2019年中考数学复习第四单元图形的初步认识与三角形第19讲解直角三角形练习

第19讲解直角三角形重难点1解直角三角形(2018·眉山)如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点O，则tan∠AOD＝2．【思路点拨】设以BC为顶点的小正方形为EKBC，连接BE，BE与CD相交于点F.由题意易得BF＝CF，△ACO∽△BKO.由相似三角形的对应边成比例，易得KO∶CO＝1∶3，即可得OF∶CF＝OF∶BF＝1∶2.在Rt△OBF中，即可求得tan∠BOF的值，继而求得答案．eq\x(方法指导)在网格中求某个角的锐角三角函数值，如果这个角是以格点为顶点的直角三角形的一个内角，可利用锐角三角函数的定义直接求解；若不是，则可利用相等的角转化或通过添加辅助线的方法，使这个角成为直角三角形的内角，再利用勾股定理和相似算出直角三角形的边长或对应边的比值，最后根据锐角三角函数的定义求解．(2018·上海)如图，在△ABC中，AB＝BC＝5，tan∠ABC＝eq\f(3,4).(1)求边AC的长；(2)设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求eq\f(AD,BD)的值．【思路点拨】(1)过点A作AE⊥BC，解Rt△ABE求出AE，BE，再根据勾股定理，即可在Rt△AEC中求出AC的长；(2)作DF垂直平分BC，则BF＝eq\f(1,2)BC，解Rt△BDF求出DF，再利用勾股定理求出BD，进而求出AD，则eq\f(AD,BD)的值即可求出．【自主解答】解：(1)过点A作AE⊥BC于点E.在Rt△ABE中，tan∠ABC＝eq\f(AE,BE)＝eq\f(3,4)，AB＝5.∴AE＝3，BE＝4，∴CE＝BC－BE＝5－4＝1.在Rt△AEC中，根据勾股定理，得AC＝eq\r(32＋12)＝eq\r(10).(2)作DF垂直平分BC，垂足为F，则BD＝CD，BF＝CF＝eq\f(5,2).∵tan∠DBF＝eq\f(DF,BF)＝eq\f(3,4)，∴DF＝eq\f(15,8).在Rt△BFD中，根据勾股定理，得BD＝eq\r(（\f(5,2)）2＋（\f(15,8)）2)＝eq\f(25,8).∴AD＝5－eq\f(25,8)＝eq\f(15,8).则eq\f(AD,BD)＝eq\f(3,5).eq\x(方法指导)解直角三角形的问题时，通常都是根据图形将已知条件在图形中表示出来，再根据要求的边或角并结合已知条件，寻找与之对应的边角关系来解题．重难点2解直角三角形的实际应用(2018·广安)据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，小强用所学知识对一条笔直公路上的车辆进行测速．如图，观测点C到公路的距离CD＝200m，检测路段的起点A位于点C的南偏东60°方向，终点B位于点C的南偏东45°方向上，一辆轿车由东向西匀速行驶，测得此车由A处行驶到B处的时间为10s，问此车是否超过了该路段16m/s的限制速度？(观测点C离地面的距离忽略不计．参考数据：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73)【思路点拨】根据速度＝eq\f(路程,时间)，而时间已知，故要求速度，则需要求出A到B的距离．解Rt△CDA和Rt△CDB分别求出DA和BD，则AB即可求出，进而可以求出AB的速度，与16m/s比较大小即可得出结论．【自主解答】解：由题意，得∠DCA＝60°，∠DCB＝45°.在Rt△CDB中，tan∠DCB＝eq\f(DB,DC)＝eq\f(DB,200)＝1.解得DB＝200.在Rt△CDA中，tan∠DCA＝eq\f(DA,DC)＝eq\f(DA,200)＝eq\r(3)，解得DA＝200eq\r(3).∴AB＝DA－DB＝200eq\r(3)－200≈146(m)．骑车速度v＝eq\f(AB,t)＝eq\f(146,10)＝14.6(m/s)＜16(m/s)．答：此车没有超过该路段16m/s的限制速度．(2018·遂宁)如图，某测量小组为了测量山BC的高度，在地面A处测得山顶B的仰角45°，然后沿着坡度i＝1∶eq\r(3)的坡面AD走了200米到达D处，此时在D处测得山顶B的仰角为60°，求山高BC.(结果保留根号)【思路点拨】过点D作DF⊥AC，则DF＝EC，∴BC＝BE＋DF.解Rt△BDE和Rt△DAF分别求出BE，DF即可求解．【自主解答】解：过点D作DF⊥AC，垂足为F.∵坡面AD的坡i＝1∶eq\r(3)且AD＝200，∴tan∠DAF＝eq\f(DF,AF)＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3).∴∠DAF＝30°.