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文档简介
广东省揭阳市统考2025届高三第二次模拟考试数学试卷请考生注意:1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.在平面直角坐标系中,已知角的顶点与原点重合,始边与轴的非负半轴重合,终边落在直线上,则()A. B. C. D.2.已知抛物线,F为抛物线的焦点且MN为过焦点的弦,若,,则的面积为()A. B. C. D.3.直线与抛物线C:交于A,B两点,直线,且l与C相切,切点为P,记的面积为S,则的最小值为A. B. C. D.4.已知平面向量满足,且,则所夹的锐角为()A. B. C. D.05.设过抛物线上任意一点(异于原点)的直线与抛物线交于两点,直线与抛物线的另一个交点为,则()A. B. C. D.6.已知复数满足,其中为虚数单位,则().A. B. C. D.7.过抛物线的焦点且与的对称轴垂直的直线与交于,两点,,为的准线上的一点,则的面积为()A.1 B.2 C.4 D.88.函数的图象大致为A. B. C. D.9.已知复数满足,则()A. B.2 C.4 D.310.已知集合A,B=,则A∩B=A. B. C. D.11.一小商贩准备用元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品,甲每件进价元,乙每件进价元,甲商品每卖出去件可赚元,乙商品每卖出去件可赚元.该商贩若想获取最大收益,则购买甲、乙两种商品的件数应分别为()A.甲件,乙件 B.甲件,乙件 C.甲件,乙件 D.甲件,乙件12.秦九韶是我国南宁时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入、的值分别为、,则输出的值为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.设,满足约束条件,若的最大值是10,则________.14.如图,已知一块半径为2的残缺的半圆形材料,O为半圆的圆心,,残缺部分位于过点C的竖直线的右侧,现要在这块材料上裁出一个直角三角形,若该直角三角形一条边在上,则裁出三角形面积的最大值为______.15.已知直线与圆心为的圆相交于两点,且,则实数的值为_________.16.在正方体中,分别为棱的中点,则直线与直线所成角的正切值为_________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)选修4—5;不等式选讲.已知函数.(1)若的解集非空,求实数的取值范围;(2)若正数满足,为(1)中m可取到的最大值,求证:.18.(12分)某商场为改进服务质量,在进场购物的顾客中随机抽取了人进行问卷调查.调查后,就顾客“购物体验”的满意度统计如下:满意不满意男女是否有的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关?若在购物体验满意的问卷顾客中按照性别分层抽取了人发放价值元的购物券.若在获得了元购物券的人中随机抽取人赠其纪念品,求获得纪念品的人中仅有人是女顾客的概率.附表及公式:.19.(12分)已知点和椭圆.直线与椭圆交于不同的两点,.(1)当时,求的面积;(2)设直线与椭圆的另一个交点为,当为中点时,求的值.20.(12分)已知x,y,z均为正数.(1)若xy<1,证明:|x+z|⋅|y+z|>4xyz;(2)若=,求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值.21.(12分)已知三棱锥P-ABC(如图一)的平面展开图(如图二)中,四边形ABCD为边长等于的正方形,和均为正三角形,在三棱锥P-ABC中:(1)证明:平面平面ABC;(2)若点M在棱PA上运动,当直线BM与平面PAC所成的角最大时,求直线MA与平面MBC所成角的正弦值.22.(10分)如图,三棱柱中,侧面是菱形,其对角线的交点为,且.(1)求证:平面;(2)设,若直线与平面所成的角为,求二面角的正弦值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
利用诱导公式以及二倍角公式,将化简为关于的形式,结合终边所在的直线可知的值,从而可求的值.【详解】因为,且,所以.故选:C.【点睛】本题考查三角函数中的诱导公式以及三角恒等变换中的二倍角公式,属于给角求值类型的问题,难度一般.求解值的两种方法:(1)分别求解出的值,再求出结果;(2)将变形为,利用的值求出结果.2、A【解析】
