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河南省周口市淮阳区2024-2025学年高一数学上学期期末试题一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.用C(A)表示非空集合A中的元素个数,定义A*B=若A={1,2},B={x|(x2+ax)·(x2+ax+2)=0},且A*B=1,设实数a的全部可能取值组成的集合是S,则C(S)等于()A.1 B.3 C.5 D.7【答案】B【解析】【分析】依据题意可得或,进而探讨a的范围,确定出,最终得到答案.【详解】因为,,所以或,由,得,关于x的方程,当时,即时,易知,符合题意;当时,即或时,易知0,-a不是方程的根,故,不符合题意;当时,即时,方程无实根,若a=0,则B={0},,符合题意,若或,则,不符合题意.所以,故.故选:B.【点睛】对于新定义的问题,确定要读懂题意,一般理解起来不难,它一般和平常所学学问和方法有很大关联;另外当时,简单遗漏a=0时的状况,留意细致分析题目.2.已知为第三象限角,则下列推断正确的是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据为第三象限角,由三角函数在象限的正负,推断选项.【详解】是第三象限角,,,,故AB不正确;,故C不正确;,故D正确.故选:D3.假如两个正方形的边长之和为,那么它们的面积之和的最小值是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设两个正方形的边长分别为、,可得,利用基本不等式可求得两个正方形的面积之和的最小值.【详解】设两个正方形的边长分别为、,则,且,由基本不等式可得,所以,,所以,,当且仅当时,等号成立,因此,两个正方形的面积之和的最小值为.故选:B.【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,要留意其必需满意的三个条件:(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必需为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必需把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必需把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必需验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最简单发生错误的地方.4.已知,则的值为()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将分式化为整式后可得的值.【详解】因为,故即,若,则,与平方和为1冲突,故即,故选:D.5.假如方程的解为,则实数的值分别是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将两根代入二次方程,待定系数求解即可【详解】由题意,方程的解为,故,解得.故选:A6.“”是“函数是定义在上的减函数”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】本题首先可以依据函数是定义在上的减函数得出,然后依据是的真子集即可得出结果.【详解】因为函数是定义在上的减函数,所以,解得,因为是的真子集,所以“”是“函数是定义在上的减函数”的必要不充分条件,故选:B.【点睛】本题考查充分条件以及必要条件的推断,可借助集合的方式进行推断,考查分段函数的单调性,分段函数在定义域上单调递减时,每段函数都递减,且要留意分界点处函数值的处理,是中档题.7.已知函数,是函数的一个零点,是函数的一条对称轴,若在区间上单调,则的最大值是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设函数的最小正周期为,依据题意分析得出,其中,可得出,利用函数的单调性可得出的取值范围,可得出的可能取值,然后对的值由大到小进行检验,可得结果.【详解】设函数的最小正周期为,因为是函数的一个零点,是函数的一条对称轴,则,其中,所以,,,因为函数在区间上单调,则,所以,.所以,的可能取值有:、、、、.(i)当时,,,所以,,则,,,所以,,当时,,所以,函数在上不单调,不合乎题意;(ii)当时,,,所以,,则,,,所以,,当时,,所以,函数在上单调递减,合乎题意.因此,最大值为.故选:A.【点睛】关键点点睛:本题考查三角函数中的最值的求解,解题的关键在于利用函数的周期确定的表达式与取值范围,再进行检验即可.8.设函数,若对于随意实数,在区间上至少有2个零点,至多有3个零点,则的取值范围是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】,只须要探讨的根的状况,借助于和的图像,依据交点状况,列不等式组,解出的取值范围.【详解】令,则令,则则问题转化为在区间上至少有两个,至少有三个t,使得,求的取值范围.作出和的图像,视察交点个数,可知使得的最短区间长度为2π,最长长度为,由题意列不等式的:解得:.故选:B【点睛】探讨y=Asin(ωx+φ)+B的性质通常用换元法(令),转化为探讨的图像和性质较为便利.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.设集合,且,则实数a可以是()A B.1 C. D.0【答案】ACD【解析】【分析】由,可得,对集合N分类探讨可得结果.【详解】,因为,所以,因为,所以当时,,满意,当时,,满意,当时,,满意,故选:ACD.10.将函数的图象向左平移个单位长度,再将图象上全部点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),得到的图象,则()A.函数是偶函数 B.是函数的一个零点C.函数在区间上单调递增 D.函数的图象关于直线对称【答案】BCD【解析】【分析】依据三角函数图象变换可得,依据函数图象性质逐项推断即可.【详解】解:将函数的图象向左平移个单位长度,可得,再将图象上全部点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),可得,对于A选项,令,则,,故函数不是偶函数,A不正确;对于B选项,因为,故是函数的一个零点,B正确;对于C选项,当时,,所以函数在区间上单调递增,C正确;对于D选项,因为对称轴满意,解得,则时,,所以函数的图象关于直线对称,D正确.故选:BCD.11.已知函数,下列说法正确的是()A.函数的图象不过定点B.函数在区间上单调递减C.函数在区间上的最小值为0D.