2025年新高考数学一轮复习第6章第02讲等差数列及其前n项和(十大题型)(练习)(学生版+解析)

第02讲等差数列及其前n项和目录TOC\o"1-2"\h\z\u01模拟基础练 2题型一：等差数列的基本量运算 2题型二：等差数列的判定与证明 2题型三：等差数列的性质 3题型四：等差数列前n项和的性质 3题型五：等差数列前n项和的最值 4题型六：等差数列的实际应用 4题型七：关于等差数列奇偶项问题的讨论 5题型八：对于含绝对值的等差数列求和问题 6题型九：利用等差数列的单调性求解 7题型十：等差数列中的范围与恒成立问题 702重难创新练 803真题实战练 12题型一：等差数列的基本量运算1．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知首项的等差数列中，，若该数列的前项和，则等于（

）A．10 B．11 C．12 D．132．等差数列的前项和为，若，，则（

）A． B． C．1 D．23．（2024·河北·模拟预测）已知是等差数列的前项和，若，，则（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知等差数列满足，且，则首项（

）A．1 B．2 C．3 D．4题型二：等差数列的判定与证明5．已知数列满足：，，.(1)证明：是等差数列，并求的通项公式；(2)设，若数列是递增数列，求实数的取值范围.6．数列的前项和为，且，当时，.(1)计算：，；(2)证明为等差数列，并求数列的通项公式；7．（2024·高三·山东济宁·开学考试）已知各项均为正数的数列中，为的前项和，．证明：数列是等差数列；8．（2024·高三·山东·开学考试）记数列的前项和为，已知．证明：；题型三：等差数列的性质9．（2024·辽宁抚顺·三模）已知数列的前n项和为，若，则，.10．（2024·陕西·模拟预测）已知等差数列中，，则.题型四：等差数列前n项和的性质11．（2024·陕西西安·模拟预测）已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则．12．已知等差数列的前项和分别为，且，则．13．设是等差数列的前项和，，，则.题型五：等差数列前n项和的最值14．（2024·四川南充·三模）设为等差数列的前n项和，已知、、成等比数列，，当取得最大值时，（

）A．6 B．7 C．8 D．915．若是等差数列，表示的前n项和，，则中最小的项是（

）A． B． C． D．16．（2024·四川自贡·三模）已知数列的前项和为，且．(1)证明：数列为等差数列；(2)若，，成等比数列，求的最大值．17．在等差数列中，已知：，.(1)求数列的公差及通项公式；(2)求数列的前项和的最小值，并指出此时正整数的值.18．记为等差数列的前项和，已知，.(1)求的通项公式；(2)求的最小值.题型六：等差数列的实际应用19．（2024·山西·模拟预测）干支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．干支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”、“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，依此类推．已知2024年是甲辰年，则2124年为（

）A．丁辰年 B．癸未年 C．甲午年 D．甲申年20．（2024·湖南·二模）张扬的父亲经营着一家童鞋店，该店提供从25码到36.5码的童鞋，尺寸之间按0.5码为公差排列成等差数列．有一天，张扬帮助他的父亲整理某一型号的童鞋，以便确定哪些尺寸需要进货，张扬在进货单上标记了两个缺货尺寸．几天后，张扬的父亲询问那些缺货尺寸是哪些，但张扬无法找到标记缺货尺寸的进货单，他只记得其中一个尺寸是28.5码，并且在当时将所有有货尺寸加起来的总和是677码．现在问题是，另外一个缺货尺寸是（

）A．28码 B．29.5码 C．32.5码 D．34码21．（2024·四川达州·一模）《孙子算经》是我国南北朝时著名的数学著作，其中有物不知数问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？意思是：有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下2个；五个五个地数，会剩下3个；七个七个地数，也会剩下2个.这些物品的数量是多少个？若一个正整数除以三余二，除以五余三，将这样的正整数由小到大排列，则前5个数的和为（

）A．189 B．190 C．191 D．19222．（2024·高三·上海·开学考试）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌，亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”…，以此类推．2024年是甲辰年，高斯出生于1777年，该年是（

