黑龙江省绥化市安达第七中学2025届高三下学期第五次调研考试数学试题含解析_第1页
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文档简介

黑龙江省绥化市安达第七中学2025届高三下学期第五次调研考试数学试题注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知的部分图象如图所示,则的表达式是()A. B.C. D.2.已知函数,若函数的所有零点依次记为,且,则()A. B. C. D.3.的展开式中的系数是-10,则实数()A.2 B.1 C.-1 D.-24.已知的展开式中的常数项为8,则实数()A.2 B.-2 C.-3 D.35.设函数(,为自然对数的底数),定义在上的函数满足,且当时,.若存在,且为函数的一个零点,则实数的取值范围为()A. B. C. D.6.若复数满足,则的虚部为()A.5 B. C. D.-57.已知双曲线的焦距为,若的渐近线上存在点,使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直,则双曲线的离心率的取值范围是()A. B. C. D.8.已知复数满足,(为虚数单位),则()A. B. C. D.39.设M是边BC上任意一点,N为AM的中点,若,则的值为()A.1 B. C. D.10.已知函数,若方程恰有两个不同实根,则正数m的取值范围为()A. B.C. D.11.在中,角所对的边分别为,已知,则()A.或 B. C. D.或12.抛物线的准线与轴的交点为点,过点作直线与抛物线交于、两点,使得是的中点,则直线的斜率为()A. B. C.1 D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.(5分)有一道描述有关等差与等比数列的问题:有四个和尚在做法事之前按身高从低到高站成一列,已知前三个和尚的身高依次成等差数列,后三个和尚的身高依次成等比数列,且前三个和尚的身高之和为cm,中间两个和尚的身高之和为cm,则最高的和尚的身高是____________cm.14.函数的图像如图所示,则该函数的最小正周期为________.15.已知三棱锥中,,,,且二面角的大小为,则三棱锥外接球的表面积为__________.16.一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示,则这个几何体的体积是___________三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数,.(1)当时,求不等式的解集;(2)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.18.(12分)设函数,.(1)解不等式;(2)若对任意的实数恒成立,求的取值范围.19.(12分)已知矩阵的一个特征值为4,求矩阵A的逆矩阵.20.(12分)已知函数(1)已知直线:,:.若直线与关于对称,又函数在处的切线与垂直,求实数的值;(2)若函数,则当,时,求证:①;②.21.(12分)已知,,.(1)求的最小值;(2)若对任意,都有,求实数的取值范围.22.(10分)如图,在三棱柱中,平面,,且.(1)求棱与所成的角的大小;(2)在棱上确定一点,使二面角的平面角的余弦值为.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

由图象求出以及函数的最小正周期的值,利用周期公式可求得的值,然后将点的坐标代入函数的解析式,结合的取值范围求出的值,由此可得出函数的解析式.【详解】由图象可得,函数的最小正周期为,.将点代入函数的解析式得,得,,,则,,因此,.故选:D.【点睛】本题考查利用图象求三角函数解析式,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.2、C【解析】

令,求出在的对称轴,由三角函数的对称性可得,将式子相加并整理即可求得的值.【详解】令,得,即对称轴为.函数周期,令,可得.则函数在上有8条对称轴.根据正弦函数的性质可知,将以上各式相加得:故选:C.【点睛】本题考查了三角函数的对称性,考查了三角函数的周期性,考查了等差数列求和.本题的难点是将所求的式子拆分为的形式.3、C【解析】

利用通项公式找到的系数,令其等于-10即可.【详解】二项式展开式的通项为,令,得,则,所以,解得.故选:C【点睛】本题考查求二项展开式中特定项的系数,考查学生的运算求解能力,是一道容易题.4、A【解析】

先求的展开式,再分类分析中用哪一项与相乘,将所有结果为常数的相加,即为展开式的常数项,从而求出的值.【详解】展开式的通项为,当取2时,常数项为,当取时,常数项为由题知,则.故选:A.【点睛】本题考查了两个二项式乘积的展开式中的系数问题,其中对所取的项要进行分类讨论,属于基础题.5、D【解析】

先构造函数,由题意判断出函数的奇偶性,再对函数求导,判断其单调性,进而可求出结果.【详解】构造函数,因为,所以,所以为奇函数,当时,,所以在上单调递减,所以在R上单调递减.因为存在,所以,所以,化简得,所以,即令,因为为函数的一个零点,所以在时有一个零点因为当时,,所以函数在时单调递减,由选项知,,又因为,所以要使在时有一个零点,只需使,解得,所以a的取值范围为,故选D.【点睛】本题主要考查函数与方程的综合问题,难度较大.6、C【解析】

把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】由(1+i)z=|3+4i|,得z,∴z的虚部为.故选C.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题.7、B【解析】

由可得;由过点所作的圆的两条切线互相垂直可得,又焦点到双曲线渐近线的距离为,则,进而求解.【详解】,所以离心率,又圆是以为圆心,半径的圆,要使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直,必有,而焦点到双曲线渐近线的距离为,所以,即,所以,所以双曲线的离心率的取值范围是.故选:B【点睛】本题考查双曲线的离心率的范围,考查双曲线的性质的应用.8、A【解析】,故,故选A.9、B【解析】

设,通过,再利用向量的加减运算可得,结合条件即可得解.【详解】设,则有.又,所以,有.故选B.【点睛】本题考查了向量共线及向量运算知识,利用向量共线及向量运算知识,用基底向量向量来表示所求向量,利用平面向量表示法唯一来解决问题.10、D【解析】

