机械振动-课后习题和答案-第二章-习题和答案

2.1弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为3。设将物体向下拉，使弹簧有静

伸长35,然后无初速度地释放，求此后的运动方程。

解：设物体质量为加，弹簧刚度为3贝h

mg=k6,即：con=y]k/m=Jg/5

取系统静平衡位置为原点x=。，系统运动方程为：

mx+履=0

-o=2b(参考教材P14)

k.%=°

解得：x(t)=25coscont

2.2弹簧不受力时长度为65cm,下端挂上1kg物体后弹簧长85cmo设用

手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振

幅、周期及弹簧力的最大值。

解：由题可知：弹簧的静伸长-=0.85-0.65=0.2(⑷

所以：0==JU=7(&〃s)

取系统的平衡位置为原点，得到：

系统的运动微分方程为：工+叼2%=。

其中，初始条件：=(参考教材P14)

、X0)=0

所以系统的响应为：X(0=-0.2cOS69/(/7t)

弹簧力为：匕=辰。)=驾x«)=-cosoj(N)

因此：振幅为0.2m、周期为二。)、弹簧力最大值为1N。

7

2.3重物叫悬挂在刚度为Z的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物铀从高

度为人处自由落到犯上而无弹跳，如图所示，求其后的运动。

解：取系统的上下运动x为坐标，向上为正，静平衡位置为原点x=0,则

当〃2有工位移时，系统有：

ET=+根2)比2

U=-kx2

2

由"(Er+。)=0可知：{m}+m2)x+丘=0

即：con=yjk/(m}+m2)

二二〃22g

系统的初始条件为：°k吗

%o=-----=—,2欧

根1+m2

2

(能量守怛得：〃22劭=+m2)x0)

因此系统的响应为：x(Z)=AQcosa)nt+4sincont

即：x(0=吆^(cosgj-12，"-sinct)nt)

k

2.4一质量为〃八转动惯量为/的圆柱体作自由纯滚动,同心受到一弹簧攵

约束，如图所示，求系统的臼有频率。

解：取圆柱体的转角。为坐标，逆时针为正,静平衡位置时6=0,则当〃z

有。转角时，系统有：

E=-W2=-(/+mr2)^2

T22

u=

由"(£7+U)=0可知：(/+机〃)8+公2。=0

22

即：con—yjkr/(I-\-mr)(rad/s)

2.5均质杆长L、重G,用两根长h的铅垂线挂成水平位置，如图所示,

试求此杆相对铅垂轴OO微幅振动的周期。

2.6求如图所示系统的周期，三个弹簧都成铅垂，且&=23々=%。

解：取〃2的上下运动X为坐标,向上为正.静平衡位置为原点x=0,则当加

有X位移时，系统有：

7-71-2

E=­mx

T2

U=—kx2+-k,x2=2匕/

2216

由d(Er+U)=0可知：mx

即：①〃=(rad/s),

3m

2.7如图所示，半径为r的均质圆柱可在半径为K的圆轨面内无滑动地、

以圆轨面最低位置O为平衡位置左右微摆，试导出柱体的摆动方程，求其

臼有频率。

解：设物体重量W,摆角坐标。如图所示.逆时

针为正，当系统有夕摆角时，贝的

n2

U=W（R一厂）（1—cos。）kW（R-r）—

设夕为圆柱体转角速度，质心的瞬时速度：

vc=（R-r）O=r（p,即：（p=―—―0

记圆柱体绕瞬时接触点A的转动惯量为IA,贝I]:

「W2iww

A=Ic+一厂=J—〃2+一广2

g2gg

71L1/3W2、,R—

E=—I(P=—(———r)(-oy=-—(/?-r)202

T2A22gr4g

（或者理解为：E7=L,/+J_%（R—4加，转动和平动的动能）

22g

由"(七7+。)=0可知：——(/?-r)23+W(R-r)0=0

2g

2g

即：co=(rad/s)

n3(R-r)

2.8横截面面积为A,质量为m的圆柱形浮

子静止在比重为/的液体中。设从平衡位置

压低距离直见图)，然后无初速度地释放，若二三三

不计阻尼，求浮子其后的运动。二三

解：建立如图所示坐标系，系统平衡时x=0,由牛顿第二定律得:

mx+y(Ax)g=O,即：g

有初始条件为:

%、=0

所以浮子的响应为：x«)=xsin(/

m2

2.9求如图所示系统微幅扭振的周期。图中两个摩擦轮可分别绕水平轴Oi,

。2转动，它们相互啮合，不能相对滑动，在图示位置（半径0M与。28在

同一水平线上），弹簧不受力。摩擦轮可以看做等厚均质圆盘，质量分别为

mi,机2。

解：两轮的质量分别为4,根），因此轮的半径比为:

