机械振动总复习

机械振动根底

目录

第一章导论

§1.1引言

§1.2振动的分类

§1.3离散系统各元件的特征

§1.4简谐振动及其表示方法

§1.5叠加原理

§1.6振动的幅值度量

第二章单自由度系统

§2.1引言

§2.2无阻尼自由振动

§2.3阻尼自由振动

§2.4单自由度系统的简谐强迫振动

§2.5简谐强迫振动理论的应用

§2.6周期强迫振动

§2.7非周期强迫振动

第三章二自由度系统

§3.1引言

§3.2运动微分方程

§3.3不同坐标系下的运动微分方程

§3.4无阻尼自由振动

第四章多自由度系统

§4.1运动微分方程

§4.2固有频率与振型

§4.3动力响应分析

§4.4动力响应分析中的变换方法

第五章随机振动

§5.1随机过程

§5.2随机过程的数字特征

§5.3平稳过程和各态历经过程

§5.4正态随机过程

§5.5相关函数

§5.6功率谱密度函数

§5.7线性振动系统在单——随机鼓励下的响应

§5.8线性系统在两个随机鼓励下的响应

第一章导论

§1.1引言

振动：指一个物理量在它的平均值附近不停地经过极大值和

极小值而往复变化。

机械振动：机械或构造在它的静平衡位置附近的往复弹性运

动。

机械振动研究对象：机械或构造，在理论分析中要将实际的

机械或构造抽象为力学模型，即形成一个力学系统。

鼓励或输入：外界对振动系统的鼓励或作用。

响应或输出：系统对外界影响的反响，如振动系统某部位产

生的位移、速度、加速度及应力等。

机械振动研究内容：研究鼓励、响应和系统三者之间的关系。

鼓励-----响应

系统—

输入输出

鼓励、系统和响应三者知其二可求出第三者。

常见的振动问题的三种根本课题：

1.振动设计外界鼓励的条件下设计系统的振动特性,

使其响应满足预期的要求。

2.系统识别根据的鼓励与响应的特性分析系统的性

质，得到振动系统的全部参数。

3.环境预测系统振动性质和响应，研究鼓励的特性。

§1.2振动的分类

1.2.1线性振动和非线性振动

振动可分成线性振动和非线性振动两种。

线性振动：系统在振动过程中，振动系统的惯性力、阻

尼力、弹性力分别与绝对加速度、相对速度、相对位移成线

按鼓励情况分类：

自由振动：系统在初始鼓励下或原有的鼓励消失后的振

动。

强迫振动：系统在持续的外界鼓励作用下产生的振动。

按响应情况分类：

大致可分为确定性振动和随机振动。其中确定性振动又

可分为：

简谐振动：振动的物理量为时间的正弦或余弦函数。

周期振动：振动的物理量为时间的周期函数，可用谐波

分析的方法归结为一系列简谐振动的叠加。显然，简谐振动

也是周期振动。

瞬态振动：振动的物理量为时间的非周期函数，在实际

的振动中通常只在一段时间内存在。

§1.3离散系统各元件的特征

离散振动系统三个最根本的元件：惯性元件、弹性元件

和阻尼元件。

弹性元件：忽略其质量和阻尼，在振动过程中储存和释

放势能。弹性力与其两端的相对位移成比例，方向相反。

线性扭转弹簧：

阻尼元件：在振动过程中消耗振动能量。在线性振动系

统中，阻尼力的大小与阻尼元件两端的相对速度成比例，方

向相反，这种阻尼又称为粘性阻尼。忽略粘性阻尼元件的质

量和弹性。

惯性元件：完全刚性且无阻尼，在振动过程中储存和释

放动能。集中质量的惯性力与惯性坐标系下的加速度(绝对加

速度)成正比，方向相反。

扭转振动系统：

假设干个元件串联或并联的情况，等效刚度、等效阻尼

和等效质量。

§1.4简谐振动及其表示方法

1.4.1简谐■振动

周期运动满足

简谐运动满足：

=Asin(GZ+，)或双，)=Bcos(cot-(p)