当时,函数周期为,画出函数图像,如图所示,方程两个不同实根,即函数和有图像两个交点,计算,,根据图像得到答案.【详解】当时,,故函数周期为,画出函数图像,如图所示:方程,即,即函数和有两个交点.,,故,,,,.根据图像知:.故选:.【点睛】本题考查了函数的零点问题,确定函数周期画出函数图像是解题的关键.11、D【解析】

根据正弦定理得到,化简得到答案.【详解】由,得,∴,∴或,∴或.故选:【点睛】本题考查了正弦定理解三角形,意在考查学生的计算能力.12、B【解析】

设点、,设直线的方程为,由题意得出,将直线的方程与抛物线的方程联立,列出韦达定理,结合可求得的值,由此可得出直线的斜率.【详解】由题意可知点,设点、,设直线的方程为,由于点是的中点,则,将直线的方程与抛物线的方程联立得,整理得,由韦达定理得,得,,解得,因此,直线的斜率为.故选:B.【点睛】本题考查直线斜率的求解,考查直线与抛物线的综合问题,涉及韦达定理设而不求法的应用,考查运算求解能力,属于中等题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

依题意设前三个和尚的身高依次为,第四个(最高)和尚的身高为,则,解得,又,解得,又因为成等比数列,则公比,故.14、【解析】

根据图象利用,先求出的值,结合求出,然后利用周期公式进行求解即可.【详解】解:由,得,,,则,,,即,则函数的最小正周期,故答案为:8【点睛】本题主要考查三角函数周期的求解,结合图象求出函数的解析式是解决本题的关键.15、【解析】

设的中心为T,AB的中点为N,AC中点为M,分别过M,T做平面ABC,平面PAB的垂线,则垂线的交点为球心O,将的长度求出或用球半径表示,再利用余弦定理即可建立方程解得半径.【详解】设的中心为T,AB的中点为N,AC中点为M,分别过M,T做平面ABC,平面PAB的垂线,则垂线的交点为球心O,如图所示因为,,所以,,,又二面角的大小为,则,,所以,设外接球半径为R,则,,在中,由余弦定理,得,即,解得,故三棱锥外接球的表面积.故答案为:.【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积问题,解决此类问题一定要数形结合,建立关于球的半径的方程,本题计算量较大,是一道难题.16、【解析】

先还原几何体,再根据柱体体积公式求解【详解】空间几何体为一个棱柱,如图,底面为边长为的直角三角形,高为的棱柱,所以体积为【点睛】本题考查三视图以及柱体体积公式,考查基本分析求解能力,属基础题三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】

(1)当时,,当或时,,所以可转化为,解得,所以不等式的解集为.(2)因为,所以,所以,即,即.当时,因为,所以,不符合题意.当时,解可得,因为当时,不等式恒成立,所以,所以,解得,所以实数的取值范围为.18、(1);(2)【解析】试题分析:(1)将绝对值不等式两边平方,化为二次不等式求解.(2)将问题化为分段函数问题,通过分类讨论并根据恒成立问题的解法求解即可.试题解析:整理得解得①②解得③,且无限趋近于4,综上的取值范围是19、.【解析】

根据特征多项式可得,可得,进而可得矩阵A的逆矩阵.【详解】因为矩阵的特征多项式,所以,所以.因为,且,所以.【点睛】本题考查矩阵的特征多项式以及逆矩阵的求解,是基础题.20、(1)(2)①证明见解析②证明见解析【解析】

(1)首先根据直线关于直线对称的直线的求法,求得的方程及其斜率.根据函数在处的切线与垂直列方程,解方程求得的值.(2)①构造函数,利用的导函数证得当时,,由此证得.②由①知成立,整理得成立.利用构造函数法证得,由此得到,即,化简后得到.【详解】(1)由解得必过与的交点.在上取点,易得点关于对称的点为,即为直线,所以的方程为,即,其斜率为.又因为,所以,,由题意,解得.(2)因为,所以.①令,则,则,且,,时,,单调递减;时,,单调递增.因为,所以,因为,所以存在,使时,,单调递增;时,,单调递减;时,,单调递增.又,所以时,,即,所以,即成立.②由①知成立,即有成立.令,即.所以时,,单调递增;时,,单调递减,所以,即,因为,所以,所以时,,即时,.【点睛】本小题考查函数图象的对称性,利用导数求切线的斜率,利用导数证明不等式等基础知识;考查学生分析问题,解决问题的能力,推理与运算求解能力,转化与化归思想,数形结合思想和应用意识.21、(1)2;(2).【解析】

(1)化简得,所以,展开后利用基本不等式求最小值即可;(2)由(1),原不等式可转化为,讨论去绝对值即可求得的取值范围.【详解】(1)∵,,∴,∴.∴.当且仅当且即时,.(2)由(1)知,,对任意,都有,∴,即.①当时,有,解得;②当,时,有,解得;③当时,有,解得;综上,,∴实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查基本不等式的运用和求解含绝对值的不等式,考查学生的分类思想和计算能力,属于中档题.22、(1)(2)【解析】试题分析:(1)因为AB⊥AC,A1B⊥平面ABC,所以以A为坐标原点,分别以AC、AB所在直线分别为x轴和y轴,以过A,且平行于BA1的直线为z轴建立空间直角坐标系,由AB=AC=A1B=2求出所要用到的点的坐标,求出棱AA1与BC上的两个向量,由向量的夹角求棱AA1与BC所成的角的大小;

(2)设棱B1C1上的一点P,由向量共线得到P点的坐标,然后求出两个平面PAB与平面ABA1的一个法向量,把二面角P-AB-A1的平面角的余弦值为,转化为它们法向量所成角的余弦值,由此

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