由于两轮无相对滑动，因此其转角比为:

4=丫2=&

020仇

取系统静平衡时4=0,则有：

E22

J=；（；冽，：）分冽疗=；（%+m2）r,6»l

U=5%（八4）2+不攵2（，2。2）2=不（%1+女）2（。4）2

乙乙乙

40+62）202a=0

由号+。）=可知：-（m}。第+化+右）

取+Q(rad/s),T=21叫十根2&)

即：①n

m}+m22(2]+A2)

2.10如图所示，轮子可绕水平轴转动，对转轴的

转动惯量为1,轮缘绕有软绳，下端挂有重量为尸

的物体，绳与轮缘之间无滑动。在图示位置，由

水平弹簧维持平衡。半径K与Q均已知，求微振

动的周期。

解：取轮的转角。为坐标，顺时针为正，系统平衡p

时6=0,则当轮子有。转角时，系统有：

2222

ET=-I3-^-—(0R)=-(1+—/?)<9

22g2g

1

U=-k(0af?

22

由d(£7+U)=0可知:(/+—R)0+而2°=。

g

(rad/s),

211弹簧悬挂一质量为m的物体，自由振动的周期为T,如果在m上附

加一个质量，如，则弹簧的静伸长增加/,求当地的重力加速度。

・"=25

2

,4"一"1

K=---------

T

•«,叫g-k.1

kdl4兀-〃7./

g=-----=-------------

呵T仍

212用能量法求图所示三个摆的微振动的固有频率。摆锤重p,S）与（C）

中每个弹簧的弹性系数为4/2。⑴杆重不计；（2）若杆质量均匀，计入杆重。

一」

解：取系统的摆角。为坐标，静平衡时8=0

（a）若不计杆重，系统作微振动，则有:

号=：（乙2海

2g

U=PgL(l-cos6)2-PgLO2

由或E/，+U)=0可知：—l?0^PLe=Q

g

即：①〃=(rad/s)

如果考虑杆重，系统作微振动，则有:

号=皆"+沙”=资+安峥

Jpm夕2

U=PgL(l-cos0)+mzg—(1-cos3)«(一+—-)gL一

2g22

由。（号+U）=0可知：（1++（—+*gL9=0

g3g2

LPm工、

（—十寸）g

即：o)-f-----------（rad/s）

n（巴+四9

g3

(b)如果考虑杆重，系统作微振动，则有：

口,Pm321

Up（一十—Lx）gLT—+-x2

g222

/Pm【、kL

（一+*+7

即：①〃=gp---------（rad/s）

（乙+叼L

g3

(C)如果考虑杆重，系统作微振动，则有：

号=3一/W资+M

〃PmO11

U“T—+寸Lx磔7彳+3x2

g222

BP：(rad/s)

2.13求如图所示系统的等效刚度，并把它写成与“的关系式。

答案:

2.14一台电机重470N,转速为1430r/min,固定在两根5号槽钢组成的

简支梁的中点，如图所示。每根槽钢长1.2m,重65.28N,弯曲刚度EI=

1.66xl05Nm2o

(〃)不考虑槽钢质量，求系统的固有频率；

(切设槽钢质量均布，考虑分布质量的影响，求系统的固有频率；

⑹计算说明如何避开电机和系统的共振区。

a:

7^7--

2.15定于长L,弯曲刚度为EI,密度为的弹性梁的一端,

如图所示，试以有效质量的概念计算其固有频率。

wL3/(3EI)

2.16求等截面U形管内液体振动的周期，阻力不计,假定液柱总长度为1。

解：假设u形管内液柱长/,截面积为A,密度为夕，取系统静平衡时势能

为0,左边液面下降x时，有：

1,

Ej=-pA.lx7〜।

U=pAxxxgxx

由d(E7+U)=0可知：pAlx+2gpAx=0

即：con=^1^-(rad/s),T=TV(S)

2.17水箱1与2的水平截面面积分别

为4、42,底部用截面为Ao的细管连接。

求液面上下振动的固有频率。

解：设液体密度为0,取系统静平衡时势能为0,当左边液面下降/时，右

边液面上升马，液体在水箱1与2和细管中的速度分别为盯J%，则有:

号=，研（〃f—+扣+%2谪

oAA

"[A"+"(7)2+4/2(/)2卜：

（由于:

h—xx»h\h+x2x〃；Axxx—A2X2=A3x3;A}x{-A2x2)

Tr人X]+%2

u=pAx}g

AAA

由成号+U)=0可知：[/2(l+」)+L(」)k1+g(l+」)X1=0

A

gd+j)

