机械振动和机械波 教学设计

机械振动和机械波

知识网络:

物理量：振幅、周期、频率

r运动规律;

简谐运动图象

（简谐运动＜

「弹簧振子：F=-kx

［受力特点＞回复力：F=-kx

mg

机械振动《I单提：F=

受迫振动——►共振L亿

周期：T=17t\-

在I阻尼振动无阻尼振动

的

介

传

质

播，形成和传播特点

中

类型——►横波纵波

波的图象

描述方法・

机械波《波的公式:x=vt

波的登加干涉衍射

实例

单元切块：多普勒效应

I特性——►力波，超声波及其应用

按照考纲的要求，本章内容可以分成两部分，即：机械振动；机械波。其中重点是简

谐运动和波的传播的规律。难点是对振动图象和波动图象的理解及应用。

机械振动

教学目标：

1.掌握简谐运动的动力学特征和描述简谐运动的物理量；掌握两种典型的简谐运动

模型一一弹簧振子和单摆。掌握单摆的周期公式；了解受迫振动、共振及常见的应用

2.理解简谐运动图象的物理意义并会利用简谐运动图象求振动的振幅、周期及任意

时刻的位移。

3.会利用振动图象询定振动枝点任意时刻的速值、加速度、位移及回复力的方向。

教学重点：简谐运动的特点和规律

教学难点：谐运动的动力学特征、振动图象

教学方法：讲练结合，计算机辅助教学

教学过程：

一、简谐运动的基本概念

1.定义

物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的

振动，叫简谐运动。表达式为：F=-kx

（1）简谐运动的位移必须是指偏离平衡位置的位移。也就是说，在研究简谐运动时

所说的位移的起点都必须在平衡位置处。

（2）回复力是一种效果力。是振动物体在沿振动方向上所受的合力。

（3）“平衡位置”不等于“平衡状态”。平衡位置是指回复力为零的位置，物体在该

位置所受的合外力不一定为零。（如单摆摆到最低点时，沿振动方向的合力为零，但在指

向悬点方向上的合力却不等于零，所以并不处于平衡状态）

（4）4-履是判断一个振动是不是简谐运动的充分必要条件。凡是简谐运动沿振动方向

的合力必须满足该条件；反之，只要沿振动方向的合力满足该条件，那么该振动一定是简谐

运动。

2.几个重要的物理量间的关系

要熟练掌握做简谐运动的物体在某一时刻（或某一位置）的位移X、回复力尺加速

度a、速度/这四个矢量的相互关系。

（1）由定义知：方&才，方向相反。

（2）由牛顿第二定律知：F-a,方向相同。

（3）由以上两条可知：a=x,方向相反。

（4）/和x、F、a之间的关系最复杂：当八a同向（即人尸同向，也就是v、x

反向）时P一定增大；当八a反向（即人少反向，也就是八x同向）时，口一定减小。

3.从总体上描述简浩运动的物理量

振动的最大特点是往复性或者说是周期性。因此振动物体在空间的运动有一定的范

围，用振幅力来描述；在时间上则用周期7来描述完成一次全振动所须的时间。

（1）振幅/I是描述振动强弱的物理量。（一定要将振幅跟位移相区别，在简谐运动的

振动过程中，振幅是不变的而位移是时刻在改变的）

（2）周期7是描述振动快慢的物理量。（频率户1/7'也是描述振动快慢的物理宣）

周期由振动系统本身的因素决定，叫固有周期。任何简谐运动都有共同的周期公式：

7=2书（其中勿是振动物体的质量，★是回复力系数，即简谐运动的判定式后-而中

的比例系数，对于弹簧振子k就是弹簧的劲度，对其它简谐运动它就不再是弹簧的劲度

了）。

二、典型的简谐运动

1.弹簧振子

（1）周期丁=2万』上，与振幅无关，只由振子质量和弹簧的劲度决定。

（2）可以证明，竖直放置的弹簧振子的振动也是简浩运动，周期公式也是7=2乃甘。

这个结论可以直接使用。

（3）在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧的弹力；在竖直方向上振动的弹

黄振了的回复力是弹簧弹力和重力的合力。

【例1】有一弹簧振子做简谐运动，则（）

A.加速度最大时，速度最大B.速度最大时，位移最大

C.位移最大时，回复力最大D.回复力最大时，加速度最大

解析：振子加速度最大时，处在最大位移处，此时振子的速度为零，由后-杉知道,

此时振子所受回复力最大，所以选项A错，C、D对.振子速度最大时，是经过平衡位置

时，此时位移为零，所以选项B错.故正确选项为C、D

点评：分析振动过程中各物理量如何变化时，一定要以位移为桥梁理清各物理量间的

关系：位移增大时，回欠力、加速度、势能均增大，速度、动量、动能均减小；位移减小

时，回复力、加速度、势能均减小，速度、动量、动能均增大.各矢量均在其值为零时改

变方向，如速度、动量均在最大位移处改变方向，位移、回复力、加速度均在平衡位置改

变方向.