1.4.2两种常用的简谐振动表示方法

1.向量表示法

2.复数表示法

§1.5叠加原理

叠加原理：一个线性振动系统，鼓励……£3,

分别对应于响应为⑺、x/$、……,假设鼓励为

FJ(t)=cjFl(t)+c2F2(t)-b……+cnFn(t),那么有对应的响应x(f=

C[X](t)+C2X2①+……+。题?⑷成立。

§1.6振动的幅值度量

1.峰值X=1%⑺Imax

2.平均值'I：』")"，

3.均方值3go2(/)由

T->ooTJo

4.均方根值(rms)是3的平方根。X碇=席

第二章单自由度系统

根本内容：

无阻尼自由振动

阻尼自由振动

单自由度系统的简谐强迫振动

简谐强迫振动理论的应用

周期强迫振动

非周期强迫振动

§2.1引言

单自由度系统：只有一个自由度的振动系统。可用一个

常系数的二阶线性常微分方程描述其振动规律。

§2.2无阻尼自由振动

自由振动：系统在初始鼓励下或外加鼓励消失后的一种

振动形态。

2.2.1运动微分方程

列出系统的运动微分方程步骤：

1.取一个坐标系，原点为静平衡时质量所在位置。

2.设质量沿坐标正向有一移动，考察质量的受力情况，画出

隔离体图。

3.按牛顿第二定律写出运动微分方程。

4.确定系统初始的运动状态。

或

系统的固有频：①n"2

方程的通解为：

单自由度系统无阻尼自由振动是简谐振动C

周期：T噜=2卓

频率：TH。

系统的动能、势能：耳=：欣2,U=；k£

即

无阻尼自由振动时，振动系统为一保守系统，总机械能

在运动中保持不变。

1

定义动能系数：r=^-mA=12

—mx

2max

对于单自由度系统无阻尼自由振动系统，有以下结论:

