量子力学期末试题及答案

量子力学期末试题及答案第第页量子力学期末试题及答案一、（20分）已知氢原子在时处于状态其中，为该氢原子的第个能量本征态。求能量及自旋分量的取值概率与平均值，写出时的波函数。解已知氢原子的本征值为，（1）将时的波函数写成矩阵形式（2）利用归一化条件（3）于是，归一化后的波函数为（4）能量的可能取值为，相应的取值几率为（5）能量平均值为（6）自旋分量的可能取值为，相应的取值几率为（7）自旋分量的平均值为（8）时的波函数（9）二.（20分）质量为的粒子在如下一维势阱中运动若已知该粒子在此势阱中有一个能量的状态，试确定此势阱的宽度。解对于的情况，三个区域中的波函数分别为（1）其中，（2）利用波函数再处的连接条件知，，。在处，利用波函数及其一阶导数连续的条件（3）得到（4）于是有（5）此即能量满足的超越方程。当时，由于（6）故（7）最后得到势阱的宽度（8）三、（20分）证明如下关系式（1）任意角动量算符满足。证明对分量有同理可知，对与分量亦有相应的结果，故欲证之式成立。投影算符是一个厄米算符，其中，是任意正交归一的完备本征函数系。证明在任意的两个状态与之下，投影算符的矩阵元为而投影算符的共軛算符的矩阵元为显然，两者的矩阵元是相同的，由与的任意性可知投影算符是厄米算符。利用证明，其中，为任意正交归一完备本征函数系。证明四、（20分）在与表象中，在轨道角动量量子数的子空间中，分别计算算符、与的矩阵元，进而求出它们的本征值与相应的本征矢。解在与表象下，当轨道角动量量子数时，，显然，算符、与皆为三维矩阵。由于在自身表象中，故是对角矩阵，且其对角元为相应的本征值，于是有（1）相应的本征解为（2）对于算符、而言，需要用到升降算符，即（3）而（4）当时，显然，算符、的对角元皆为零，并且，（5）只有当量子数相差时矩阵元才不为零，即（6）于是得到算符、的矩阵形式如下（7）满足的本征方程为（8）相应的久期方程为（9）将其化为（10）得到三个本征值分别为（11）将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为（12）满足的本征方程为（13）相应的久期方程为（14）将其化为（15）得到三个本征值分别为（16）将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为（17）五、（20分）由两个质量皆为、角频率皆为的线谐振子构成的体系，加上微扰项（分别为两个线谐振子的坐标）后，用微扰论求体系基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正。提示：线谐振子基底之下坐标算符的矩阵元为式中，。解体系的哈密顿算符为（1）其中（2）已知的解为（3）其中（4）将前三个能量与波函数具体写出来（5）对于基态而言，，，体系无简并。利用公式（6）可知（7）显然，求和号中不为零的矩阵元只有（8）于是得到基态能量的二级修正为（9）第二激发态为三度简并，能量一级修正满足的久期方程为（10）其中（11）将上式代入（10）式得到（12）整理之，满足（13）于是得到第二激发态能量的一级修正为（14）1.微观粒子具有波粒二象性。2．德布罗意关系是粒子能量E、动量P与频率、波长之间的关系，其表达式为：E=,p=。3．根据波函数的统计解释，的物理意义为：粒子在x—dx范围内的几率。4．量子力学中力学量用厄米算符表示。 5．坐标的分量算符和动量的分量算符的对易关系为：。6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数(x)所描写的状态时，测量某力学量F所得的数值，必定是算符的本征值。7．定态波函数的形式为：。8．一个力学量为守恒量的条件是：不显含时间，且与哈密顿算符对易。9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的________。10．每个电子具有自旋角动量，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为：。二、证明题：（每题10分，共20分）得分评卷人1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系：证明：2、（10分）由Schrödinger方程证明几率守恒：其中几率密度几率流密度证明：考虑Schrödinger方程及其共轭式：在空间闭区域τ中将上式积分，则有：三、计算题：（共40分）得分评卷人1、（10分）设氢原子处于状态求氢原子能量E、角动量平方L2、角动量Z分量LZ的可能值及这些可能值出现的几率。解：在此状态中，氢原子能量有确定值，几率为1角动量平方有确定值为，几率为1角动量Z分量的可能值为其相应的几率分别为，2、（10分）求角动量z分量的本征值和本征函数。解：波函数单值条件，要求当φ转过2π角回到原位时波函数值相等，即：求归一化系数最后，得Lz的本征函数3、（2