2025年新高考数学一轮复习第2章第03讲幂函数与二次函数(八大题型)(练习)(学生版+解析)

第03讲幂函数与二次函数目录TOC\o"1-2"\h\z\u01模拟基础练 2题型一：幂函数的定义及其图像 2题型二：幂函数性质的综合应用 3题型三：由幂函数的单调性比较大小 3题型四：二次函数的解析式 3题型五：二次函数的图象、单调性与最值 4题型六：二次函数定轴动区间和动轴定区间问题 4题型七：二次方程实根的分布及条件 5题型八：二次函数最大值的最小值问题 502重难创新练 603真题实战练 9题型一：幂函数的定义及其图像1．（2024·四川成都·一模）已知幂函数的图象过点，则（

）A． B．1 C．2 D．32．已知幂函数的图象经过点，则该幂函数在第一象限的大致图象是（

）A．B．C． D．3．函数的大致图像是（

）A．B．C． D．4．幂函数，当时为减函数，则实数的值为（

）A． B． C．或 D．5．（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知幂函数在上的图象分别是下降，急速上升，缓慢上升，则（

）A． B．C． D．题型二：幂函数性质的综合应用6．（2024·高三·福建三明·期中）已知，则实数的取值范围是﹒7．函数，其中，则其值域为.8．当时，幂函数为单调递减函数，则．9．（2024·高三·上海浦东新·期中）已知，若幂函数为奇函数，且在上严格单调递减，则.10．已知幂函数，若，则的取值范围是．题型三：由幂函数的单调性比较大小11．（2024·贵州毕节·二模）已知，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．12．记，则（

）A． B．C． D．13．已知，，.则（

）A． B． C． D．14．已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（

）A．恒大于0 B．恒小于0C．等于0 D．无法判断题型四：二次函数的解析式15．已知二次函数的两个零点分别是0和5，图象开口向上，且在区间上的最大值为12，则函数的解析式为．16．已知（b，c为实数），且，，则的解析式为.17．已知函数对任意满足：，二次函数满足：且．则，.题型五：二次函数的图象、单调性与最值18．（2024·辽宁沈阳·一模）已知函数，若且，则它的图象可能是（）A．B． C． D．19．已知二次函数的图象的顶点坐标是，且截轴所得线段的长度是4，将函数的图象向右平移2个单位长度，得到抛物线，则抛物线与轴的交点是（

）A． B． C． D．20．已知函数，则（

）A． B． C． D．21．（2024·高三·上海·期中）已知函数在上是严格增函数，则实数的取值范围是.题型六：二次函数定轴动区间和动轴定区间问题22．已知函数（）.(1)若在区间上单调递减，求的取值范围；(2)若在区间上的最大值为9，求的值.23．已知函数．(1)若的最大值为0，求实数a的值；(2)设在区间上的最大值为，求的表达式；(3)令，若在区间上的最小值为1，求正实数a的取值范围．24．已知函数(1)若函数在上单调，求的取值范围：(2)是否存在实数，使得函数在区间上的最小值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．题型七：二次方程实根的分布及条件25．（2024·高三·陕西商洛·期中）若，则一元二次方程有整数根的充要条件是（

）A． B． C．或 D．或26．若关于x的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数a的取值范围是．27．方程的两根均大于1，则实数的取值范围是题型八：二次函数最大值的最小值问题28．已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)当时，求证：；(3)设，及在区间上的最大值为.当最小值，求的值.29．已知函数的图象经过点和.(1)求函数的解析式；(2)当时，求证：；(3)设，记在区间上的最大值为.当最小时，求的值.1．（2024·北京朝阳·一模）已知，则“”是“函数在上单调递增”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2024·北京西城·一模）已知函数，若存在最小值，则的最大值为（

）A． B． C． D．3．（2024·广东·一模）已知集合，若且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递增的有序数对的个数是（