∴DF＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)×200＝100.∵∠DEC＝∠BCA＝∠DFC＝90°，∴四边形DECF是矩形．∴EC＝DF＝100.又∵∠BAC＝45°，BC⊥AC，∴∠ABC＝45°.∵∠BDE＝60°，DE⊥BC，∴∠DBE＝90°－∠BDE＝90°－60°＝30°.∴∠ABD＝∠ABC－∠DBE＝45°－30°＝15°，∠BAD＝∠BAC－∠DAF＝45°－30°＝15°.∴∠ABD＝∠BAD.∴AD＝BD＝200.在Rt△BDE中，sin∠BDE＝eq\f(BE,BD).∴BE＝BD·sin∠BDE＝200×sin60°＝200×eq\f(\r(3),2)＝100eq\r(3).∴BC＝BE＋EC＝100＋100eq\r(3).∴山高BC为(100＋100eq\r(3))米．eq\x(方法指导)1．对于解直角三角形的实际应用题，要灵活运用转化思想，通常是根据以下方法和步骤解决：(1)有图的要先将题干中的已知量在图中表示出来，找与已知量和未知量相关联的三角形，画出平面几何图形，弄清已知条件中各量之间的关系；(2)若三角形是直角三角形，根据边角关系进行计算．若三角形不是直角三角形，可通过添加辅助线构造直角三角形来解决，其中作某边上的高是常用的辅助线．总的来说，解直角三角形的实际应用问题，关键是要根据实际情况建立数学模型，正确画出图形或作出辅助线并找准直角三角形．2．解直角三角形的实际应用题常见图形类型及辅助线作法如图所示：eq\x(易错提示)在利用锐角三角函数求解变形时，易把分子和分母的位置颠倒，从而产生错误．考点1锐角三角函数的定义1．(2018·云南)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则∠A的正切值为(A)A．3B.eq\f(1,3)C.eq\f(\r(10),10)D.eq\f(3\r(10),10)2．(2018·孝感)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则sinA等于(A)A.eq\f(3,5)B.eq\f(4,5)C.eq\f(3,4)D.eq\f(4,3)3．(2018·滨州)在△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝eq\f(1,2)，则sinB＝eq\f(2\r(5),5)．考点2特殊角的三角函数值4．(2018·大庆)2cos60°＝(A)A．1B.eq\r(3)C.eq\r(2)D.eq\f(1,2)5．(2018·烟台)计算：(π－3.14)0＋tan60°＝1＋eq\r(3)．6．(2018·白银)计算：2sin30°＋(－1)2018－(eq\f(1,2))－1＝0．考点3解直角三角形7．(2018·贵阳)如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为(B)A.eq\f(1,2)B．1C.eq\f(\r(3),3)D.eq\r(3)8．(2018·湖州)如图，已知菱形ABCD对角线AC，BD相交于点O.若tan∠BAC＝eq\f(1,3)，AC＝6，则BD的长是2．9．(2018·自贡)如图，在△ABC中，BC＝12，tanA＝eq\f(3,4)，∠B＝30°，求AC和AB的长．解：过点C作CH⊥AB于点H.在Rt△BCH中，∵BC＝12，∠B＝30°，∴CH＝eq\f(1,2)BC＝6，BH＝eq\r(BC2－CH2)＝6eq\r(3).在Rt△ACH中，tanA＝eq\f(3,4)＝eq\f(CH,AH).∴AH＝8.∴AB＝AH＋BH＝8＋6eq\r(3)，AC＝eq\r(AH2＋CH2)＝10.考点4解直角三角形的实际应用10．(2018·宜昌)如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC＝100米，∠PCA＝35°，则小河宽PA等于(C)A．100sin35°米B．100sin55°米C．100tan35°米D．100tan55°米11．(2018·咸宁)如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为110m，那么该建筑物的高度BC约为300m.(结果保留整数，eq\r(3)≈1.73)12．(2018·襄阳)为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办，某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情，以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB由西向东行驶．