【例2]试证明竖直方向的弹簧振子的振动是简谐运动.

解析：如图所示，设振子的平衡位置为“向下方向为正方向，此时弹簧的形变为七

根据胡克定律及平衡条件有

mg-例）=0①

当振子向下偏离平衡位置为工时，回复力（即合外力）为

品=〃密-仪”十*0）②不

将①代人②得：，二-履，可见，重物振动时的受力符合简谐运动的

条件.

点评：（1）分析一个振动是否为简谐运动，关键是判断它的回复力是否满足其大小与

位移成正比，方向总与位移方向相反.证明思路为：确定物体静止时的位置一一即为立衡

位置，考查振动物体在任一点受到同复力的特点是否满足/二一区八（2）还要知道

尸=一日中的A是个比例系数，是由振动系统本身决定的，不仅仅是指弹簧的劲度系数.关

于这点，在这里应理解为是简谐运动回复力的定义式.而且产生简谐运动的回复力可以是

一个力，也可以是某个力的分力或几个力的合力.此题中的回复力为弹力和重力的合力.

【例3】如图所示，质量为力的小球放在劲度为k的轻弹簧上，使小球上下振动而

乂始终未脱离弹簧。（1）最大振幅力是多大？（2）在这个振幅下弹簧对小球的最大弹力

凡是多大？

解析：该振动的回复力是弹簧弹力和重力的合力。在平衡位置弹力和重力等大反向，

合力为零；在平衡位置以下，弹力大于重力，F-mg=ma,越往下弹力越大；在平衡位置以

上，弹力小于重力，mg-F=ma,越往上弹力越小。平衡位置和振动的振幅大小无关。因此

振幅越大，在最高点处小球所受的弹力越小。极端情况是在最高点处小球刚好未离开弹簧，

弹力为零，合力就是重力。这时弹簧恰好为原长。

（1）最大振幅应满足kA=mg,4=坐~

k

（2）小球在最高点和最低点所受回复力大小相同，所以有：Fcng=mg,

【例4】弹簧振子以。点为平衡位置在反。两点之间做简谐运动.8C相距20cm.某

时刻振子处于8点.经过0.5s,振子首次到达。点.求：

（1）振动的周期和频率；

（2）振子在5s内通过的路程及位移大小；

（3）振子在B点的加速度大小跟它距。点4cm处〃点的加速度大小的比值.

解析：（1）设振幅为/,由题意BC=2A=10cm,所以/1=10cm.振子从8到C所用

时间£=0.5s.为周期T的一半，所以7=1.0s；/—1/7=1.0Hz.

（2）振子在1个周期内通过的路程为4人故在r=5s=57内通过的路程s=£〃X4/l

=200cm.5s内振子振动了5个周期，5s末振子仍处在月点，所以它偏离平衡位置的位

移大小为10cm.

k

（3）振子加速度。=---X.a=x,所以加：触=照：即=10：4=5：2.

m

【例5】一弹簧振子做简谐运动.周期为T

A.若t时刻和（＞ZU）时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则力£一定等于

772的整数倍

D.若1时刻和（Mt）时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则ZW一定等于

7的整数倍

C.若ZU=772,则在t时刻和（［一ZU）时刻弹簧的长度一定相等

D.若&=7,则在t时刻和（1一/£）时刻振子运动的加速度一定相同

解析：若4七=772或/£=〃7—〃2,（/?=1,2,3....）,则在t和（,+ZU）西时

刻振子必在关于干衡位置对称的两位置（包括平衡位置），这两时刻.振子的位移、回复

力、加速度、速度等均大小相等，方向相反.但在这两时刻弹簧的长度并不一定相等（只

有当振子在t和（E—两时刻均在平衡位置时，弹簧长度才相等）.反过来.若在t

和Ct-At）,两时刻振子的位移（回复力、加速度）和速度（动量）均大小相等.方向

相反，则ZU一定等于Zk=772的奇数倍.即ZU=（2/7-1）7/2（/?=1,2,3…）.如

果仅仅是振子的速度在E和（£+■£）,两时刻大小相等方向相反，那么不能得出ZU=

（2/7-1）772,更不能得出ZU=〃772（n=l,2,3…）.根据以上分析.A、C选项均错.