1.单自由度系统无阻尼自由振动是简谐振动。运动的中点为

系统的静平衡位置。

2,振动频率只与系统的刚度、质量有关。

3.①八力与亚成正比而与必^成反比。

4.振动得以维持的原因是系统有储存动能的惯性元件和储

存势能的弹性元件。振动时动能、势能不断相互转换。

上面的结论与坐标系的选择无关，但选择适宜的坐标系

有助于简化问题的求解。

222求固有频率的方法

方法1：列出系统运动微分方程，求出系统的固有频率，

Mj=ylk/mo需系统的刚度和质量。

方法2:静态位移法。根据虎克定律，弹簧质量系统静止时

在重力的作用下弹簧被压缩，有：k4=mg

故：a^=k/m=gl卜

方法3:能量法。用能量法求固有频率有两种方法：

①一种方法是求出系统的动能和势能，再根据

+U)=。求出系统的运动微分方程，从而得到固有频率。

②另一种方程是求出系统的最大势能和动能系数

r=5加4?=5mW.nax,然后根据^=klm=(ax/-求出固

有频率。

2.2.3有效质量

离散系统模型约定，系统的质量集中在惯性元件上，弹

性元件无质量。当弹性元件的质量占系统质量的相当局部

时，略去它会使计算得到的固有频率住偏高。

可以采用能量等效的方法，加大惯性元件的数值，使惯

性元件的动能等于系统的总动能，再把弹性元件的质量略

去。

对于质量均布弹簧，在考虑弹簧质量的条件下，系统的

固有频率：

系统在动能意义下的质量为系统的等效质量。它并不一

定等于系统惯性元件的质量加上其他元件的质量C

等效刚度的定义同理。

§2.3阻尼自由振动

阻尼：度量系统自身消耗振动能量的能力的物理量。

最常用的阻尼是气体和液体的粘性阻尼

粘性阻尼力的大小与相对速度成正比，方向与速度方向

相反。

阻尼自由振动系统运动微分方程为：

定义系统的临界阻尼：ce=2yl~mk=2mcon

定义？为系统的阻尼比〔相对阻尼系数〕：

尸CCC

（----------------------------

2m①〃2y[mkc0

利用4,可把阻尼自由振动系统运动微分方程为变换为：

根据，的大小，可得到三种不同形式的解：

1.<>1：强阻尼（过阻尼）。

系统运动微分方程的通解为：

强阻尼情况下系统的运动不是振动。

2.二=1:临界阻尼。

系统运动微分方程的通解为：

临界阻尼情况下系统的运动也不是振动。

3.7VI：弱阻尼。

系统运动微分方程的通解为：

定义阻尼固有频率：%=J1—

只有当弱阻尼时，系统的运动才是振动〔衰减振动〕。随着

时间增长，即r趋于无穷时，振动逐渐衰减为零，系统趋于

静止。由于有衰减项"他\振动既不是简谐振动，也不是周

期振动。在阻尼自由振动时，振动的振幅随时间增长按指数

规律衰减。

阻尼对自由振动的频率，周期都有影响。

由于存在阻尼，振动频率降低，振动周期增大。

阻尼对阻尼自由振动的振幅影响很大。由于阻尼的存在，可

有效地抑制振幅。

定义对数衰减率：#=4二H

有：，一布中

可以测出系统阻尼自由振动时的响应，求出对数衰减

率，进而得到系统的阻尼比。

§2.4单自由度系统的简谐强迫振动

简谐强迫振动：鼓励是时间简谐函数。

2.4.1系统在简谐鼓励下的响应

单自由度简谐强迫振动系统运动微分方程：

Z77LX+CX+kx=/(/)

简谐鼓励：/(，)=COScot=kAcoscot

定义片为：A=F。/k

简谐强迫振动系统运动微分方程：

单自由度简谐强迫振动系统运动微分方程是二阶常系

数非齐次线性常微分方程。

它的解由两局部组成：通解+特解

一局部是方程工+23/+①*=。对应的齐次方程的通

解，由于系统存在阻尼，这局部解只在振动开场后的一段时

间内有意义，超过这段时间后，由于阻尼的影响，最终被衰

减到零〔瞬态响应〕。

另一局部是无+2Q9,/+G*=G；ACOSM的一个特解，它

表示系统在简谐鼓励下的强迫振动，为稳态解，其响应称为

稳态响应。

特解可表示为：

稳态解〔特解〕为

单自由度系统受简谐鼓励的微分方程的解为：

从稳态解〔特解〕可以得出：鼓励幅值的大小只影响稳

态响应的幅值，二者之间成正比，并不影响稳态响应的相角。

而鼓励频率既影响稳态响应的幅值，也影响稳态响应的相

角。

2.4.2复频率响应幅频特性与相频特性

定义复频率响应“⑻："（⑼=匚口"而石而

H（（o）的模为系统的放大因子：

\H（⑼|=/1;