在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上，继续行驶40秒到达B处时，测得建筑物P在北偏西60°方向上，如图所示．求建筑物P到赛道AB的距离．(结果保留根号)解：过点P作PC⊥AB于点C，由题意知∠PAC＝60°，∠PBC＝30°.在Rt△PAC中，eq\f(PC,AC)＝tan∠PAC，∴AC＝eq\f(\r(3),3)PC.在Rt△PBC中，eq\f(PC,BC)＝tan∠PBC，∴BC＝eq\r(3)PC.∵AB＝AC＋BC＝eq\f(\r(3),3)PC＋eq\r(3)PC＝10×40＝400.∴PC＝100eq\r(3).答：建筑物P到赛道AB的距离为100eq\r(3)米．13．(2018·荆州)如图，在平面直角坐标系中，⊙P经过三点A(8，0)，O(0，0)，B(0，6)，点D是⊙P上的一动点．当点D到弦OB的距离最大时，tan∠BOD的值是(B)A．2B．3C．414．(2018·娄底)如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，则sinα－cosβ＝(D)A.eq\f(5,13)B．－eq\f(5,13)C.eq\f(7,13)D．－eq\f(7,13)15．(2018·广西六市)如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE，DE分别交AB于点O，F，且OP＝OF，则cos∠ADF的值为(C)A.eq\f(11,13)B.eq\f(13,15)C.eq\f(15,17)D.eq\f(17,19)16．(2018·齐齐哈尔)在四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC＝90°，tan∠ABD＝eq\f(3,4)，AB＝20，BC＝10，AD＝13，则线段CD＝eq\r(89)或17．17．(2018·荆门)数学实践活动小组借助载有测角仪的无人机测量象山岚光阁与文明湖湖心亭之间的距离．如图，无人机所在位置P与岚光阁阁顶A、湖心亭B在同一铅垂面内，P与B的垂直距离为300米，A与B的垂直距离为150米，在P处测得A，B两点的俯角分别为α，β，且tanα＝eq\f(1,2)，tanβ＝eq\r(2)－1，试求岚光阁与湖心亭之间的距离AB.(计算结果若含有根号，请保留根号)解：过点P作PD⊥QB于点D，过点A作AE⊥PD于点E.由题意得，∠PBD＝β，∠PAE＝α，AC＝150，PD＝300.在Rt△PBD中，BD＝eq\f(PD,tan∠PBD)＝eq\f(300,tanβ)＝eq\f(300,\r(2)－1)＝300(eq\r(2)＋1)．∵∠AED＝∠BDC＝∠ACD＝90°，∴四边形EDCA为矩形．∴DC＝EA，ED＝AC＝150.∴PE＝PD－ED＝300－150＝150.在Rt△PEA中，EA＝eq\f(PE,tan∠PAE)＝eq\f(150,tanα)＝eq\f(150,\f(1,2))＝300.∴BC＝BD－CD＝BD－EA＝300(eq\r(2)＋1)－300＝300eq\r(2).在Rt△ACB中，AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(1502＋（300\r(2)）2)＝450.答：岚光阁与湖心亭之间的距离AB为450米．18．(2018·赤峰)阅读下列材料：如图1，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，可以得到：图1S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA.证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D.在Rt△ABD中，sinB＝eq\f(AD,c)，∴AD＝c·sinB.∴S△ABC＝eq\f(1,2)a·AD＝eq\f(1,2)acsinB.同理：S△ABC＝eq\f(1,2)absinC，S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA.∴S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA.(1)通过上述证明：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)；(2)运用(1)中的结论解决问题：如图2，在△ABC中，∠B＝15°，∠C＝60°，AB＝20eq\r(3)，求AC的长度；(3)如图3，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A，B，C三个测量点，在B点测得A在北偏