若［和（t+ZU）时刻，振子的位移（回复力、加速度）、速度（动量）等均相同，

则ZU=〃T（〃=1,2,,3…），但仅仅根据两时刻振子的位移相同，不能得出所

以B这项错.若ZU=*在［和（E+ZU）两时刻，振子的位移、回复力、加速度、速度

等均大小相等方向相同，D选项正确。

2.单摆。

（1）单摆振动的回复力是重力的切向分力，不能说成是重力和拉力的合力。在平衡

位置振子所受回复力是零，但合力是向心力，指向悬点，不为零。

（2）当单摆的摆角很小时（小于5°）时，单摆的周期丁=2乃//，与

摆球质量加、振幅力都无关。其中/为摆长，表示从悬点到摆球质心的距离，

要区分摆长和摆线长。

（3）小球在光滑圆弧上的往更滚动，和单摆完全等同。只要摆角足够小，

这个振动就是简谐运动。这时周期公式中的/应该是圆弧半径//和小球半径厂的差。

（4）摆钟问题。单摆的一个重要应用就是利用单摆振动的等时性制成摆钟。在计算

摆钟类的问题时，利用以下方法比较简单：在一定时间内，楞钟走过的格子数〃与频率f

成正比（〃可以是分钟数，也可以是秒数、小时数……），再由频率公式可以得到：

【例6】已知单摆摆长为乙悬点正下方3〃4处有一个钉子。让摆球做小角

度摆动，其周期将是多大？

解析：该搜在通过悬点的竖直线两边的运动都可以看作简谐运动，周期分别为

1和4=,因此该摆的周期为：7=n+ZL=2E

刀=222vg

【例7】固定圆弧轨道弧/山所含度数小于5°,末端切线水平。两个相同的小球a、

〃分别从轨道的顶端和正中由静止开始下滑，比较它们到达轨道底端所用的时间和动能：

f,：Zb,1：.、2o

解析：两小球的运动都可看作简谐运动的一部分，时间都等于四分之一周期，而同期

与振幅无关，所以£“二张从图中可以看出6小球的下落高度小于a小球下落高度的一半,

所以£>2£,。

【例8】将一个力电传感器接到计算机上，可以测量

快速变化的力。用这种方法测得的某单摆摆动过程中悬线

上拉力大小随时间变化的曲线如右图所示。由此图线提供

的信息做出卜.列判断:①f=0.2s时刻摆球正经过最低点;

②£=1.1s时摆球正处于最高点；③摆球摆动过程中机械

能时而增大时而减小；④摆球摆动的周期约是7=0.6s。

上述判断中正确的是

A.①③B.②④C.①②D.③④

解析：注意这是悬线上的拉力图象，而不是振动图象。当摆球到达最高点时，悬线上

的拉力最小；当摆球到达最低点时，悬线上的拉力最大。因此①②正确。从图象中看出摆

球到达最低点时的拉力一次比一次小，说明速率一次比一次小，反映出振动过程摆球一定

受到阻力作用，因此机械能应该一宜减小。在一个周期内，摆球应该经过两次最高点，两

次最低点，因此周期应该约是7=1.2s。因此答案③④错误。本题应选C。

三、简谐运动的图象

1.简谐运动的图象：以横轴表示时间t,以纵轴表示位移x,建立坐标系，画出的简

谐运动的位移一一时间图象都是正弦或余弦曲线.

2.振动图象的含义：振动图象表示了振动物体的位移随时间变化的规律.

3.图象的用途：从图象中可以知道：

(1)任一个时刻质点的位移(2)振幅人(3)周期T

(4)速度方向：由图线随时间的延伸就可以直接看出

(5)加速度：加速度与位移的大小成正比，而方向总与位移方向相反.只要从振动

图象中认清位移(大小和方向)随时间变化的规律，加速度随时间变化的情况就迎刃而解

T

点评：关于振动图象的讨论

（1）简谐运动的图象不是振动质点的轨迹.做简诸运动质点的轨迹是质点往复运动

的那一段线段（如弹簧振子）或那一段圆弧（如下一节的单摆）.这种往复运动的位移图

象。就是以/轴上纵坐标的数值表示质点对平衡位置的位移。以2轴横坐标数值表示各个

时刻，这样在Lf坐标系内，可以找到各个时刻对应质点位移坐标的点，即位移随时间

分布的情况一一振动图象.

（2）简谐运动的周期性，体现在振动图象上是曲线的重复性.简谐运动是一种复杂

的非匀变速运动.但运动的特点具有简单的周期性、重复性、对称性.所以用图象研究要

比用方程要直观、简便.简谐运动的图象随时间的增加将逐渐延伸，过去时刻的图形将永

远不变，任一时刻图线上过该点切线的斜率数值代表该时刻振子的速度大小。正负表示

速度的方向，正时沿X正向，负时沿X负向.

【例9】劲度系数为20N/cm的弹簧振子，它的振动图象如图所示，在图中A点对

应的时刻

A.振子所受的弹力大小为0.5N,方向指向x轴的负

方向

B.振子的速度方向指向x轴的正方向

C.在。〜4s内振子作了1.75次全振动

Do在。〜4s内振子通过的路程为0.35cm,位移为0

解析：由图可知/在「轴上方.位移x=0.25cm,所以弹力厂=-4x=-5N,即弹力

大小为5N,方向指向x轴负方向，选项A不正确；由图可知过力点作图线的切线，该切

线与x轴的正方向的夹角小于90。，切线斜率为正值，即振子的速度方向指向x轴的正

方向，选项B正确.由图可看出，1=0、£=4s时刻振子的位移都是最大，且都在f轴

的上方，在。〜4s内完成两次全振动，选项C错误.由于£=0时刻和？=4s时刻振子都

在最大位移处，所以在C〜4s内振子的位移为零，又由于振幅为（）.5cm,在（）〜4s内振

子完成了2次全振动，所以在这段时间内振子通过的路程为2X4X0.50cm=4cm,故选

项D错误.