）A．16 B．24 C．32 D．484．已知幂函数的图象在上单调递减，则的取值是（

）A．1 B．-3 C．1或-3 D．25．（2024·四川宜宾·模拟预测）给出下列四个函数：①；②；③；④．其中在上是增函数的有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个6．函数是幂函数，对任意的，且，满足，若，且，则的值()A．恒大于0 B．恒小于0C．等于0 D．无法判断7．幂函数在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（

）A． B．C． D．8．已知，若为奇函数，且在上单调递增，则实数a的取值个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．（2024·山东济南·三模）已知函数的定义域为R，且，则下列结论一定成立的是（

）A． B．为偶函数C．有最小值 D．在上单调递增10．（2024·陕西·模拟预测）设函数的定义域为，且，当时，，则（

）A． B． C．1 D．11．（多选题）若幂函数的图像经过点，则下列命题中，正确的有（

）A．函数为奇函数 B．函数为偶函数C．函数在为减函数 D．函数在为增函数12．（多选题）已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（

）A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数B．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数C．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数D．时，幂函数在上是减函数13．（多选题）幂函数，则下列结论正确的是（

）A． B．函数是偶函数C． D．函数的值域为14．（多选题）（2024·甘肃定西·一模）已知函数，则（

）A．当有2个零点时，只有1个零点B．当有3个零点时，只有1个零点C．当有2个零点时，有2个零点D．当有2个零点时，有4个零点15．（2024·北京延庆·一模）已知函数在区间上单调递减，则的一个取值为．16．（2024·全国·模拟预测）写出满足下列条件①②③的一个函数：．①的定义域为；②，；③，都有．17．（2024·河北·模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围为．18．不等式的解集为：．19．已知正实数满足，且对任意恒成立，则实数的最小值是.1．（2004年普通高等学校招生考试数学（文）试题（北京卷））函数在区间上存在反函数的充分必要条件是（

）A． B． C． D．2．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷））设函数，若的图象与图象有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是A．当时，B．当时，C．当时，D．当时，3．（2004年普通高等学校招生考试数学（理）试题（北京卷））在函数中，若a，b，c成等比数列且，则有最值（填“大”或“小”），且该值为．4．（2020年江苏省高考数学试卷）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，，则f(-8)的值是.5．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷））若函数在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数在上是增函数，则a＝.第03讲幂函数与二次函数目录TOC\o"1-2"\h\z\u01模拟基础练 2题型一：幂函数的定义及其图像 2题型二：幂函数性质的综合应用 4题型三：由幂函数的单调性比较大小 5题型四：二次函数的解析式 7题型五：二次函数的图象、单调性与最值 7题型六：二次函数定轴动区间和动轴定区间问题 9题型七：二次方程实根的分布及条件 12题型八：二次函数最大值的最小值问题 1302重难创新练 1503真题实战练 23题型一：幂函数的定义及其图像1．（2024·四川成都·一模）已知幂函数的图象过点，则（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】因为幂函数的图象过点，所以，解得.故选：C.2．已知幂函数的图象经过点，则该幂函数在第一象限的大致图象是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，则，所以，所以，所以，因为，因为函数在上递增，且增加的速度越来越缓慢，故该幂函数在第一象限的大致图象是B选项.故选：B.3．函数的大致图像是（