）A．丁酉年 B．丁戌年 C．戊酉年 D．戊戌年题型七：关于等差数列奇偶项问题的讨论23．（2024·山东威海·一模）已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，且.(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前n项和.24．（2024·黑龙江·三模）已知等差数列的公差，与的等差中项为5，且.(1)求数列的通项公式；(2)设求数列的前20项和.25．（2024·山东·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，数列满足，设．(1)求的通项公式，并证明：；(2)设，求数列的前项和．题型八：对于含绝对值的等差数列求和问题26．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列，记为的前项和，从下面①②③中再选取一个作为条件，解决下面问题．①；②；③．(1)求的最小值；(2)设的前项和为，求．27．（2024·湖南·二模）记为等差数列的前项和，，．(1)求数列的通项公式；(2)求的值．28．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，其中，．(1)求数列的通项；(2)求数列的前n项和为．题型九：利用等差数列的单调性求解29．（2024·高三·山东淄博·期末）设为等差数列的前n项和，则“对，”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件30．（2024·吉林白山·模拟预测）若等差数列的前项和为，且满足，对任意正整数，都有，则的值为（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．202331．已知是等差数列的前项和，且，则（

）A．数列为递增数列 B．C．的最大值为 D．题型十：等差数列中的范围与恒成立问题32．（多选题）（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期中）已知是等差数列的前n项和，且，，则下列选项正确的是（

）A．数列为递减数列 B．C．的最大值为 D．33．（多选题）公差为的等差数列的前项和为，若，则下列选项正确的是（

）A． B．时，的最小值为2022C．有最大值 D．时，的最大值为404334．（多选题）已知数列的前项和，，数列的前项和满足对任意恒成立，则下列命题正确的是（

）A． B．当为奇数时，C． D．的取值范围为1．（2024·陕西西安·三模）如图，用相同的球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，且只有1个球；第2堆有2层4个球，其中第1层有1个球，第2层有3个球；…；第n堆有n层共个球，第1层有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…．已知，则（

）A．2290 B．2540 C．2650 D．28702．（2024·广东东莞·模拟预测）等差数列和等比数列都是各项为正实数的无穷数列，且，，的前n项和为，的前n项和为，下列判断正确的是（

）A．是递增数列 B．是递增数列C． D．3．（2024·山西阳泉·三模）已知等差数列中，是函数的一个极大值点，则的值为（

）A． B． C． D．4．（2024·浙江·模拟预测）已知实数构成公差为d的等差数列，若，，则d的取值范围为（

）A． B．C． D．5．（2024·浙江·三模）已知等差数列的前n项和为，“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．（2024·青海海西·模拟预测）前项和为的等差数列中，若，则（

）A．6 B．7 C．8 D．97．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数，公差不为0的等差数列的前项和为，若，则（

）A．1012 B．2024 C．3036 D．40488．（2024·四川攀枝花·三模）数列的前项和为，，，设，则数列的前51项之和为（

）A． B． C．49 D．1499．（多选题）（2024·山西吕梁·三模）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（

）A．当最大B．使得成立的最小自然数C．D．中最小项为10．（多选题）（2024·湖南益阳·三模）已知是等比数列，是其前n项和，满足，则下列说法正确的有（

）A．若是正项数列，则是单调递增数列B．一定是等比数列C．若存在，使对都成立，则是等差数列D．若，且，，则时取最小值11．（多选题）（2024·重庆·模拟预测）已知数列，，记，，若且则下列说法正确的是（

）A． B．数列中的最大项为C． D．12．（2024·浙江绍兴·三模）记为正项数列的前项积，已知，则；．13．（2024·湖北襄阳·模拟预测）蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关，如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上收长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为.