根据可知,再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求解即可.【详解】由题意可知抛物线方程为,设点点,则由抛物线定义知,,则.由得,则.又MN为过焦点的弦,所以,则,所以.故选:A【点睛】本题考查抛物线的方程应用,同时也考查了焦半径公式等.属于中档题.3、D【解析】
设出坐标,联立直线方程与抛物线方程,利用弦长公式求得,再由点到直线的距离公式求得到的距离,得到的面积为,作差后利用导数求最值.【详解】设,,联立,得则,则由,得设,则,则点到直线的距离从而.令当时,;当时,故,即的最小值为本题正确选项:【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的应用,考查利用导数求最值的问题.解决圆锥曲线中的面积类最值问题,通常采用构造函数关系的方式,然后结合导数或者利用函数值域的方法来求解最值.4、B【解析】
根据题意可得,利用向量的数量积即可求解夹角.【详解】因为即而所以夹角为故选:B【点睛】本题考查了向量数量积求夹角,需掌握向量数量积的定义求法,属于基础题.5、C【解析】
画出图形,将三角形面积比转为线段长度比,进而转为坐标的表达式。写出直线方程,再联立方程组,求得交点坐标,最后代入坐标,求得三角形面积比.【详解】作图,设与的夹角为,则中边上的高与中边上的高之比为,,设,则直线,即,与联立,解得,从而得到面积比为.故选:【点睛】解决本题主要在于将面积比转化为线段长的比例关系,进而联立方程组求解,是一道不错的综合题.6、A【解析】
先化简求出,即可求得答案.【详解】因为,所以所以故选:A【点睛】此题考查复数的基本运算,注意计算的准确度,属于简单题目.7、C【解析】
设抛物线的解析式,得焦点为,对称轴为轴,准线为,这样可设点坐标为,代入抛物线方程可求得,而到直线的距离为,从而可求得三角形面积.【详解】设抛物线的解析式,则焦点为,对称轴为轴,准线为,∵直线经过抛物线的焦点,,是与的交点,又轴,∴可设点坐标为,代入,解得,又∵点在准线上,设过点的的垂线与交于点,,∴.故应选C.【点睛】本题考查抛物线的性质,解题时只要设出抛物线的标准方程,就能得出点坐标,从而求得参数的值.本题难度一般.8、D【解析】
由题可得函数的定义域为,因为,所以函数为奇函数,排除选项B;又,,所以排除选项A、C,故选D.9、A【解析】
由复数除法求出,再由模的定义计算出模.【详解】.故选:A.【点睛】本题考查复数的除法法则,考查复数模的运算,属于基础题.10、A【解析】
先解A、B集合,再取交集。【详解】,所以B集合与A集合的交集为,故选A【点睛】一般地,把不等式组放在数轴中得出解集。11、D【解析】
由题意列出约束条件和目标函数,数形结合即可解决.【详解】设购买甲、乙两种商品的件数应分别,利润为元,由题意,画出可行域如图所示,显然当经过时,最大.故选:D.【点睛】本题考查线性目标函数的线性规划问题,解决此类问题要注意判断,是否是整数,是否是非负数,并准确的画出可行域,本题是一道基础题.12、B【解析】
列出循环的每一步,由此可得出输出的值.【详解】由题意可得:输入,,,;第一次循环,,,,继续循环;第二次循环,,,,继续循环;第三次循环,,,,跳出循环;输出.故选:B.【点睛】本题考查根据算法框图计算输出值,一般要列举出算法的每一步,考查计算能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
画出不等式组表示的平面区域,数形结合即可容易求得结果.【详解】画出不等式组表示的平面区域如下所示:目标函数可转化为与直线平行,数形结合可知当且仅当目标函数过点,取得最大值,故可得,解得.故答案为:.【点睛】本题考查由目标函数的最值求参数值,属基础题.14、【解析】
分两种情况讨论:(1)斜边在BC上,设,则,(2)若在若一条直角边在上,设,则,进一步利用导数的应用和三角函数关系式恒等变形和函数单调性即可求出最大值.【详解】(1)斜边在上,设,则,则,,从而.当时,此时,符合.(2)若一条直角边在上,设,则,则,,由知.,当时,,单调递增,当时,,单调递减,.当,即时,最大.故答案为:.【点睛】此题考查实际问题中导数,三角函数和函数单调性的综合应用,注意分类讨论把所有情况考虑完全,属于一般性题目.15、0或6【解析】