）A．B．C． D．【答案】B【解析】根据幂函数的特点知选项A的图象为函数的大致图像.故选：A.4．幂函数，当时为减函数，则实数的值为（

）A． B． C．或 D．【答案】B【解析】幂函数，，解得或；当时，幂函数为，且在时为减函数，满足题意；当时，幂函数为，且在时为增函数，不合题意；综上，实数的值为．故选：A．5．（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知幂函数在上的图象分别是下降，急速上升，缓慢上升，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意结合图象可知.故选：B.题型二：幂函数性质的综合应用6．（2024·高三·福建三明·期中）已知，则实数的取值范围是﹒【答案】【解析】已知，或①；，②；，③．综合①②③，求得实数的取值范围为．故答案为：﹒7．函数，其中，则其值域为.【答案】【解析】设，则.因为，所以.当时，.所以函数的值域为.故答案为：8．当时，幂函数为单调递减函数，则．【答案】【解析】由题意可知或，当时，，此时在第一象限是单调递减函数，符合题意；当时，，此时在第一象限是单调递增函数，不符合题意；综上：.故答案为：9．（2024·高三·上海浦东新·期中）已知，若幂函数为奇函数，且在上严格单调递减，则.【答案】或【解析】由幂函数的性质知，，在第一象限内，当时，函数单调递减，当为奇数时，函数为奇函数，所以当或时，幂函数在上单调递减，且为奇函数.故答案为：或10．已知幂函数，若，则的取值范围是．【答案】【解析】幂函数，所以定义域为且在定义域上单调递减，所以需满足，解得，故答案为：．题型三：由幂函数的单调性比较大小11．（2024·贵州毕节·二模）已知，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，根据指数函数在上单调递减得，，根据幂函数在上单调递增知，则，，根据对数函数在上单调递减得，综上.12．记，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为，幂函数在上单调递增，又，所以，所以，又对数函数在上单调递减，所以，故.13．已知，，.则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，由指数函数的性质知在R上单调递减，所以，令，由幂函数的性质知在单调增，所以，所以.故选：C14．已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（