血-3/例）2]2+（2S/0）2

A

X=/…,=陋（砌或|"3）|二X/A

加-3/以）2『+（2-/0）2~1

。（⑼为复频率响应"3的幅角：=-。=-arctg:弓2

\-（co/con）

系统在简谐鼓励下的稳态响应〔稳态解〕可表示为：

引入复频率响应的意义：复频率响应”（0）可以用来描述鼓

励频率对系统稳态响应的影响。它的模I”（同表达了鼓励频率

对响应幅值的影响，它的幅角6（。）表达了鼓励频率对响应相

位的影响，静位移4表达了鼓励幅值对响应幅值的影响。

系统的复频率响应只取决于两个参数：鼓励频率和系统固有

频率的比值（频率比）0/q和系统的阻尼比二即

幅频特性图和相频特性图：横坐标一频率比①/q,系统

的阻尼比4为参数，纵坐标一放大因子I"（同或相角0。

图幅频特性图和相频特性图

从幅频特性图和相频特性图可以看出：

当4>1/后时[4>0.707],放大因子没有峰值。这时在

整个频率范围内，|"（。）|<lo通常把4<1/也称为小阻尼情况。

只有在小阻尼情况下，放大因子I”（同才在。>0时有峰值，

而且峰值（⑼

关注刃=0、00、0这三个特殊点，|”（朗和9（⑼分别为

根据频率比刃/助的大小，可以把系统响应分成三个不同的

范围，由向量图可清楚看出这三个范围的特点。

①当。/qvvl时：鼓励主要是与弹性力平衡。因为鼓励的

频率很低，系统的速度、加速度都很小，相应地阻尼力、惯

性力也很小，响应的振幅接近于静位移。

②当〃鼓励主要是与惯性力平衡。因为鼓励频

率很高，使鼓励力方向变化过快，系统由于惯性来不及跟随。

③当口〃即共振时：响应的振幅比静位移大，鼓励力

与阻尼力平衡，弹性力与惯性力平衡。称在以=1附近为系

统的共振区。

峰值点并不在频率比。/。的位置，而在

①/①〃=11—2^处,即鼓励频率小于固有频率的地方。

2.4.3能量关系与等效阻尼

1.能量关系

对于无阻尼系统，由于无阻尼，振动时无能量消耗。当

鼓励频率。工与时，无能量输入，外力对系统不做功。当①二①〃

时，外力对系统做功，使系统能量越来越大，以致振动的振

幅越来越大。

无阻尼系统受简谐鼓励时，如果鼓励频率等于系统固有

频率，由于系统无阻尼，因此外力对系统做的功全部转成系

统的机械能即振动的能量。外力持续给系统输入能量，使系

统的振动能量直线上升，振幅逐渐增大。由此可知，即使是

无阻尼系统共振时，也需要一定的时间来积累振动能量。在

实际中有些机械构造在起动或停机时无法防止通过共振区，

为防止在共振区给构造造成损坏，可以采用迅速通过共振区

的方法来解决。

2.等效阻尼

假定系统做简谐振动，令原系统耗散的能量与粘性阻尼

耗散的能量一样，从而求出等效阻尼系数。

§2.5简谐强迫振动理论的应用

2.5.1旋转失衡引起的强迫振动

图失衡鼓励下的幅频特性图、相频特性图

特点：

①当。/0-0,即转速远低于系统的固有频率时，

-•-^0,也就是说失衡鼓励引起的振动很小。

me

②当0/0700,即转速远高于系统的固有频率时，

-•-^1,即响应的振幅X-等，为一个确定的值。

meM

③即转速接近但略高于系统的固有频率时，

响应的振幅最大〔共振〕，

2.5.2支承运动引起的强迫振动

图支承鼓励下系统的幅频特性图、相频特性图

特点：

①当//你=拒时，无论阻尼比:为何值，响应幅值总

是与鼓励幅值相等，即K/Z=l。

②当G/4V及时，阻尼抑制了响应的幅值，阻尼比4越

大，响应的幅值越小。但无论阻尼为何值，响应的幅值总大

于支承运动的幅值，即工＞4。

③当°/勺＞及时，响应的幅值总小于支承运动的幅值,

即督4,但＜越大，响应的幅值反而增大。

2.5.3隔振原理

振动隔离指将机器或构造与周围环境用减振装置隔离，

它是消除振动危害的重要手段。

积极隔振：自身是振源，为减少其对周围环境的影响，

将其与支承它的根底隔离开。

消极隔振：对允许振动很小的精细仪器和设备，为减少

周围环境振动对其影响，需要把它与支承它的根底隔离。

两种隔振的原理相似，根本作法都是把需要隔离的机器

