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文档简介
#/12一一 1一CD=2%6,EF=—CD=%6,DF=、:2,SC=22.1 11 11:y-22_2x3,・V 二—,—,EF•DF,SC=一•—•v6•v2,2= S-CEF32 32 3在RtNSCE中,SE=JSC2+CE2=2V3在RtASCF中,SF=1SC2+CF2=、;4+24+2=.<30_ 1 1 2於 2...:3又•:EF=.16,,S-3由于V=V=_•S-h,即丁3-h=,解得h=——ASEF C-SEFS-CEF3 ASEF 3 3 32<3故CD与SE间的距离为—考点3直线到平面的距离例3.如图,在棱长为2的正方体AC1中,G是AA1的中点求BD到平面GB1D1的距离.思路启迪:把线面距离转化为点面距离,再用点到平面距离的方法求解。解答过程:解析一:BD〃平面GB1D1,・BD上任意一点到平面GB1D1的距离皆为所求,以下求点O平面GB1D1的距离,BD±AC,BD±AA,・BD±平面AACC,TOC\o"1-5"\h\z11 11 11 1 11 1 1又「B1Du平面GB1D1,平面A1ACC11GB1D,两个平面的交线是O1G,作OH±O1G于H,则有OH1平面GB1D1,即oh是O点到平面GB1D1的距离。1 1 --在AOOG中,S=-OO-AO2・工2-%2。1 A010G21 2又S ---OH-OG---v/3-OH=v2,OH=竺AO1OG2 1 2 32.6即BD到平面GB1D1的距离等于三一。小结:当直线与平面平行时,直线上的每一点到平面的距离都相等,都是线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点,转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离;解析二是等体积法求出点面距离。考点4异面直线所成的角例4如图,在Rt△AOB中,/OAB=n,斜边AB=4.Rt△aoc可以通过Rt△AOB6以直线AO为轴旋转得到,且二面角B—AO—C的直二面角.D是AB的中点.(I)求证:平面COD1平面AOB;(II)求异面直线AO与CD所成角的大小.解答过程:(I)由题意,CO1AO,BO1AO,・•.ZBOC是二面角B—AO—C是直二面角,A・・・CO1BO,又・.・A0060=O,CO1平面AOB,又COu平面COD.・・・平面COD1平面AOB.(此作DE1OB,垂足为E,连结CE(如图),则DE//AO,ZCDE是异面直线AO与CD所成的角.在Rt△COE中,CO=BO=2,OE=1BO=1,.CE=\CO2+OE2=<5
2又DE=1AO="3・.在Rt△CDE中,tanCDE=CE=亘=2•2 DE%3 3・•・异面直线AO与CD所成角的大小为@「皿口正.3解法2:(I)同解法1.(II)建立空间直角坐标系O—肛z,如图,则O(0,0,0),A(0Q2y3),C(2,0,0).OA=(0,0,2<3),CD=(-2,1,3),...cos<OA,CD〉=OA・CDCA^CD6 _丫6.2V3・2Y2―4异面直线AO与CD所成角的大小为23手.D(01,小结:求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形,作法有:①平移法:在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”,作另一条直线的平行线,如解析一,或利用中位线,如解析二;②补形法:把空间图形补成熟悉的几何体,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系,如解析三。一般来说,平移法是最常用的,应作为求异面直线所成的角的首选方法。同时要特别注意异面直线所成的角的范围:考点5直线和平面所成的角例5.四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC1底面c兀°,5ABCD.已知/ABC=45°,AB=2,BC=ABCD.已知/ABC=45°,(1)证明SA1BC;(II)求直线SD与平面SAB所成角的大小.解答过程:(I)作SO±BC,垂足为O,连结AO(1)证明SA1BC;(II)求直线SD与平面SAB所成角的大小.解答过程:(I)作SO±BC,垂足为O,连结AO,由侧面SBC,底面ABCD^SO,底面ABCD.因为SA=SB,所以AO=BO,又NABC_45。,故△AOB为等腰直角形,AO±BO,由三垂线定理,得SA±BC.(II)由(I)知SA±BC,依题设AD//BC,故SA±AD,由AD_BC_2J2,SA_%3,AO_,/2,得SO=1,SD=ar.△SAB的面积S_1AB.i2连结DB,得△DAB的面积S_1AB.ADsin135。_222设D到平面SAB的距离为h,由于V _V ,得1hS_1SO-S,解得h_22.D-SAB S-ABD 3 13 2设SD与平面SAB所成角为a,则sina_A_亘_至.sinSD<11 11所以,直线SD与平面SBC所成的我为arcsin巨2.arcsn11解法二:(I)作SO±BC,垂足为O,连结AO,由侧面SBC,底面ABCD,得SO,平面ABCD.