）A．恒大于0 B．恒小于0C．等于0 D．无法判断【答案】B【解析】根据函数为幂函数以及函数在的单调性，可得，然后可得函数的奇偶性，结合函数的单调性以及奇偶性，可得结果.由题可知：函数是幂函数则或又对任意的且，满足所以函数为的增函数，故所以，又，所以为单调递增的奇函数由，则，所以则故选：B题型四：二次函数的解析式15．已知二次函数的两个零点分别是0和5，图象开口向上，且在区间上的最大值为12，则函数的解析式为．【答案】【解析】设其对称轴为直线，又在区间上的最大值为12，所以，所以故答案为：16．已知（b，c为实数），且，，则的解析式为.【答案】【解析】解法一：由题意知，解得，所以的解析式为.解法二：由题意知，得，则，得，所以的解析式为.故答案为：17．已知函数对任意满足：，二次函数满足：且．则，.【答案】【解析】（1）①，用代替上式中的，得②，联立①②，可得；设，所以，即，所以，解得，，又，得，所以.故答案为：，题型五：二次函数的图象、单调性与最值18．（2024·辽宁沈阳·一模）已知函数，若且，则它的图象可能是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由且，得，所以函数是二次函数，图象开口向上，排除A，C；又，所以排除B；只有D符合.19．已知二次函数的图象的顶点坐标是，且截轴所得线段的长度是4，将函数的图象向右平移2个单位长度，得到抛物线，则抛物线与轴的交点是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为二次函数的图象的顶点为，故的对称轴为直线，又的图象截轴所得线段的长度是4，所以的图象与轴的交点坐标为和，设，将点代入得，解得，所以，因为的图象为的图象右移2个单位得到的，所以，令，则，所以与轴交点生标为.故选：B.20．已知函数，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】对称轴为，则在上单调递减，在上是单调递增，A：，故A错误；B：，故B错误；C：，故C错误；D：，故D正确.21．（2024·高三·上海·期中）已知函数在上是严格增函数，则实数的取值范围是.【答案】【解析】由题意，解得，故答案为：．题型六：二次函数定轴动区间和动轴定区间问题22．已知函数（）.(1)若在区间上单调递减，求的取值范围；(2)若在区间上的最大值为9，求的值.【解析】（1）由题意得，二次函数（）的图象开口向上，对称轴为直线，∵函数在上是单调递减，则，∴的取值范围是.（2）由题意得，当时，函数在区间上单调递减，则，解得，不合题意，舍去；当时，函数在区间上单调递增，则，解得，不合题意，舍去；当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则在或中取得，又，，∴当时，，解得；当时，，解得；当时，，显然不合题意；综上所述，.23．已知函数．(1)若的最大值为0，求实数a的值；(2)设在区间上的最大值为，求的表达式；(3)令，若在区间上的最小值为1，求正实数a的取值范围．【解析】（1），因为的最大值为0，所以，所以或.（2）函数的对称轴为，当，即时，在上是减函数，所以；当，即时，当时，是减函数，当时，是增函数，所以；当，即时，在上是增函数，所以，所以.（3）由题意，令可得，简图如下，当时，即时，在是增函数，所以，成立.当时，即时，在上是减函数，在上是增函数，所以，解得，不成立；当时，即时，在上是减函数，所以，解得，不成立；综上所述，.24．已知函数(1)若函数在上单调，求的取值范围：(2)是否存在实数，使得函数在区间上的最小值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）由题意可得开口向上，对称轴，∴函数在上单调递减，在上单调递增，∵函数在上单调，∴或，解得或，∴的取值范围为：（2）由题意可得开口向上，对称轴，函数在对称轴处取最小值，，若函数在区间上的最小值为，则，解得：或，当时，在区间上单调递增，此时函数的最小值为，解得：，当时，在区间上单调递减，此时函数的最小值为，解得：，综上，存在实数或，使得函数在区间上的最小值为题型七：二次方程实根的分布及条件25．（2024·高三·陕西商洛·期中）若，则一元二次方程有整数根的充要条件是（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【解析】由，得．作出函数的图象，由图可知，，即，又，所以.当时，方程有整数解.综上，是方程有整数解的充要条件．故选;A.26．若关于x的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数a的取值范围是．【答案】（，＋∞）【解析】设，由题意，解得，故答案为：．27．方程的两根均大于1，则实数的取值范围是【答案】【解析】的两个根都大于，解得可求得实数的取值范围为故答案为：题型八：二次函数最大值的最小值问题28．已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)当时，求证：；(3)设，及在区间上的最大值为.当最小值，求的值.【解析】（1），故开口向上，且对称轴为，故单调递减区间为，单调递增区间为；（2）由题意可知，问题转化为时，，且恒成立，即，且，在区间上恒成立，因为显然恒成立，，开口向上，且对称轴为，故，即恒成立，故原不等式成立；（3），函数在上单调递增，故时，，时，，所以，化简得，可知，时，；时，，故时，取得最小值2.29．已知函数的图象经过点和.(1)求函数的解析式；(2)当时，求证：；(3)设，记在区间上的最大值为.当最小时，求的值.【解析】（1）由已知得，，解得，函数的解析式为.（2）令，则二次函数的对称轴为.所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以当时，取得最小值，又，所以时，取得最大值，所以，即.（3）由（2）知，，令，则，问题转化为求在上的最大值，易知关于，作出图象如下，当时，当时，取得最大值，则，当时，当时，取得最大值，，当时，当或时，取得最大值，，综上，当最小时，.1．（2024·北京朝阳·一模）已知，则“”是“函数在上单调递增”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】对于函数当时，，为常数函数，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以“”是“函数在上单调递增”的充分而不必要条件.故选：A.2．（2024·北京西城·一模）已知函数，若存在最小值，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，，故当时，有最小值为；时，单调递减，所以，由题意存在最小值，则，解得，即的最大值为.故选：A3．（2024·广东·一模）已知集合，若且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递增的有序数对的个数是（

）A．16 B．24 C．32 D．48【答案】B【解析】若和在上单调递增，在上单调递减，则有个；若和在上单调递增，在上单调递减，则有个；若和在上单调递增，在上单调递减，则有个；若、和在上单调递增，则有个；综上所述：共有个.故选：B.4．已知幂函数的图象在上单调递减，则的取值是（