综上所述，该题的正确选项为B.

【例J10］摆长为2的单摆做简谐振动，若从某时刻开始计时，（取作片0）,当振动

至/二21世时，摆球具有负向最大速度，则单摆的振动图象是图中的（

)

2

解析：从Q0时经过，二生,（时间，这段时间为上丁，经过上丁摆球具有负向

244

3

最大速度，说明摆球在平衡位置，在给出的四个图象中，经过37具有最大速度的有C、

4

D两图，而具有负向最大速度的只有D。所以选项D正询。

四、受迫振动与共振

1.受迫振动

物体在驱动力（既周期性外力）作用下的振动叫受迫振动。

⑴物体做受迫振动的频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关。

⑵物体做受迫振动的振幅由驱动力频率和物体的固有频率共同决定：两者越接近，受

迫振动的振幅越大，两者相差越大受迫振动的振幅越小。

2.共振

当驱动力的频率跟物体的固有频率相等时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫共振。

要求会用共振解释现象，知道什么情况下要利用共振，什么情况下要防止共振。

（1）利用共振的有：共振筛、转速计、微波炉、打夯机、跳板跳水、打秋千……

（2）防止共振的有：机床底座、航海、军队过桥、高层建筑、火车车厢……

【例11】把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，

给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛。不开电动机让这个筛子自由振动时，完成

20次全振动用15s；在某电压下，电动偏心轮的转速是88r/nin。已知增大电动偏心轮的

电压可以使其转速提高，而增加筛子的总质量可以增大筛子的固有周期。为使共振筛的振

幅增大，以下做法正确的足

A.降低输入电压B.提高输入电压

C.增加筛子质量D.减小筛子质量

解析：筛子的固有频率为f固=4/3Hz,而当时的驱动力频率为FSF88/60HZ,即八KF

乐。为了达到振幅增大，应该减小这两个频率差，所以应该增大固有频率或减小驱动刀频

率。本题应选AD。

[例12]一物体做爻迫振动，邪动力的频率小于该物体的固有须率。当驱动力的

频率逐渐增大时，该物体的振幅将；（）

A.逐渐增大

B.先逐渐减小后逐渐增大;