若对随意,恒成立,则实数的取值范围是【答案】CD【解析】【分析】依据对数函数的图象与性质逐一推断【详解】对于A,因为对随意都有,所以的图象过定点,故A错误;对于B,时,,在上单调递增,故B错误;对于C,由以上知在上单调递减,在上单调递增,在区间上的最小值为,故C正确;对于D,对随意,恒成立,则有,解得,故D正确.故选:CD12.函数的图像关于对称,且,则()A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】依据协助角公式化简,然后依据其图像关于对称,可得之间的关系,从而得到,然后对选项逐一推断,即可得到结果.【详解】因为,其中因为函数的图像关于对称,所以,即化简得,故A正确.则即,因为,故B正确.因为,故C错误.因为故D正确.故选:ABD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.不等式的解集为,则实数a的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】由题意可得恒成立,分别对,,探讨,结合二次不等式、二次函数图像与性质即可求出答案.【详解】由不等式的解集为等价于恒成立,当时,成立,符合条件;当时,依据二次函数图像开口向上,确定会有函数值大于0,故不符合;当时,只需让,解得,综上所述,a的取值范围为,故答案为:14.已知,,且,则最大值是______.【答案】【解析】【分析】利用,,且,求出的范围,将消元得,利用二次函数的最值及倒数法则即可求得的最大值.【详解】解:因为,,且,所以,,当时,取最小值,所以取最大值,故的最大值是.故答案为:.15.已知函数,则________.【答案】##【解析】【分析】可令,,利用倒序相加法,将角度之和为的两项结合(如化简整理即可.【详解】解:,,令,①,②①②得:,,即.故答案为:.16.若正实数满意,则的最大值为________.【答案】【解析】【分析】由题设,由结合基本不等式可得,从而可得的最大值.【详解】因为,所以,而,故,所以,当且仅当等号成立,故的最大值为.故答案为:.【点睛】本题为三元等式条件下的最值问题,留意将欲求范围的变量分别出来,再结合代数式的特点把最值问题转化为整体的范围问题,而后者可依据基本不等式来处理,本题属于中档题.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设集合,(1)请写出一个集合,使“”是“”的充分条件,但“”不是“”的必要条件;(2)请写出一个集合,使“”是“”的必要条件,但“”不是“”的充分条件.【答案】(1)(答案不唯一);(2)(答案不唯一)【解析】【分析】依据充分必要性推断集合与集合之间的包含关系,从而写出符合题意的集合.【详解】(1)由于“”是“”的充分条件,但“”不是“”的必要条件,所以集合是集合的真子集,由此可得符合题意.(2)由于于“”是“”的必要条件,但“”不是“”的充分条件,所以集合是集合的真子集,由此可知符合题意.18.已知函数,a不为0.(1)当时,解不等式;(2)若恒成立,求a的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)依据一元二次不等式的解法求得不等式的解集.(2)结合开口方向以及判别式求得的取值范围.【小问1详解】当时,,即,,解得或所以不等式的解集为.【小问2详解】恒成立,因为a不为0,所以且,即,a的取值范围为:.19.已知函数与.(1)推断奇偶性;(2)若函数有且只有一个零点,求实数a取值范围.【答案】(1)偶函数(2)【解析】【分析】(1)依据奇偶性定义推断;(2)函数只有一个零点,转化为方程只有一个根,用换元法转化为二次方程只有一个正根(或两个相等正根),再依据二次方程根分布分类探讨可得.【小问1详解】∵的定义域为R,∴,∴为偶函数.【小问2详解】函数只有一个零点即即方程有且只有一个实根.令,则方程有且只有一个正根.①当时,,不合题意;②当时,若方程有两相等正根,则,且,解得;满意题意③若方程有一个正根和一个负根,则,即时,满意题意.∴实数a的取值范围为.20.已知一次函数满意,.(1)求的解析式;(2)若,,求实数m的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)待定系数法求函数解析式,设,代入条件,得到方程组,解出参数即可;(2)将函数解析式代入即可转化为一个不等式恒成立的问题.【小问1详解】设,则.由得.因为,所以.所以,的解析式为.【小问2详解】将代入得(*).即,.①当时,不等式*变为,满意条件;②当时,原问题等价于解得.综上,实数的取值范围为.21.在①f(x)的图像关于直线对称,②f(x)的图像关于点对称,③f(x)在上单调递增这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,若问题中的正实数a存在,求出a的值;若a不存在,说明理由.已知函数的最小正周期不小于,且___________,是否存在正实数a,使得函数f(x)在[0,]上有最大值3?注∶假如选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.【答案】答案见解析【解析】【分析】若选择①,即的图像关于直线对称,则可推出,进而利用正弦型函数的性质,求得的最大值,从而得到,不符合题意.若选择②,可得,进而求得的最大值,,从而得到,不符合题意.若选择③,可得,进而求得的最大值,从而得到,符合题意.【详解】解:由于函数的最小正周期不小于,所以,所以,,若选择①,即的图像关于直线对称,有,解得,由于,,,所以,,此时,,由,得,因此当,即时,取得最大值,令,解得,不符合题意.故不存在正实数a,使得函数在上有最大值若选择②,即的图象关于点对称,则有,解得,由于,,,所以,此时,由,得,因此当,即时,取得最大值,令,解得,不符合题意.故不存在正实数a,使得函数在上有最大值3;若选择③,即在上单调递增,则有,解得,由于,,,所以,此时,由,得,因此当,即时,取得最大值,令,解得,符合题意.故存在正实数,使得函数在上有最大值22.若点在函数的图象上,且满意,则称是的点.函数的全部点构成的集合称为的集.(1)推断是否是函数的点,并说明理由;(2)若函数的集为,求的最大值;(3)若定义域为的连续函数的集满意,求证:.【答案】(1)不是,理由见解析;(2);(3)见解析【解析】【分析】(1)干脆求出,再推断出,即可得到,即可得到结论;(2)先说明,若,则,由题设得到,推出冲突即可证得;再说明的值可以等于,令,利用三角函数的值域加以证明即可;(3)由题设知,必存在,使得,结合零点存在定理说明函数必存在零点,即可证明.【小问1详解】不是函数的点,理由如下:设,则,,因为,所以,所以,所以不是函数的点;【小问2详解】先证明,若,则函数
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