）A．1 B．-3 C．1或-3 D．2【答案】B【解析】∵为幂函数，∴或；当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，不满足题意.综上可知：.故选：A.5．（2024·四川宜宾·模拟预测）给出下列四个函数：①；②；③；④．其中在上是增函数的有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】A【解析】和在上是增函数，和在上是减函数，故选：C6．函数是幂函数，对任意的，且，满足，若，且，则的值()A．恒大于0 B．恒小于0C．等于0 D．无法判断【答案】B【解析】函数f(x)＝(m2－m－1)是幂函数，所以m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.当m＝2时，f(x)＝x2015；当m＝－1时，f(x)＝x－4.又因为对任意x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，满足，所以函数f(x)是增函数，所以函数的解析式为f(x)＝x2015，函数f(x)＝x2015是奇函数且是增函数，若a，b∈R且a＋b>0，ab<0，则a，b异号且正数的绝对值较大，所以f(a)＋f(b)恒大于0，故选A.7．幂函数在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】在第一象限内直线的右侧，幂函数的图象从上到下相应的指数由大变小，即“指大图高”，所以幂函数在第一象限内的图象为在第一象限内的图象为，在第一象限内的图象为在第一象限内的图象为.故选：D8．已知，若为奇函数，且在上单调递增，则实数a的取值个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】当时，在上单调递减，不合要求，当时，，故为偶函数，不合要求，当时，的定义域为，不是奇函数，不合要求，当时，，为奇函数，且在上单调递增，满足要求，当时，，故为奇函数，且在上单调递增，满足要求.故选：B9．（2024·山东济南·三模）已知函数的定义域为R，且，则下列结论一定成立的是（

）A． B．为偶函数C．有最小值 D．在上单调递增【答案】A【解析】由于函数的定义域为R，且，令，则，得，时，恒成立，无法确定，A不一定成立；由于不一定成立，故不一定为偶函数，B不确定；由于的对称轴为与的位置关系不确定，故在上不一定单调递增，D也不确定，由于表示开口向上的抛物线，故函数必有最小值，C正确，故选：C10．（2024·陕西·模拟预测）设函数的定义域为，且，当时，，则（

）A． B． C．1 D．【答案】C【解析】由题意可得①；②．令，由①得：，令，由②得，因为，所以，即.令，由①得，解得，所以．故选：D．11．（多选题）若幂函数的图像经过点，则下列命题中，正确的有（

）A．函数为奇函数 B．函数为偶函数C．函数在为减函数 D．函数在为增函数【答案】BC【解析】因为是幂函数，所以设，又的图像经过点，所以，所以，即，所以函数为奇函数，且在为减函数，故AC正确，BD错误；故选：AC.12．（多选题）已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（

）A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数B．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数C．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数D．时，幂函数在上是减函数【答案】BC【解析】对A，当m，n是奇数时，的定义域为，关于原点对称，，则幂函数是奇函数，故A中的结论正确；对B，当m是偶数，n是奇数，幂函数在时无意义，故B中的结论错误；对C，当m是奇数，n是偶数时，的定义域为，关于原点对称，，则幂函数是偶函数，故C中的结论正确；对D，时，幂函数在上是增函数，故D中的结论错误；故选：AC.13．（多选题）幂函数，则下列结论正确的是（

）A． B．函数是偶函数C． D．函数的值域为【答案】BBD【解析】由幂函数定义可知，系数，解得或，又因为，所以；故A正确；时，，其定义域为，且满足，所以函数是偶函数，即B正确；由可知，函数在为单调递减，所以，所以C错误；函数的值域为，即D正确；故选：ABD.14．（多选题）（2024·甘肃定西·一模）已知函数，则（

）A．当有2个零点时，只有1个零点B．当有3个零点时，只有1个零点C．当有2个零点时，有2个零点D．当有2个零点时，有4个零点【答案】BD【解析】令，得，利用指数函数与二次函数的性质作出的大致图象，如图所示，由图可知，当有2个零点时，或，此时无零点或只有1个零点，故A错误；当有3个零点时，，此时只有1个零点，故B正确；当有2个零点时，，此时有4个零点．故C错误，D正确.故选：BD.15．（2024·北京延庆·一模）已知函数在区间上单调递减，则的一个取值为．【答案】（不唯一）【解析】因为在上单调递增，又在区间上单调递减，所以可以为偶函数，不妨取，此时，函数定义域为，且，故为偶函数，满足在区间上单调递减.故答案为：（不唯一）16．（2024·全国·模拟预测）写出满足下列条件①②③的一个函数：．①的定义域为；②，；③，都有．【