14．（2024·上海·三模）已知两个等差数列2，6，10，…，202和2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为．15．（2024·陕西安康·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前10项和.16．（2024·重庆九龙坡·三模）已知是等差数列的前项和，，数列是公比大于1的等比数列，且，.(1)求数列和的通项公式；(2)设，求使取得最大值时的值.17．（2024·贵州六盘水·三模）已知为等差数列，且，．(1)求的通项公式；(2)若恒成立，求实数λ的取值范围．18．（2024·山东青岛·二模）已知数列满足，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，若，求的最小值.19．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列的前n项积为，数列满足，（，）．(1)求数列，的通项公式；(2)将数列，中的公共项从小到大排列构成新数列，求数列的通项公式．20．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数的所有正零点构成递增数列．(1)求函数的周期和最大值；(2)求数列的通项公式及前项和．①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素；②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素；③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素；④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素.其中正确结论的序号是.5．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记为等差数列的前n项和，若，，则.6．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（江西卷））在等差数列中，，公差为，前项和为，当且仅当时取最大值，则的取值范围．7．（2023年北京高考数学真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则；数列所有项的和为．8．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）记为等差数列的前n项和．若，则公差．9．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）记为等差数列的前项和，已知．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．10．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．(1)若，求的通项公式；(2)若为等差数列，且，求．11．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．(1)求的通项公式；(2)证明：当时，．12．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）记为数列的前n项和．已知．(1)证明：是等差数列；(2)若成等比数列，求的最小值．第02讲等差数列及其前n项和目录TOC\o"1-2"\h\z\u01模拟基础练 2题型一：等差数列的基本量运算 2题型二：等差数列的判定与证明 3题型三：等差数列的性质 5题型四：等差数列前n项和的性质 5题型五：等差数列前n项和的最值 6题型六：等差数列的实际应用 9题型七：关于等差数列奇偶项问题的讨论 11题型八：对于含绝对值的等差数列求和问题 13题型九：利用等差数列的单调性求解 15题型十：等差数列中的范围与恒成立问题 1602重难创新练 1903真题实战练 30题型一：等差数列的基本量运算1．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知首项的等差数列中，，若该数列的前项和，则等于（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】D【解析】设等差数列的公差为，因为，，所以，解得或，若，则为常数数列，则，不合题意，舍去；则，由等差数列前项和公式得，解得.故选：D.2．等差数列的前项和为，若，，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】由，则，则等差数列的公差，故.故选：B.3．（2024·河北·模拟预测）已知是等差数列的前项和，若，，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】由等差数列前项和公式,得，即.因为，所以,由，可得,所以，,所以.故选：D.4．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知等差数列满足，且，则首项（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】设等差数列的公差为，因为，且，所以，所以.故选：A题型二：等差数列的判定与证明5．已知数列满足：，，.(1)证明：是等差数列，并求的通项公式；(2)设，若数列是递增数列，求实数的取值范围.【解析】（1）因为，所以为常数，又，所以数列是公差为，首项为的等差数列.所以，当时，，所以，又，所以，又，满足，所以数列的通项公式为.（2）由（1）知，因为数列是递增数列，所以，对恒成立，得到对恒成立，所以.6．数列的前项和为，且，当时，.(1)计算：，；(2)证明为等差数列，并求数列的通项公式；【解析】（1）由，，令，得，又，所以，令，得，又；（2）因为当时，，所以，所以数列为等差数列，首项为，公差为，所以，所以，于是，当时，，当时，，满足上式，故.7．（2024·高三·山东济宁·开学考试）已知各项均为正数的数列中，为的前项和，．证明：数列是等差数列；【解析】在正数的数列中，，当时，，两式相减得：，整理得，显然，则，又，即，，解得，有，因此，，所以是以为首项，为公差的等差数列.8．（2024·高三·山东·开学考试）记数列的前项和为，已知．证明：；【解析】证明：因为，当时，，两式相减，得①，则②，②-①得，所以．当时，，当时，．所以，所以．题型三：等差数列的性质9．（2024·辽宁抚顺·三模）已知数列的前n项和为，若，则，.【答案】299【解析】由，得，解得；则，显然是等差数列，所以.故答案为：2；9910．（2024·陕西·模拟预测）已知等差数列中，，则.【答案】【解析】，故.故答案为：.题型四：等差数列前n项和的性质11．（2024·陕西西安·模拟预测）已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则．【答案】【解析】因为等差数列和的前n项和分别为和，故可设，所以，所以.故答案为：.12．已知等差数列的前项和分别为，且，则．【答案】【解析】等差数列的前项和分别为，且，所以.故答案为：13．设是等差数列的前项和，，，则.【答案】200【解析】依题意，，，，…，依次成等差数列，设该等差数列的公差为.又，，因此，解得，所以.故答案为：200题型五：等差数列前n项和的最值14．（2024·四川南充·三模）设为等差数列的前n项和，已知、、成等比数列，，当取得最大值时，（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【解析】设等差数列的公差为，由，得，解得，由、、成等比数列，得，解得，因此，则，当且仅当时取等号，所以.故选：A15．若是等差数列，表示的前n项和，，则中最小的项是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，因为，所以，所以公差，故当时，，当时，，所以当时，取得最小值，即中最小的项是.故选：B.16．（2024·四川自贡·三模）已知数列的前项和为，且．(1)证明：数列为等差数列；(2)若，，成等比数列，求的最大值．【解析】（1）数列满足①，当时，有②，①②可得：，即，变形可得，故数列是以为等差的等差数列；（2）由（1）可知数列是以为等差的等差数列，若，，成等比数列，则有，即，解得，所以，所以单调递减，又当时，，当时，，当时，，故当或时，取得最大值，且．17．在等差数列中，已知：，.(1)求数列的公差及通项公式；(2)求数列的前项和的最小值，并指出此时正整数的值.【解析】（1）设等差数列的公差为，由，，，所以等差数列的公差为，通项公式.（2）因为，所以，当时，有最小值，此时正整数的值为.18．记为等差数列的前项和，已知，.(1)求的通项公式；(2)求的最小值.【解析】（1）设等差数列的公差为，由，，可得，解得，所以数列的通项公式为.（2）由（1）知，可得数列为递增数列，且，所以当时，；当时，；当时，，所以，当或时，取得最小值，即，所以，故的最小值为.题型六：等差数列的实际应用19．（2024·山西·模拟预测）干支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．干支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”、“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，依此类推．已知2024年是甲辰年，则2124年为（