计算得到圆心,半径,根据得到,利用圆心到直线的距离公式解得答案.【详解】,即,圆心,半径.,故圆心到直线的距离为,即,故或.故答案为:或.【点睛】本题考查了根据直线和圆的位置关系求参数,意在考查学生的计算能力和转化能力。16、【解析】
由中位线定理和正方体性质得,从而作出异面直线所成的角,在三角形中计算可得.【详解】如图,连接,,,∵分别为棱的中点,∴,又正方体中,即是平行四边形,∴,∴,(或其补角)就是直线与直线所成角,是等边三角形,∴=60°,其正切值为.故答案为:.【点睛】本题考查异面直线所成的角,解题关键是根据定义作出异面直线所成的角.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)见解析.【解析】试题分析:(1)讨论三种情况去绝对值符号,可得所以,由此得,解得;(2)利用分析法,由(1)知,,所以,因为,要证,只需证,即证,只需证即可得结果.试题解析:(1)去绝对值符号,可得所以,所以,解得,所以实数的取值范围为.(2)由(1)知,,所以.因为,所以要证,只需证,即证,即证.因为,所以只需证,因为,∴成立,所以解法二:x2+y2=2,x、y∈R+,x+y≥2xy设:证明:x+y-2xy==令,∴原式====当时,18、有的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关;.【解析】
由题得,根据数据判断出顾客购物体验的满意度与性别有关;获得了元购物券的人中男顾客有人,记为,;女顾客有人,记为,,,.从中随机抽取人,所有基本事件有个,其中仅有1人是女顾客的基本事件有个,进而求出获得纪念品的人中仅有人是女顾客的概率.【详解】解析:由题得所以,有的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关.获得了元购物券的人中男顾客有人,记为,;女顾客有人,记为,,,.从中随机抽取人,所有基本事件有:,,,,,,,,,,,,,,,共个.其中仅有1人是女顾客的基本事件有:,,,,,,,,共个.所以获得纪念品的人中仅有人是女顾客的概率.【点睛】本小题主要考查统计案例、卡方分布、概率等基本知识,考查概率统计基本思想以及抽象概括等能力和应用意识,属于中档题.19、(1);(2)或【解析】
(1)联立直线的方程和椭圆方程,求得交点的横坐标,由此求得三角形的面积.(2)法一:根据的坐标求得的坐标,将的坐标都代入椭圆方程,化简后求得的坐标,进而求得的值.法二:设出直线的方程,联立直线的方程和椭圆的方程,化简后写出根与系数关系,结合求得点的坐标,进而求得的值.【详解】(1)设,,若,则直线的方程为,由,得,解得,,设直线与轴交于点,则且.(2)法一:设点因为,,所以又点,都在椭圆上,所以解得或所以或.法二:设显然直线有斜率,设直线的方程为由,得所以又解得或所以或所以或.【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系,考查椭圆中三角形面积的求法,考查运算求解能力,属于中档题.20、(1)证明见解析;(2)最小值为1【解析】
(1)利用基本不等式可得,再根据0<xy<1时,即可证明|x+z|⋅|y+z|>4xyz.(2)由=,得,然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz≥3,从而求出2xy⋅2yz⋅2xz的最小值.【详解】(1)证明:∵x,y,z均为正数,∴|x+z|⋅|y+z|=(x+z)(y+z)≥=,当且仅当x=y=z时取等号.又∵0<xy<1,∴,∴|x+z|⋅|y+z|>4xyz;(2)∵=,即.∵,,,当且仅当x=y=z=1时取等号,∴,∴xy+yz+xz≥3,∴2xy⋅2yz⋅2xz=2xy+yz+xz≥1,∴2xy⋅2yz⋅2xz的最小值为1.【点睛】本题考查了利用综合法证明不等式和利用基本不等式求最值,考查了转化思想和运算能力,属中档题.21、(1)见解析(2)【解析】
(1)设的中点为,连接.由展开图可知,,.为的中点,则有,根据勾股定理可证得,则平面,即可证得平面平面.(2)由线面成角的定义可知是直线与平面所成的角,且,最大即为最短时,即是的中点建立空间直角坐标系,求出与平面的法向量利用公式即可求得结果.【详解】(1)设AC的中点为O,连接BO,PO.由题意,得,
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