴，∴，∴，∴，即或，解得：；【小问3详解】解：，∴，∴，即，∴或，解得：．18.如图，测量小玻璃管口径的量具，的长为10厘米，被分为60等份．如果小玻璃管口正好对着量具上等份处（平行），那么小玻璃管口径是多大？【答案】小玻璃管口径是厘米【解析】【分析】本题考查了相似三角形的应用，证明，根据对应边成比例，列出比例式，进而即可求解．【详解】解：依题意，，，∴，∴即解得：答：小玻璃管口径是厘米．19.已知关于x的方程．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程的一个根为，求k的值及方程的另一个根．【答案】（1）见详解（2），另一根为【解析】【分析】（1）根据进行判断；（2）把代入方程即可求得，然后解这个方程即可；本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根；还有方程根的意义等；【小问1详解】证明：∵是一元二次方程，∴，无论取何实数，总有，，∴方程总有两个不相等的实数根．【小问2详解】解：把代入方程，有，整理，得．解得，此时方程可化为．解此方程，得，．∴方程的另一根为．20.九年级物理学习了电学知识后，小明选取了四个开关按键、一个电源、一个小灯泡和若干电线设计了如图的电路图（四个开关按键都处于打开状态）．（1）若闭合，则任意闭合其余三个开关按键中的一个，小灯泡能发光的概率为______；（2）求同时闭合其中的两个开关按键，灯泡能发光的概率．（用列表或树状图法）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接利用概率公式计算得出答案；（2）利用树状图列举出所有可能，进而求出答案．【小问1详解】若闭合，还剩下3个开关按键，只有闭合开关按键，灯泡才会发光，所以P（灯泡发光）；【小问2详解】用树状图分析如下：一共有12种不同的情况，其中有6种情况下灯泡能发光，所以P（灯泡发光）．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．21.如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为O0,0，，．（1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的位似比为；（2）画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的；（3）判断和是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点M，并写出点M的坐标．【答案】（1）图形见解析（2）图形见解析（3）和是位似图形，图中点M为所求位似中心，点M的坐标为．【解析】【分析】本题考查的是画位似图形，平移图形，判断两个图形位似，熟记位似的性质是解本题的关键；（1）分别确定O，A，B关于位似中心的对应点O，，，再顺次连接即可；（2）分别确定，，平移后的对应点，，，再顺次连接即可；（3）连接，，，由交点可得位似中心，从而可得答案.【小问1详解】解：如图，即为所作图形；【小问2详解】如图，即为所作图形；【小问3详解】由作图可知，，是相似三角形，又因为对应点所连直线经过同一个点，所以和是位似图形，点M为所求位似中心，点M的坐标为．22.如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形．（1）试判断四边形的形状，并说明理由；（2）已知矩形纸条宽度为，将矩形纸条旋转至如图2位置时，四边形的面积为，求此时直线所夹锐角的度数．【答案】（1）四边形菱形，理由见详解（2）【解析】【分析】本题主要考查矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角函数，掌握菱形的判定和性质是解题的关键．（1）根据矩形的性质可得四边形是平行四边形，作，可证，可得，由此可证平行四边形是菱形；（2）作，根据面积的计算方法可得，结合菱形的性质可得，根据含30°的直角三角形的性质即可求解．【小问1详解】解：四边形是菱形，理由如下，如图所示，过点作于点，过点作于点，根据题意，四边形EFGH，四边形是矩形，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∵宽度相等，即，且，∴，∴，∴平行四边形是菱形；【小问2详解】解：如图所示，过点作于点，根据题意，，∵，∴，由（1）可得四边形是菱形，∴，在中，，即，∴．23.2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨10元，就少卖100个．（1）若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？（2）商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升