C.逐渐减小

D.先逐渐增大后逐渐减小

解析：此题可以由受迫振动的共振曲线图来判断。

受迫振动中物体振幅的大小和驱动力频率与系统固有频率之差有关。驱动力的频左越

接近系统的固有频率，驱动力与固有频率的差值越小，作受迫振动的振子的振幅就越大。

当外加驱动力频率等于系统固有频率时，振动物体发生共振，振幅最大。由共振曲线可

以看出，当驱动力的频率小于该物体的固有频率时，增大驱动力频率，振幅增大，直到驱

动力频率等于系统固有频率时，振动物体发生共振，振幅最大。在此之后若再增大驱动力

频率，则振动物体的振幅减小。

所以本题的正确答案为D。

【例13］如图所示，在一根张紧的水平绳上，悬挂有a、b、c、4e五个单摆，让

石摆略偏离平衡位置后无初速释放，在垂直纸面的平面内振动；接着其余各摆也开始振动。

下列说法中正确的有：（）

A.各摆的振动周期与a摆相同

B.各摆的振幅大小不同，c摆的振幅最大

C.各摆的振动周期不同，。摆的周期最长

D.各摆均做自由振动

解析：a摆做的是自由振动，周期就等于a摆的固有周期，其余各摆均做受迫振动，

所以振动周期均与a摆相同。。摆与a摆的摆长相同，所以。摆所受驱动力的频率与其

固有频率相等，这样c摆产生共振，故c摆的振幅最大。

此题正确答案为A、B。

五、针对训练

1.已知在单摆a完成10次全振动的时间内，单摆力完成6次全振动，两摆长之差为

1.6m.则两单摆摆长L与人分别为

A.，=2.5m,7/,=0.9mB.，=0.9m,L=2.5m

C.，=2.4m,4=4.0mD.A=4.0m,Jb=2.4m

2.一个弹簧振子在仍间作简谐运动，。是平衡位置，以某时刻作为计时零点。=。）。

经过二周期，振子具为正方向的最大加速度。那么以下几个振动图中哪一个正确地反映

4

了振子的振动情况？（）

3.如下图所示，一个小铁球，用长约10m的细线系牢，另一端固定在。点，小球在

。处平衡，第一次把小球由。处向右侧移开约4cm,从静止释放至回到C点所用时间为4；

第二次把小球提到。点，由静止释放，到达C点所用的时间为J，则（）

A.Qi?B.t1=t2C./（＜r2D.无法判断

O；

4.一个单摆作简谐运动，若使摆球质量变为原来的4倍，而通过平衡位置时的速度

变为原来的则（）

2

A.频率不变，振幅不变B.频率不变，振幅改变

C.频率改变，振幅不变I）.频率改变，振幅改变

5.甲、乙两个单摆的振动图线如图所示。根据振动图线可以断定（）

A.甲、乙两单摆摆长之比是4：9B.甲、乙两单摆振动的频率之比是2：

3

C.甲摆的振动能量大于乙摆的振动能量D.乙摆的振动能量大于甲摆的振动

能量

6.在一圆形轨道上运行的人造同步地球卫星中放一只用摆计时的挂钟，这个钟将要

（）

A.变慢B,变快C.停摆不走D.快慢不变

7.一个单摆放在甲地，每分振动45次；放在乙地，每分振动43次。甲、乙两地重

力加速度之比是O

8.如图是.两个单摆的振动图线。W的振幅是厘米，周期是

秒：N的振幅是厘米，周期是___________秒。开始振动后当N第一次通过工衡

位置时，必的位移是_________厘米。如果两摆球质量之比是1:2,在同一地点，摆长之

比是__________O

9.如图所示，在竖直平面内有一段光滑圆轨道它所对的圆心角小于F点

是朗'’的中点，也是圆弧的最低点。在小产之间的点。和P之间搭一光滑斜面，将一个滑

块（可视为质点）分别从。点和W点由静止开始释放，设圆半径为尼则两次运动到P点

所需的时间分别为

10.如图16是某物体的共振曲线，若是悬挂在天花板上的单摆的共振曲线，则其摆长为

L=（设g为已知）

图16

11.如图所示，一块质量为2kg、涂有碳黑的玻璃板，在拉力产的作

用卜.竖直向上做匀变速直线运动.一个频率为5Hz的振动方向为水平且固

定的振针，在玻璃板上画出了如图所示的图线，量得以=1cm,08=4cm,

叱9cm.求拉力产的大小.（不计一切摩擦阻力，取史10m/s2）

参考答案：

1.B2.D3.A4.B5.A6.C

7.1.09：1

8.20cm,4s,10cm,8s,20cm,1：4

10.g

4/2

11.()A=\cm/!庐3cm

BC=5cm

因为：TwT后3后172=0As

根据：△击aT

A5BC-AB2

所干二=2m/s

T2

F-mg=ma

得：P=n/m炉24N

附:

简谐运动的图象专项练习

1.一质点做简谐运动的振动图象如下图所示，由图可知t=4s时质点（

A.速度为正的最大谊，加速度为零

B.速度为零，加速度为负的最大值

C.位移为正的最大管，动能为最小

D.位移为正的最大直，动能为最大

2.如下图中，若质点在力对应的时刻，则其速度八加速度a的大小的变化情况为

)