设备安装在适宜的具有弹性和阻尼的减振装置或隔振装置

上，使大局部振动被减振装置或隔振装置吸收，以阻断振动

的传递。

隔振与频率比和阻尼比的关系图〔振源作简谐振动时〕

隔振要求：

①无论阻尼大小，仅当频率比43>a才有隔振效果。

即在隔振设计中，系统的固有频率要小于振源振动频率。随

//%增大，隔振效果提高，在实际应用中取初以=2.5〜5已足

够。

②在引4>五时，阻尼增大使隔振系数增大，降低了隔

振效果。但阻尼比不是越小越好，实际问题中鼓励频率是由

零逐步增加到某一定值，此过程中不可防止要与系统的固有

频率重合，产生共振。阻尼过小将使系统过共振时振幅过大,

造成破坏，因而要兼顾。一般希望有点阻尼以限制过共振时

的振幅，但又不要太大以免降低隔振效果。常用的隔振材料

阻尼并不大，因此在。/%>2.5以后计算隔振系数时可不考虑

阻尼的影响。

2.5.4惯性式测振仪原理

图惯性式测振仪系统的幅频特性图、相频特性图

①当o/q«l,即鼓励频率远小于系统固有频率时，

I”(⑼底1,ZkA(①/0)2

测振仪壳体〔被测构造〕的加速度幅值：区=A疗，即Z

与测振仪壳体的加速度幅值成比例〔加速度计〕。

加速度计是高固有频率仪器。

②当。/以〉〉1,即鼓励频率很高时，Z=A(&/你y回⑼核4

即鼓励频率很高时，测振仪的质量块在惯性空间中几乎

保持不动，与构造相接的仪器壳体相对质量块运动。仪器的

相对振幅Z与鼓励幅值4相等，此时仪器用于测量振动位移

〔位移计〕。

位移计是低固有频率仪器。

2.5.5转轴的横向振动

特点：①如果转轴的转速外远小于①〃时，圆盘的挠度

很小。②当刃二例即共振时，圆盘的挠度为《，如果阻尼很

小，圆盘的挠度将很大。③当co»co,1时，圆盘的挠度约等于

§2.6周期强迫振动

周期强迫振动的求解方法：①如果周期鼓励中的某一谐

波的幅值比其他谐波的幅值大的多，可视为简谐鼓励。②反

之，那么应按周期鼓励求解。求解周期鼓励下系统的响应问

题需要将鼓励展为傅里叶级数，然后分别求出各个谐波所引

起响应，再利用叠加原理得到系统的响应。

在周期鼓励时，只要系统固有频率与鼓励中某一谐波频

率接近就会发生共振。

§2.7非周期强迫振动

采用卷积积分处理：在系统受任意持续的鼓励时，按照

高等数学中积分时对被积函数的处理，可把鼓励看为一系列

脉冲力的叠加。

2.7.2傅里叶变换方法

傅里叶变换：在频率域内分析鼓励频谱，响应频谱以及系统

特性的频域描述之间的关系。

2.7.3拉普拉斯变换方法

第三章二自由度系统

§3.1引言

多自由度系统：指需要用两个或两个以上的独立坐标才

能描述其运动的振动系统。

§3.2运动微分方程

求系统的运动微分方程的一种比拟简单的方法：先求出

系统的动能、势能和能量耗散函数，然后利用：

=粤，同=粤，粤求出系统的质量矩阵、阻

dxicxj

尼矩阵和刚度矩阵，最终求出系统的运动微分方程。

§3.3不同坐标系下的运动微分方程

系统的质量矩阵和刚度矩阵（包括阻尼矩阵）的具体形式

与所选取的描述系统振动的广义坐标有关，适宜的广义坐标

能够解除方程的耦合。由于不同广义坐标之间存在着线性变

换关系，所以，方程解耦的问题就归结为寻找一个适宜的线

性变换矩阵㈤，使变换后系统的质量矩阵，阻尼矩阵和刚度

矩阵成为对角矩阵。

§3.4无阻尼自由振动

1、根本概念

固有频率

固有振型〔振型〕

振型图：用图形直观显示固有振动时各个坐标之间的相

互位置关系〔横坐标表示系统各点的静平衡位置，纵坐标表

示各点的振幅比〕

2、二自由度无阻尼系统的固有频率、振型和自由振动响应

的求解方法

〔1〕利用特殊初始条件〔对称或反对称条件〕

〔2〕任意的二自由度无阻尼系统的固有频率、振型和自由

振动响应的求解方法

步骤：①求系统的质量矩阵和刚度矩阵；②列出系统的

特征方程或频率方程△（苏）=|［幻-CD2［M］=唇-疗闻=。求出2

个固有频率；③将2个固有频率依次代入QK］一#［也）{〃}=0

求出各自对应的振型；④求系统的响应。