）A．丁辰年 B．癸未年 C．甲午年 D．甲申年【答案】D【解析】天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列，由于，故100年后天干为甲，由于，余数为4，故100年后地支为“辰”后面第四个，即“申”，所以2124年为甲申年．故选：D20．（2024·湖南·二模）张扬的父亲经营着一家童鞋店，该店提供从25码到36.5码的童鞋，尺寸之间按0.5码为公差排列成等差数列．有一天，张扬帮助他的父亲整理某一型号的童鞋，以便确定哪些尺寸需要进货，张扬在进货单上标记了两个缺货尺寸．几天后，张扬的父亲询问那些缺货尺寸是哪些，但张扬无法找到标记缺货尺寸的进货单，他只记得其中一个尺寸是28.5码，并且在当时将所有有货尺寸加起来的总和是677码．现在问题是，另外一个缺货尺寸是（

）A．28码 B．29.5码 C．32.5码 D．34码【答案】C【解析】设第一个尺码为，公差为，则，则，当时，，故若不缺码，所有尺寸加起来的总和为码，所有缺货尺码的和为码，又因为缺货的一个尺寸为码，则另外一个缺货尺寸码，故选：C.21．（2024·四川达州·一模）《孙子算经》是我国南北朝时著名的数学著作，其中有物不知数问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？意思是：有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下2个；五个五个地数，会剩下3个；七个七个地数，也会剩下2个.这些物品的数量是多少个？若一个正整数除以三余二，除以五余三，将这样的正整数由小到大排列，则前5个数的和为（

）A．189 B．190 C．191 D．192【答案】B【解析】根据题意，被以3除余2，除以5余3的数，构成首项为，公差为的等差数列，则，所以将这样的正整数由小到大排列，则前5个数的和为.故选：B.22．（2024·高三·上海·开学考试）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌，亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”…，以此类推．2024年是甲辰年，高斯出生于1777年，该年是（

）A．丁酉年 B．丁戌年 C．戊酉年 D．戊戌年【答案】A【解析】天干以十年为一个周期，地支以十二年为一个周期.年与年相隔年，，即天干有24个周期，余7年；，即地支有20个周期，余7年.故甲往前数7年为丁，辰往前数7年为酉，故年为丁酉年.故选：A.题型七：关于等差数列奇偶项问题的讨论23．（2024·山东威海·一模）已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，且.(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前n项和.【解析】（1）由得时，两式相减得,整理得因为，所以,所以数列是以为公差的等差数列在中令解得所以.（2）当时，又，，...，是首项为2，公差为2的等差数列，所以，故．所以当时，又，，...，是首项为2，公差为2的等差数列，所以，故．所以当为偶数时,;当为奇数时,;24．（2024·黑龙江·三模）已知等差数列的公差，与的等差中项为5，且.(1)求数列的通项公式；(2)设求数列的前20项和.【解析】（1）因为为等差数列，且与的等差中项为5，所以，解得，因为，所以，解得，因为，所以，所以，故数列的通项公式为；（2）由题知，即所以，故数列的前20项和为.25．（2024·山东·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，数列满足，设．(1)求的通项公式，并证明：；(2)设，求数列的前项和．【解析】（1）设等差数列的公差为，因为，可得，即，解得，又因为，可得，所以，由数列满足，可得，，，所以，因为，所以.（2）由（1）可知，因为，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，所以，所以，则，两式相减，可得，所以.题型八：对于含绝对值的等差数列求和问题26．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列，记为的前项和，从下面①②③中再选取一个作为条件，解决下面问题．①；②；③．(1)求的最小值；(2)设的前项和为，求．【解析】（1）设等差数列的公差为，且．选择①：（1）因为，所以，解得．所以，则，利用二次函数对称性和开口方向知，关于对称，因为，所以当或6时，.选择②：因为，可得，因为，所以，此时，所以，因为，所以单调递增，且当时，．所以当或11时，最小，此时.选择③：因为，所以，即，所以，所以，则，利用二次函数对称性和开口方向知，关于对称，因为，所以当或6时，.（2）若选择①或③：由（1）知，当时，，所以.若选择②：由（1）知，且当时，，且，所以.27．（2024·湖南·二模）记为等差数列的前项和，，．(1)求数列的通项公式；(2)求的值．【解析】（1）设等差数列的首项和公差分别为、，由题意可知，化简得，解得，所以．（2）由（1）知：当时，；当时，，所以．28．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，其中，．(1)求数列的通项；(2)求数列的前n项和为．【解析】（1）设的公差为，则，解得，所以；（2）因为，所以，当时，，此时，，当时，，此时，，综上所述：.题型九：利用等差数列的单调性求解29．（2024·高三·山东淄博·期末）设为等差数列的前n项和，则“对，”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】设等差数列的公差为，若对，，即，若，则，即为单调递增数列，又因为，所以，所以，即，所以“对，”是“”的充要条件.故选：C30．（2024·吉林白山·模拟预测）若等差数列的前项和为，且满足，对任意正整数，都有，则的值为（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】C【解析】依题意，又，即，则则，且，所以等差数列单调递减，，所以对任意正整数，都有，则．故选，C．31．已知是等差数列的前项和，且，则（