A.p变大，a变小

C.I，变大，a变小D./变小，a变大

3.某质点做简谐运动其图象如下图所示，质点在k3.5s时，速度八加速度

的方向应为（）

A.为正，a为负B.v为负,a为正

C.八a都为正D.八a都为负

4.如下图所示的简谐运动图象中，在力和我时刻，运动质点相同的量为（

A.加速度B.位移C.速度D.回复力

5.如下图所示为质点〃在0〜4s内的振动图象，下列说法中正确的是（）

A.再过1s,该质点的位移是正的最大B.再过1s,该质点的速度方向向上

C.再过1s,该质点的加速度方向向上D.再过1s,该质点的加速度最大

6.一质点作简谐迄动的图象如下图所示，则该质点（）

A.在0至O.Ols内，速度与加速度同方向

B.在0.01至0.02s内，速度与回复力同方向

C.在0.025s末.速度为正,加速度为负

1）.在0.04s末，速度为零，回复力最大

7.如下图所示，下述说法中正确的是（）

A.第2s末加速度为正最大，速度为0B.第3s末加速度为0,速度为正最

大

C.第4s内加速度不断增大D.第4s内速度不断增大

8.一个做简谐振动H勺质点的振动图象如下图所示，在力、以△、△各时刻中，该质

点所受的回复力的即时功率为零的是（）

A•B."C.tzD.ti

9.如下图所示为一举摆做间谐运动的图象，在0.1〜0.2s这段时间内（）

A.物体的回复力逐渐减小B.物体的速度逐渐减小

C.物体的位移逐渐减小D.物体的势能逐渐减小

10.一个弹簧振子在/I、夕间做简谐运动,。为平衡位置.如下图々所示,以其一

时刻作计时起点（1为0）,经二周期，振子具有正方向增大的加速度，那么在下图力所

4

示的几个振动图象中，正确反映振子振动情况（以向右为正方向）的是（）

11.弹簧振子做简谐运动的图线如下图所示，在力至上这段时间内（）

A.振子的速度方向和加速度方向都不变

B.振子的速度方向和加速度方向都改变

C.振子的速度方向改变，加速度方向不变

D.振子的速度方向不变，加速度方向改变

12.如下左图所示为一弹簧振子的简谐运动图线，头0.1s内振子的平均速度和每

秒钟通过的路程为（）

A.4m/s,4mB.0.4m/s,4cmC.0.4m/s,0.4mI）.4m/s,0.4m

13.如上右图所示是某弹簧振子在水平面内做简谐运动的位移-时间图象，则振动

系统在（）

A.和心时刻具有相同的动能和动量B.力和&时刻具有相同的势能和不同的

动量

C.1和心时刻具有相同的加速度I）.和时刻振子所受回复力大小之比

为2：1

14.从如下图所示的振动图象中，可以判定弹簧振子在bs时，具有正向最

大加速度；t=s时，具有负方向最大速度；在时间从s至s内，振

子所受回复力在-x方向并不断增大;在时间从s至s内振子的速度在+x方向

上并不断增大.

15.如下图所示为两个弹簧振子的振动图象，它们振幅之比AA：AB=；周

期之比TA：TIF.若已知两振子质量之比mA:而2:3,劲度系数之比k”：k.F3：2,

则它们的最大加速度之比为.最大速度之比.

16.一水平弹簧振子的小球的质量m=5kg,弹簧的劲度系数50N/m,振子的振动图

线如下图所示.在t=l.25s时小球的加速度的大小为，方向：

在t=2.75s时小球的加速度大小为,速度的方向为.

