立体几何练习

直线与直线平行：平行于同一条直线的两条直线平行(a//b,b//cna〃c)如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.线面平行：定义：如果平面外的一条直线与此平面没有公共点，那么这条直线与平面平行.(若一条直线与一个平面平行，则这条直线不一定与此平面内的所有直线平行，有可能是异面直线)判定：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.符号：a2a,bua,a//bna//a(线线平行n线面平行)性质：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行。符号：a//a,auP,aDB=bna//b(线面平行n线线平行)证明线面平行的方法是平移线到面上，确定点的位置，中点对应中点，三等分点对应三等分点，以此类推.在证明其为平行四边形即可.面面平行：定义：如果一个平面内的任意一条直线都与另一个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行.推论：如果两个平面平行，那么一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行。符号：a//p,auana//p(面面平行n线面平行)判定：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.符号：auP,buP,aDb=P,a//a,b//ana//P(线面平行n面面平行)性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.符号：a//P,aD丫=a,PD丫=bna//b(面面平行n线线平行)推论：①夹在两个平行平面间的平行线段相等.符号：a〃P,AB//CD,Aea,CGa,BgP,DgPnAB=CD②a//P,a//a,a2Pna//P线线垂直异面直线所成角：通过平移，将线平移到同一个平面，构成三角形，用正余弦定理

求角.异面直线所成角的取值范围：求角.异面直线所成角的取值范围：00<9<900.（2）常见线线垂直类型：①直角三角形:用勾股定理证明垂直；②等腰或等边三角形的三线合一..线面垂直：（1）定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。推论：①如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线。符号：ala,buana1b（线面垂直n线线垂直）②过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条。⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.符号：aua,bua,aPlb=P,11a,11bnlla（线线垂直n线面垂直）⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。符号：ala,blana//b推论：①a//b,alanbla；②ala,b亡a,blanb//a；③ala,alPna//P；④若直线1平行于平面a，则直线1上的各点到平面a的距离相等。（线到面的距离转化成点到线的距离）；⑤如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等。.面面垂直：⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直符号：ala,auPnalP（线面垂直n面面垂直）⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。符号：alP，aPP=1,auP,a11nala（面面垂直n线面垂直）

推论：①a//a,a，Bna，B；a1P,a2a,a，「na//a；aly,P//anPly；aly,Ply,aAP=lnlly。.线面所成角(3)过平面外的直线上取一点A作平面的垂线AO,连接OB，构成直角三角形，6角为直线AO与平面所成角。sm6= 线面所成角的取值范围：00<6<90。.」AB求法：①直接法;②等体积法求出AO(AO长为点到平面的距离也可以认为是高).二面角所成角以二面角的公共直线上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于公共直线的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。二面角的大小可用平面角表示。面角的平面角的取值范围：00<9<1800求法：连接AB，构造三角形，用余弦定理求夹角的余弦值。OOA2+OB2—AB2cos6= 2-OA-OB1.在三棱锥A—BCD,AB=AC=AD=2,且AB,AC,AD两两垂直，点E为CD的中点，则3.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PA1平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明：PB//平面AEC；14.如图，四棱锥P—ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=-AD,乙/BAD=/ABC=900.(1)证明：直线BC//平面PAD；⑵若4PCD的面积为2:7，求四棱锥P—ABCD的体积.如图，在直三棱柱ABC—A1B1cl中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且bid1A1F，AiCi1A1B1.求证：(1)直线DE//平面A1clF；⑵平面B1DE1平面A1clF..如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD1BD，点E，F分别是AB，BD的中点.(1)求证：EF//平面ACD；⑵求证：平面EFC1平面BCD.7.如图，在三棱锥P—ABC中，PA1AB,PA1BC,AB1BC,PA=AB=BC=2,D为线段AC的⑴求证：PA1BD；中点，E为线段PC上一点⑵求证：平面BDE1平面PAC；⑶当PA〃平面BDE时，求三棱锥E—BCD的体积8.如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4,AB=6,BC=3.(1)证明：BC//平面PDA；⑶求点C到平面PDA的