即：a)=---------T-------T-(rad/s)

n.1+4)+*

।4AN

2.18如图所示，一个重W、面积为A的薄板悬挂在弹簧上，使之在粘性

液体中振动。设心、乃分别为无阻尼的振动周期和在粘性液体中的阻尼周

期。试证明：

2»W

4

并指出〃的意义（式中液体阻尼力Fd=-2Av）o

2.19试证明：对数衰减率也可用下式表示b=Ln丛，（式中X〃是经过〃

〃当

个循环后的振幅）。并给出在阻尼比二为O.OK0.K0.3时振幅减小到50%

以下所需要的循环数。

解：设系统阻尼自由振动的响应为尤⑺；

务时刻的位移为与；LJ+"时刻的位移为乙；则：

X。=Xe3cosQj。—）=e3〃〃Td

xJXe-M—%）cos[44+M/）-勿~

所以有：In工=〃5=〃ln血，即：6=—\n—

Xn%"4

_ih_/

当振幅衰减到50%时，z=0.5x°,即：〃=Lln2=ln2义—一

B2<

1）当7=0.01时，n=n；要11个循环；

2）当4=0.1时，n=\A;要2个循环；

3）当二=0.3时，〃=0.34；要1个循环；

2.20某双轴汽车的前悬架质量为/ni=1151kg,前悬架刚度为^i=1.02x105N

/m,若假定前、后悬架的振动是独立的，试计算前悬架垂直振动的偏频。

如果要求前悬架的阻尼比，=0.25,那么应给前悬架设计多大阻尼系数(c)

的悬架减振器？

2.21重量为尸的物体，挂在弹簧的下端，产生静伸长在上下运动时所

遇到的阻力与速度v成正比。要保证物体不发生振动，求阻尼系数c的最低

值。若物体在静平衡位置以初速度即开始运动，求此后的运动规律。

解：设系统上下运动为X坐标系，系统的静平衡位置为原点，得到系统的运

动微分方程为：

pP

—X+CXH—X—0

gS

系统的阻尼比：

2ylmk

系统不振动条件为：^>1,即：C>2P!y[^

y-Q

物体在平衡位置以初速度以开始运动，即初始条件为：[I/

V.

此时系统的响应为：（可参考教材P22）

1）当<>1时：x«）=6一的'（4屋如痣W+4户一如庐?）

4=0

2)当<=1时：x(t)=Ae-^t^-Ate~^,其中:

l2“2=°。

即：x«)=

3)当二v1时：x(Z)=e<""(Gcosa)dt+C2sina)j)

G=o

0,,t

其中：<C2=uG/a)d,即：x(t)=e~^—sincodt

5=例，1一，

2.22一个重5500N的炮管具有刚度为3.03x105N/m的驻退弹簧。如果发

射时炮管后座L2m,试求：

①炮管初始后座速度；

②减振器临界阻尼系数（它是在反冲结束时参加工作的）；

③炮管返回到离初始位置0.05m时所需要的时间。

2.23设系统阻尼比二=0.1,试按比例画出在%=0.5、1.0、2.0三种情

况下微分方程的向量关系图。

2.24试指出在简谐激励下系统复频率响应、放大因子和品质因子之间的关

系，并计算当7=0.2、q=5rad/s时系统的品质因子和带宽。

2.25已知单自由度系统振动时其阻力为“（其中c是常数，p是运动速度）,

激励为尸=E）sincot,当/=例即共振时，测得振动的振幅为X,求激励的

幅值几。若测得共振时加速度的幅值为A,求此时的仆。

2.26某单自由度系统在液体中振动，它所受到的激励为b=50cosm（N）,

系统在周期T=0.20s时共振，振幅为0.005cm,求阻尼系数。

解：由T=0.20s时共振可知，系统固有频率为：例=竽=10%

当。一华时，已知响应振幅：X=%，（参教材P30）

CCO

所以：c=-^-=W_（N・S/“）

Xco71

2.27一个具有结构阻尼的单自由度系统，在一周振动内耗散的能量为它的

最大势能的1.2%,试计算其结构阻尼系数人

2.28要使每一循环消耗的能量与频率比无关，需要多大的阻尼系数。

2.29若振动物体受到的阻力与其运动速度平方成正比，即

2

[Fd=cixx<0

=-ax2x>0

求其等效阻尼系数和共振时的振幅。

解：实际上，这是一种低粘度流体阻尼。

设系统的运动为：x«)=Xcos(W-0)

4=Jax2dx

C冗Iwc

=[ax^d(A|H(w)|w)(wt-cp)