因为SA=SB,所以AO=BO.又NABC=45。,△AOB为等腰直角三角形,AO±OB.如图,以O为坐标原点,OA为x轴正向,建立直角坐标系O-xyz,AG/2,0,0),B(0,2,0),C(0,-V2,0),S(0,0,1),SA=G/2,0,D1)G,ACB=(0,2J2,0),SA^CB=0,所以SA±BC.(II)取AB中点E,连结SE,取SE中点G,连结OG,Gf定正1].[4,4,27OG二SEOG二SE=AB=(—%/2,2,0).SE-OG=0,AB.OG=0,OG与平面SAB内两条相交直线SE,AB垂直.所以OG1平面SAB,OG与DS的夹角记为a,SD与平面SAB所成的角记为B,则a与B互余.D(<2,2<2,0),DS=~’2,2%2,1).OGDScosaOGDScosa=। j""। ।=10GH词叵,sinP=①,
11 11CA=CBCA=CB所以,直线SD与平面SAB所成的角为arcsin虫2•11小结:求直线与平面所成的角时,应注意的问题是(1)先判断直线和平面的位置关系;(2)当直线和平面斜交时,常用以下步骤:①构造一一作出斜线与射影所成的角,②证明--论证作出的角为所求的角,③计算一-常用解三角形的方法求角,④结论-一点明直线和平面所成的角的值.考点6二面角例6.如图,已知直二面角a-PQ-P,AePQ,Bea,/BAP=45。,直线CA和平面a所成的角为30。.(I)证明BC±PQ(11)求二面角B-AC-P的大小.过程指引:(I)在平面P内过点C作CO±PQ于点O,连结OB.因为a±P,anP=PQ,所以CO±a,又因为CA=CB,所以OA=OB.而/BAO=45°,所以/ABO=45°,/AOB=90°,从而BO±PQ又CO±PQ,所以PQ,平面OBC.因为BCu平面OBC,故PQ±BC.(II)由(I)知,BO±PQ,又a±P,anP=PQ,BOua,所以BO±P.过点O作OH±AC于点H,连结BH,由三垂线定理知,BH±AC.故
/BHO是二面角B—AC—P的平面角.由(I)知,CO±a,所以ZCAO是CA和平面a所成的角,则/CAO=30不妨设AC=2,则AO=<3,OH=AOsin30;亘^2在Rt△OAB中,/ABO=/BAO=45°,所以BO=AO=<3,于是在Rt△BOH中,tan/BHO='0=上士=2.故二面角B—AC—P的大小为arctan2.OH,3小结:本题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二面角的棱,进而找出二面角的平面角.无棱二面角棱的确定有以下三种途径:①由二面角两个面内的两条相交直线确定棱,②由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱,③补形构造几何体发现棱;解法二则是利用平面向量计算的方法,这也是解决无棱二面角的一种常用方法,即当二面角的平面角不易作出时,可由平面向量计算的方法求出二面角的大小.考点7利用空间向量求空间距离和角例7.如图,已知ABCD—ABCD是棱长为3的正方体,1111点E在AA上,点F在CC上,且AE=FC=1.11 1(1)求证:E,B,F,D四点共面;12(2)若点G在BC上,BG=-,点M在BB上,GM±BF,垂足为H,31求证:EM,平面BCCB(3)用6表示截面EBFD和侧面BCCB所成的锐二面角的大小,求tan9.1 11过程指引:(1)如图,在DD1上取点N,使DN=1,连结EN,CN,则AE=DN=1,CF=ND=2.M1因为AE〃DN,ND〃CF,所以四边形ADNE,CFDN都为平行四边形.从11而EN//AD,FD〃CN.= i又因为AD/BC,所以EN/BC,故四边形BCNE是平行四边形,由此推知CN/BE,从而FD/BE.因此,E,B,F,D四点共面.
(2)如图,GM±BF,又BM±BC,所以NBGM=/CFB,BC3.3BM=BG.tnZBGM=BG.tanZCFB=BG.-C=-x3=1.CF32因为AE"BM,所以ABME为平行四边形,从而AB//EM.TOC\o"1-5"\h\z又AB,平面BCCB,所以EM,平面BCCB.11 11(3)如图,连结EH.因为MH±BF,EM±BF,所以BF,平面EMH,得EH±BF.于是ZEHM是所求的二面角的平面角,即ZEHM=0.因为ZMBH=ZCFB,所以MH=BM.sinZMBH=BM.sinZCFBBCBC3 3 3 EM=BM• ==1x = ,tan0= =丫13•BCC2+CF2 '32+22<13 MH解法二:,(1)建立如图所示的坐标系,则BE=(3,01),BF=,又它们有公共点B,所以E,B,F/四点共面.所以BD1=BE+BF,故吗又它们有公共点B,所以E,B,F/四点共面. . < 2(2)如图,设M(0,0 z),则GM = 0,-1 32一一一而BF=(0,3,2),由题设得GM.BF=--.3+z・2=0^3因为M(0,0,1),E(3,0,1),有ME=(3,0,0),又BB=(0,0,3)BC=(0,3,0),所以MEBB=0,MEBC=0,从而ME±BBME±BC.1 ' 1 1
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