新教材高考数学全程一轮总复习第五章平面向量与复数第二节平面向量基本定理及坐标运算学生用书

第二节平面向量基本定理及坐标运算【课标标准】1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．必备知识·夯实双基知识梳理1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个__________向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝____________．若e1，e2________，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．2．平面向量的坐标运算(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝______，a－b＝________，λa＝________．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝________，|AB|＝________．3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b⇔________．[常用结论](1)若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.(2)已知OA＝λOB＋μOC(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.(3)已知点P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P坐标为x1(4)已知△ABC的重心为G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则G(x1夯实双基1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面向量的基底确定后，平面内的任何一个向量都可以用这组基底唯一表示．()(2)若两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．()(3)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．()(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成x1x22．(教材改编)已知a＝(3，6)，b＝(x，y)，若a＋3b＝0，则b＝()A．(1，2)B．(－1，－2)C．(－1，2)D．(1，－2)3．(教材改编)下列向量组中，能作为它们所在平面内所有向量的一个基底{a，b}的是()A．a＝(1，2)，b＝(0，0)B．a＝(1，－2)，b＝(3，5)C．a＝(3，2)，b＝(9，6)D．a＝(－34，14．(易错)已知两点A(－1，3)，B(3，0)，则与向量AB同向的单位向量是()A．(45，－35)B．(C．(34，－45)D．(5．(易错)已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(1，0)，(0，1)，(2，1)，则其第四个顶点的坐标为________．关键能力·题型突破题型一平面向量基本定理的应用例1(1)[2023·河北沧州模拟]如图所示，点E为△ABC的边AC的中点，F为线段BE上靠近点B的四等分点，则AF＝()A．38BAC．－78BA(2)[2023·河南商丘模拟]如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近B的四等分点，CD与AE交于点F，若BF＝xAB＋yAC，则3x＋y＝()A．－1B．－3C．－12D．－题后师说应用平面向量基本定理的策略巩固训练1(1)[2023·湖北武汉模拟]在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是AE的中点，则CF＝()A．12ADC．34AD(2)[2023·黑龙江鹤岗一中模拟]如图所示，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，M为AD的中点，若AM＝λAB＋μBC，则λ＋μ的值为()A．53B．－C．12D．题型二平面向量的坐标运算例2(1)在正方形ABCD中，M是BC的中点．若AC＝λAM＋μBD，则λ＋μ的值为()A．43B．C．158(2)已知A(－3，4)与B(－1，2)，点P在直线AB上，且|AP|＝2|PB|，则点P坐标为________．题后师说(1)利用向量的坐标运算解题，首先利用加、减、数乘运算法则进行运算，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，转化为方程(组)进行求解．(2)向量的坐标表示把点与数联系起来，引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算．巩固训练2(1)[2023·广东潮州期末]在∠A＝90°的等腰直角△ABC中，E为AB的中点，F为BC的中点，BC＝λAF＋μCE，则λ＝()A．－23B．－32C．－(2)平行四边形ABCD的三个顶点的坐标是A(－2，1)，B(－1，3)，C(3，2)，则顶点D的坐标是________．