参考答案

1.B、C2.C3.A4.C5.A、D6.A、D7.A、B、C8.D

9.A、C、D10.I)11.1)12.C13.B、D

14.0.4；0.2；0.6：0.8；0.4；0.6

15.2：1；2：3；9：2；3：1

16.6m/s2；向上；0；向下

17.0.Is；0.Im/s

教学后记

内容简单，学生掌握好，两种典型模型，单摆和弹簧镇子是高考重点，注意培养学生

建模能力和知识迁移能力是本节的首要任务。

机械波

教学目标：

1.掌握机械波的产生条件和机械波的传播特点（规律）；

2.掌握描述波的物理量一一波速、周期、波长；

3.正确区分振动图象和波动图象，并能运用两个图象解决有关问题

4.知道波的特性：波的直加、干涉、衍射；了解多普勒效应

教学重点：机械波的传播特点，机械波的三大关系（波长、波速、周期的关系；空间距

离和时间的美系；波形图、质点振动方向和波的传播方向间的关系）

教学难点：波的图象及相关应用

教学方法：讲练结合，计算机辅助教学

教学过程：

一、机械波

1.机械波的产生条件：①波源（机械振动）②传播振动的介质（相邻质点间存在相

互作用力）。

2.机械波的分类

机械波可分为横波和纵波两种。

（1）质点振动方向和波的传播方向垂直的叫横波，如：绳上波、水面波等。

（2）质点振动方向和波的传播方向平行的叫纵波，如：弹簧上的硫密波、声波等。

质点的振动方向和波

分类形状举例

的传播方向关系

横波垂直凹凸相间；有波峰、波谷绳波等

纵波在同一条直线上疏密相间；有密部、疏部弹簧波、声波等

说明：地震波既有横波，也有纵波。

3.机械波的传播

⑴在同一种均匀介质中机械波的传播是匀速的。波速、波长和频率之间满足公式：片小人

（2）介质质点的运动是在各臼的平衡位置附近的简谐运动,是变加速运动，介质质

点并不随波迁移。

（3）机械波转播的是振动形式、能量和信息。

（4）机械波的频率由波源决定，而传播速度由介质决定。

4.机械波的传播特点（规律）：

（1）前带后，后跟前，运动状态向后传。即：各质点都做受迫振动，起振方向曰波

源来决定；且其振动频率（周期）都等于波源的振动频率（周期），但离波源越远的质点

振动越滞后。

（2）机械波传播的是波源的振动形式和波源提供的能量，而不是质点。

5.机械波的反射、折射、干涉、衍射

一切波都能发生反射、折射、干涉、衍射。特别是干涉、衍射，是波特有的性质。

（1）干涉产生干涉的必要条件是：两列波源的频率必须相同。

需要说明的是：以上是发生干涉的必要条件，而不是充分条件。要发生干涉还要求两

列波的振动方向相同（要上下振动就都是上下振动，要左右振动就都是左右振动），还要

求相差恒定。我们经常列举的干涉都是相差为零的，也就是同向的。如果两个波源是振动

是反向的，那么在干涉区域内振动加强和减弱的位置就正好颠倒过来了。

干涉区域内某点是振动最强点还是振动最弱点的充要条件：

①最强：该点到两个波源的路程之差是波长的整数倍，即

②最弱：该点到两个波源的路程之差是半波长的奇数倍，即5=1（2〃+1）

根据以上分析，在稳定的干涉区域内，振动加强点始终加强；振动减弱点始终减弱。

至于“波峰和波峰叠加得到振动加强点”，“波谷和波谷叠加也得到振动加强点”，“波

峰和波谷叠加得到振动减弱点”这些都只是充分条件，不是必要条件。

[例1]如图所示，S、S是两个相干波源，它们振动同步且振幅相同。实线和虚

线分别表示在某一时刻它们所发出的波的波峰和波谷。关于图中所标的a、b、gd四点，

F列说法中正确的有

A.该时刻a质点振动最弱，b、c质点振动最强，d质点振动既不是最强也不是最对

B.该时刻口质点振动最弱，b、c、d质点振动都最强

C.&质点的振动始终是最弱的，b、c、d质点的振动始终是最强的

D.再过7/4后的时刻a、b、。三个质点都将处于各自的平衡位置，因此振动最弱

解析：该时刻a质点振动最弱，b、。质点振动最强，这不难理解。但是d既不是波

峰和波峰叠加，又不是波谷和波谷叠加，如何判定其振动强弱？这就要用到充要条件：•'到

两波源的路程之差是波长的整数倍”时振动最强，从图中可以看出，d是S、S连线的中

垂线上的一点，到S、£的距离相等，所以必然为振动最强点。

本题答案应选B、C

点评：描述振动强弱的物理量是振幅，而振幅不是位移。每个质点在振动过程中的位

移是在不断改变的，但振幅是保持不变的，所以振动最强的点无论处于波峰还是波谷，振

动始终是最强的。

［例2］如图所示表示两列相干水波的叠加情况，图中的实线表示波峰，虚线表示

波谷。设两列波的振幅均为5cm,且图示的范围内振幅不变，波速和波长分别为lm/s和

0.5m。。点是应‘连线的中点，卜列说法中止确的是；)