第四章多自由度系统

多自由度振动系统：指需要用两个或两个以上的独立坐

标才能描述其运动的振动系统。

描述其振动的运动微分方程为常微分方程组。

本章主要内容：

①多自由度系统振动的根本理论；

②多自由度系统的固有频率和振型；

③多自由度系统动力响应分析-振型迭加方法；

④多自由度系统动力响应分析-变换法〔傅里叶变换和

拉普拉斯变换〕。

§4.1运动微分方程

A个自由度的振动系统的运动微分方程可以写为

刚度矩阵因各元素号的意义〔定义法求刚度矩阵〕：如

果系统的第/个自由度沿其坐标正方向有一个单位位移，其

余各个自由度的位移保持为零，为保持系统这种变形状态需

要在各个自由度施加外力，其中在第/个自由度上施加的外

力就7^kjjo

系统的质量矩阵、阻尼矩阵定义类似。

能量法求解系统的质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵。

质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵均为对称矩阵。

JM]{R+[Q{R+[K]{%}="}

方程[{联0)}={/},{戈(0)}={片}的求解方法：

寻找一个新的描述系统运动的广义坐标系，在这个新的

坐标系下，系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵为对角矩

阵。

§4.2固有频率与振型

在无阻尼自由振动时，系统的运动微分方程为：

求固有频率：

2

①由频率方程勺一口//二°求得A个固有频率说，珑，…，

②将固有频率式依次代入方程(一][M]+[K]){〃}二°可

以求出与口；相对应的非零的振型{吗。

由于([K]—/[M]){%}=。只给出了振型的方向，而振型

的大小需要人为指定〔振型的正规化〕。

振型的正规化：指定振型的大小。

常用的两种振型正规化方案：

(1)令{4}满足

T

此时有：=co^uf.}[M]{ur}=可2

⑵令{叫的某一分量为1。比方在振动模态实验中常常取

{吗的分量中绝对值最大的分量为1,这样便于对振型和实际

构造进展分析。再令

此时有：="{%}[“]{%}=/也

振型的一个重要性质：属于不同固有频率的振型彼此以

系统的质量矩阵和刚度矩阵为权正交〔振型的正交性〕。

即：如果当rws时，①产①、，那么必然有

振型正交性的物理意义：系统的动能和势能均分别为各

阶动能和势能之和；各个振型之间的动能、势能不交换，各

振型在振动时相互独立、互不影响。

振型的正交性和正规化可用统一的公式表达〔振型的正

规正交化条件〕。

T

如果取振型正规化为{ur}[M]{ur}=]y那么振型的正规正交

化条件可以写为

T

如果取振型正规化为{ur}[M]{ut.}=Mry那么振型的正规正

交化条件可以写为

振型矩阵同：列向量为相应的振型，即

由全体振型构成的向量组线性无关。振型矩阵画就是线

性变换的矩阵。

在振型坐标下A自由度系统无阻尼自由振动的运动微分

方程：

W=M{y}

①如果振型取{叫{%}=1、{?.},[长]{〃,}=例2正规

化：

T

②如果振型取=Kr={ur}[K]{ur}=^Mr

正规化：

§4.3动力响应分析

动力响应分析：系统在外部鼓励作用下的响应分析。

常用的动力响应分析方法：振型叠加法〔本书讨论的内

容〕和逐步积分法，后者是数值积分方法。这两种方法的特

点是适于系统的质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵和鼓励，求

系统响应的情况，且便于用计算机编程求解。

振型叠加法步骤：

[M{R+[C]{R+[K]{止{7}

振型叠加方法求解式[{](0)}={用}，{、(0)}二{、()}的步

骤如下：

①首先由(-^2IA7]+[K]){〃}=。求出系统的固有频

率、振型和矩阵。

②新、旧坐标变换。

您(0)}=[%「[心["]{%0}={%}

T

初始条件