题型三平面向量共线的坐标表示例3(1)[2023·安徽巢湖一中模拟]已知向量a＝(－3，2)，b＝(4，λ)，若(a＋3b)∥(2a－b)，则实数λ的值为()A．－83B．C．43D．(2)[2023·江西九江期末]已知向量OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)，OC＝(5－m，－3－m)．若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为()A．m＝12B．m≠C．m≠13D．m≠题后师说平面向量共线的坐标表示问题的解题策略巩固训练3(1)已知a＝(1，2＋sinx)，b＝(2，cosx)，c＝(－1，2)，若(a－b)∥c，则锐角x＝()A．15°B．30°C．45°D．60°(2)已知向量AB＝(7，6)，BC＝(－3，m)，AD＝(－1，2m)，若A，C，D三点共线，则m＝________．第二节平面向量基本定理及坐标运算必备知识·夯实双基知识梳理1．不共线λ1e1＋λ2e2不共线2．(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)(x2－x1，y2－y1)x3．x1y2－x2y1＝0夯实双基1．答案：(1)√(2)×(3)√(4)×2．解析：由a＋3b＝(3，6)＋3(x，y)＝0得x＝－1，y＝－2.故选B.答案：B3．解析：根据平面向量基底的定义知，两个向量不共线即可作为基底．故选B.答案：B4．解析：因为两点A(－1，3)，B(3，0)，所以AB＝(4，－3)，所以ABAB＝132+4所以与向量AB同向的单位向量为(45，－3故选A.答案：A5．解析：设A(1，0)，B(0，1)，C(2，1)，第四个顶点D(x，y)，由题意，该平行四边形四个顶点的顺序不确定，讨论如下：①若平行四边形为ABCD，则AB＝DC.因为AB＝(－1，1)，DC＝(2－x，1－y)，所以2-x=-11②若平行四边形为ABDC，则AB＝CD.因为AB＝(－1，1)，CD＝(x－2，y－1)，所以x解得x=1，y=2，③若平行四边形为ACBD，则AC＝DB.因为AC＝(1，1)，DB＝(－x，1－y)，所以-x=1，1-y=1答案：(3，0)或(1，2)或(－1，0)关键能力·题型突破例1解析：(1)AF＝AE+EF＝12＝12AC＝18(BC-BA故选C.(2)连结DE，由题意可知，BDBA＝BEBC＝所以DE∥AC，则DEAC＝BDBA＝所以DFFC＝DEAC＝14，所以BD＝－14AB，DC则DF＝15DC＝故BF＝BD+DF＝－14又BF＝xAB＋yAC，所以x＝－25，y＝15，则3x＋故选A.答案：(1)C(2)A巩固训练1解析：(1)因为E是BC的中点，F是AE的中点，所以CF＝CE+EF，而CE＝－12AD，EF＝12所以CF＝CE+EF＝－12故选D.(2)因为在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，所以在△ABD中，BD＝12AB又BC＝3，∴BD＝13BC∴AD＝AB+BD＝∵M为AD的中点，∴AM＝12AD＝∵AM＝λAB＋μBC，∴λ＝12，μ＝1∴λ＋μ＝23故选D.答案：(1)D(2)D例2解析：(1)在正方形ABCD中，以点A为原点，直线AB，AD分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，令|AB|＝2，则B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，M(2，1)，AC＝(2，2)，AM＝(2，1)，BD＝(－2，2)，λAM＋μBD＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，因AC＝λAM＋μBD，于是得2λ-2μ=2λ+2μ=2，解得λ＝43，所以λ＋μ的值为53故选B.(2)由点P在直线AB上，且|AP|＝2|PB|，可得AP＝2PB或AP＝－2PB，当AP＝2PB时，设P(a，b)，有(a＋3，b－4)＝2(－1－a，2－b)，解得a＝－53，b＝8点P坐标为(－53当AP＝－2PB时，设P(m，n)，有(m＋3，n－4)＝－2(－1－m，2－n)，解得m＝1，n＝0，点P坐标为(1，0)．答案：(1)B(2)(－53巩固训练2解析：(1)以A为原点建立直角坐标系，设B(2，0)，C(0，2)，则F(1，1)，E(1，0)，则BC＝(－2，2)，λAF＋μCE＝λ(1，1)＋μ(1，－2)＝(λ＋μ，λ－2μ)，所以λ+μ=-2故选A.(2)设顶点D的坐标为(x，y)，则由题意可得BA＝CD，即(－1，－2)＝(x－3，y－2)，故-1=x-3故D的坐标为(2，0)．答案：(1)A(2)(2，0)例3解析：(1)由题设，a＋3b＝(9，3λ＋2)，2a－b＝(－10，4－λ)，又(a＋3b)∥(2a－b)，则9×(4－λ)＝－10×(3λ＋2)，可得λ＝－83故选A.(2)若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，即AB与AC不共线，∵OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)，OC＝(5－m，－3－m)，∴AB＝OB-OA＝(3，1)，AC＝OC-OA＝(2－∴3(1－m)－(2－m)≠0