A.aE两点都保持静止不动

B.图示时刻/I、8两点的竖直高度差为20cm

C.图示时刻C点正处于平衡位置且向水面上运动

D.从图示的时刻起经0.25s,8点通过的路程为20cm

解析：由波的干涉知识可知图6中的质点/、B、E的连线处波峰和波峰或波谷和波谷

叠加是加强区，过〃、产的连线处和过户、。的连线处波峰和波谷叠加是减弱区。aE两

点是振动的加强点，不可能静止不动。所以选项A是错误的。

在图示时刻，力在波峰，〃在波谷，它们振动是加强的，振幅均为两列波的振幅之和,

均为10cm,此时的高度差为20cm,所以B选项正确。

力、B、a£均在振动加强区，且在同一条直线上，由题图可知波是入/

由£处向力处传播，在图示时刻的波形图线如右图所示，由图可知6•点(飞/

向水面运动，所以C选项正确.\

波的周期芹/1//:0.5s,经过0.25s,即经过半个周期。在半个周期内，质点的路

程为振幅的2倍，所以振动加强点B的路程为20cm,所以D选项正确。

点评：关于波的干涉，要正确理解稳定的干涉图样是表示加强区和减弱区的相对稳

定，但加强区和减弱区还是在做振动，加强区里两列波分别引起质点分振动的方向是相同

的，减弱区里两列波分别引起质点分振动的方向是相反的，发生变化的是振幅增大和减少

的区别，而且波形图沿着波的传播方向在前进。

（2）衍射。

①波绕过障碍物的现象叫做波的衍射。

②能够发生明显的衍射现象的条件是：障碍物或孔的尺寸比波长小，或者跟波长相差

不多。

（3）波的独立传播原理和叠加原理。

独立传播原理：几列波相遇时，能够保持各自的运动状态继续传播，不互相影响。

叠加原理：介质质点的位移、速度、加速度都等于几列波单独转播时引起的位移、速

度、加速度的矢量和。

波的独立传播原理和置加原理并不矛盾。前者是描述波的性质：同时在同一介质中传

播的几列波都是独立的。比如一个乐队中各种乐器发出的声波可以在空气中同时向外传

播，我们仍然能分清其中各种乐器发出的不同声波。后者是描述介质质点的运动情况：每

个介质质点的运动是各列波在该点引起的运动的矢量和。这好比老师给学生留作业：各个

老师要留的作业与其他老师无关，是独立的；但每个学生要做的作业却是所有老师留的作

业的总和。

【例3】如图中实线和虚线所示，振幅、周期、远振方向都相同的两列正弦波（都

只有一个完整波形）沿同一条直线向相反方向传播，在相遇阶段（一个周期内），试画出

每隔7/4后的波形图。并分析相遇后772时刻叠加区域内各质点的运动情况。

解析：根据波的独立传播原理和叠加原理可作出每隔7/4后的波形图如①②③④所

7J\a

相遇后772时刻叠加区域内abc曲各质点的位移都是零，但速度各不相同，其中a、c、

e三质点速度最大，方向如图所示，而/入d两质点速度为零。这说明在叠加区域内，a、c、

e三质点的振动是最强的，b、d两质点振动是最弱的。

6.多普勒效应

当波源或者接受者相对于介质运动时，接受者会发现波的频率发生了变化，这种现象

叫多普勒效应。

学习“多普勒效应”必须弄清的几个问题：

（1）当波源以速率P匀速靠近静止的观察者A时，观察者“感觉”到的频率变大了。

但不是“越来越大”。

（2）当波源静止，观察者以速率V匀速靠近波源时，观察者“感觉”到的频率乜变

大了。

（3）当波源与观察者相向运动时，观察者“感觉”到的频率变大。

（4）当波源与观察者背向运动时，观察者“感觉”到的频率变小。

【例4】（2004年高考科研测试）a为声源，发出声波；6为接收者，接收a发出的声

波。a、〃若运动，只限于在沿两者连线方向上，下列说法正确的是

A.a静止，b向a运动，则方收到的声频比a发出的高

B.a、b向同一方向运动，则。收到的声频一定比a发出的高

C.a、向同一方向运动，则人收到的声频一定比a发出的低

D.a、6都向相互背离的方向运动，则6收到的声频比a发出的高

答案：A

二、振动图象和波的图象

1.振动图象和波的绍象

振动图象和波的图象从图形_L看好象没有H么区别，但实际_L它们有本质的区别。

（1）物理意义不同：振动图象表示同一质点在不同时刻的位移；波的图象表示介质

中的各个质点在同一时刻的位移。

（2）图象的横坐标的单位不同：振动图象的横坐标表示时间；波的图象的横坐标表

示距离。

（3）从振动图象上可以读出振幅和周期；从波的图象上可以读出振幅和波长。

简谐振动图象与简谐横波图象的列表比较：

，后简谐振动简谐横波

图

象

坐横坐标时间介质中各质点的平衡位置

标纵坐标质点的振动位移各质点在同一时刻的振动位移

研究对象一个质点介质中的大量质点

物理意义一•个•质•点•在不同时刻的振介质中各质点在同一时刻的振

动位移动位移

随时间的变化原有图形不变，图线随时间原有波形沿波的传播方向平移

而延伸

波在介质中匀速传播；介质中各

运动情况质点做简谐运动

质点做简谐振动

2.描述波的物理量一波速、周期、波长：

（1）波速/：运动状态或波形在介质中传播的速率；同一种波的波速由介质决定。

注：在横波中，某一波峰（波谷）在单位时间内传播的距离等于波速。

（2）周期7：即质点的振动周期；由波源决定。

（3）波长/I：在波动中，振动位移总是相同的两个相邻质点间的距离。

注：在横波中，两个相邻波峰（波谷）之间的距离为一个波长。

结论：

（1）波在一个周期内传播的距离恰好为波长。

由此：①%八/伫入f；\:vT.②波长由波源和介质决定。

（2）质点振动〃7（波传播〃八）时，波形不变。

（3）相隔波长整数倍的两质点，振动状态总相同；相隔半波长奇数倍的两质点，振

动状态总相反。

3.波的图象的画法

波的图象中，波的图形、波的传播方向、某一介质质点的瞬时速度方向，这三者中已

知任意两者，可以判定另一个。（口诀为“上坡下，下坡上”；或者“右上右、左上左））

4.波的传播是匀速的

在一个周期内，波形匀速向前推进一个波长。〃个周期波形向前推进〃个波长（〃可

以是任意正数）。因此在计算中既可以使用v=A-f,也可以使用v=s/t,后者往往更方便。

5.介质质点的运动是简谐运动（是一种变加速运动）

任何一个介质质点在一个周期内经过的路程都是44在半个周期内经过的路程都是

2/1,但在四分之一个周期内经过的路程就不一定是力了。

6.起振方向

介质中每个质点开始振动的方向都和振源开始振动的方向相同。

【例5】在均匀介质中有一个振源S,它以50H,

的频率上下振动，该振动以，10m/s的速度沿弹性绳向左、右两边传播。开始时刻S的速度

方向向下，试画出在片0.03s时刻的波形。

解析：从开始计时到片0.03s经历了1.5个周期，

波分别向左、右传播1.5个波长，该时刻波源S的速

度方向向.匕所以波形如右图所示。

【例6】如图所示是一列简谐横波在户0时刻的波形图，已知这列波沿x轴正方向

传播，波速为20ni/s。夕是离原点为2m的一个介质质点，则在片0.17s时刻，质点尸的:

①速度和加速度都沿-y方向；②速度沿+y方向,加速度沿-y力向；③速度和加速度都正

在增大；④速度正在增大，加速度正在减小。

以上四种判断中正确的是

A.只有①B.只有④

C.只有①④D.只有②®

解析：由己知，该波的波长4=4m,波速尸20m/s,