JO/

=J；a\a|H(vv)|w(wt-\H(w)|wAsin(w/-⑼也

牛"3A3sin-(p)dt

二『"-aw3X3sin3(69/-(p)dt

=-aXW[2(0)^-1(0)V]

A32

cod=^axco~

Q32

cod=^axCD

^ax^co1=CTKDX2

_8aL02

—3>7T

2.29

X=XCOS(69Z一(p)

x=-a)Xsin(&-。)

C7tl(o2.2兀Ia)2

W=axdx+-ax~dx

'rJo3Ms

广万/(D2222

=J。aco~X~sin~(a)t-(p)(-a)^Xcos(a)t-(p))dt

+co-a(D"2X"2sin”2(g/—(p\-co2Xcos(①/-(p))dt

=5aX%2

2

WP=WC=CTTO)X

「-8ax出

C―3」

%―3乃吊

X=cs~8«Xw2

2

coe=JF(1dx=41)axdx

rT/4*

=4axdx

Jo

rT/4AN

=41Zcocos-{cot-(p)dt

=1aZ%2

2

cOp=coc=CTIOJZ

coe=^aZco

Z二4Z=J叫

C。。8aZ<y2

2.30KG1II电动机重P,装在弹性基础上，静下沉量为。当转速为〃r/

min时，由于转子失衡，沿竖向有正弦激励，电机产生振幅为A的强迫振

动。试求激励的幅值，不计阻尼。

231电动机重P,装在弹性梁上，使梁有静挠度。转子重偏心距为

eo试求当转速为时，电动机上下强迫振动的振幅A,不计梁重。

2.32一飞机升降舵的调整片被接于升降舵的0轴上（图T—2.32）,并由

联动装置控制。该装置相当于一刚

度为kr的扭转弹簧。调整片转动惯

量为/,因而系统有频率

con=KT!I,但因kT不能精确计

算，必须用试验测定与o为此固定

升降舵，利用弹簧心对调整片做简

谐激励，并用弹簧队来抑制。改变

激励频率力直至达到其共振频率

试以在和试验装置的参数来表示调整片的固有频率七。

解：设调整片的转角为氏系统的微分方程为:

104-［得+（自+—2）/八=k2Lysincot

系统的共振频率为：①;」7+6+公乂2

因此:博=/就一（匕+3）〃

（匕+k2）l?

调整片的固有频率为:

2.33如图所示由悬架支承的车辆沿高低

不平的道路行进。试求W的振幅与行进速

度的关系，并确定最不利的行进速度。

解：由题目

2.33

T=令卬=苧=等

y=Ycos^-t

wX=-K(x-y)

wX=KYcos2f匕，

VPX+KX=KY

_2W

卬片乂⑸+0⑸二灯寻后

L

V/\KY手2K

X($)=".(等)2)g+K)q一

X=sin(74--^rsincot

co~+a~%一an

Y_y_y_y=KI?丫

~-1-(。/戴)2-1上娱―KI}-T^2V-W

KL

V=*k/w

2.33

3=专

L

Tv=L

mX+KX=Ky

X^(D；lX=co；y

Y_y*

丫*

丫2=卑

47rm

2.34单摆悬点沿水平方向做简谐运动(图T—2.34),=asinto试求在微

幅的强迫振动中偏角的变化规律。已知摆长为L,摆锤质量为m。

2.35一个重90N的飞机无线电要与发动机的频率1600~2200r/min范围的

振动隔离，为了隔离85%,隔振器的静变形需要多少？

2.36试从式(2.95)证明：

1.无论阻尼比，取何值，在频率比。/例=0时，恒有X=A。

2.在外/4〈血，XZ4随二增大而减小，而在G/q随二

增大而增大。

2.37某位移传感器固有频率为4.75Hz,阻尼比=0.650试估计所能测量

的最低频率，设要求误差口%,<2%o

2.38一位移传感器的臼有频为率2Hz,无阻尼，用以测量频率为8Hz的简

谐振动，测得振幅为0.132cm。问实际振幅是多少?误差为多少?

2.39一振动记录仪的固有频率为/?=3.0Hz,阻尼比=0.50o用其测量某

物体的振动，物体的运动方程已知为

x=2.05sin4^+1.0sin8t(cm)

证明：振动记录仪的振动z将为

z=1.03sin(4Z-50°)+1.15sin(8M20°)(cm)

2.40求单自由度无阻尼系统对图所示激励的响应，设初始条件为零。

解：

a

牝）二网/sincodt

MT}

Kt-「)=六e~~sin[^(Z-r)]

砥)=&sin%

2)二卷sin[0Q-明

XQ)=[dcosq(z-r)=4