）A．数列为递增数列 B．C．的最大值为 D．【答案】B【解析】由且，所以，故B正确；所以公差，数列为递减数列，A错误；由，，，所以，，时，，的最大值为，故C错误；，故D错误.故选：B题型十：等差数列中的范围与恒成立问题32．（多选题）（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期中）已知是等差数列的前n项和，且，，则下列选项正确的是（

）A．数列为递减数列 B．C．的最大值为 D．【答案】ABC【解析】设等差数列的公差为d，由于，，故，则，B正确；，则数列为递减数列，A正确，由以上分析可知，时，，故的最大值为，C正确；，D错误，故选：ABC33．（多选题）公差为的等差数列的前项和为，若，则下列选项正确的是（

）A． B．时，的最小值为2022C．有最大值 D．时，的最大值为4043【答案】CD【解析】对于：由可得，故等差数列的公差，故A错误；对于B：由A得，数列为单调递减数列，且，故时，的最小值为2023，故B错误；对于C：由A得，，故是关于的开口向下的二次函数，其有最大值，没有最小值，故C正确；对于D：因为数列的前2022项均为正数，且，，时，的最大值为4043，故D正确故选：CD34．（多选题）已知数列的前项和，，数列的前项和满足对任意恒成立，则下列命题正确的是（

）A． B．当为奇数时，C． D．的取值范围为【答案】AC【解析】当时，，当时，，适合上式，所以，故A正确；所以，当为奇数时，，故B错误；当为偶数时，，所以，故C正确；当为奇数时，，若，则，即，所以，而，即；当为偶数时，则得，即，而，即，综上所述，，故D错误.故选：AC.1．（2024·陕西西安·三模）如图，用相同的球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，且只有1个球；第2堆有2层4个球，其中第1层有1个球，第2层有3个球；…；第n堆有n层共个球，第1层有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…．已知，则（

）A．2290 B．2540 C．2650 D．2870【答案】D【解析】在第堆中，从第2层起，第n层的球的个数比第层的球的个数多n，记第n层球的个数为，则，得，其中也适合上式，则，在第n堆中，，当时，，解得.故选：D.2．（2024·广东东莞·模拟预测）等差数列和等比数列都是各项为正实数的无穷数列，且，，的前n项和为，的前n项和为，下列判断正确的是（

）A．是递增数列 B．是递增数列C． D．【答案】D【解析】设数列和数列均为常数列，所以排除A，B，C，选D，对于D，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由，可知，故，由，可知，又由，，有，故，且，故，即，所以，故，所以.故选：D3．（2024·山西阳泉·三模）已知等差数列中，是函数的一个极大值点，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由正弦函数性质知，当，即时，函数取得极大值，则，由等差数列性质，得，所以.故选：D4．（2024·浙江·模拟预测）已知实数构成公差为d的等差数列，若，，则d的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由实数a，b，c构成公差为d的等差数列，所以设，，则，所以，构造函数，，当时，，所以此时单调递减，当时，，所以此时单调递增，所以的最小值为，当b趋近于时，趋近于，当b从负方向趋近于时，也趋近于，所以，所以．故选：A．5．（2024·浙江·三模）已知等差数列的前n项和为，“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当时，，得；当时，，得，所以“”是“”的充要条件，故选：C．6．（2024·青海海西·模拟预测）前项和为的等差数列中，若，则（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【解析】由，可得．故选：A．7．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数，公差不为0的等差数列的前项和为，若，则（

）A．1012 B．2024 C．3036 D．4048【答案】D【解析】根据题意，函数，，故图象关于直线对称，由，可知，即，所以．故选：D．8．（2024·四川攀枝花·三模）数列的前项和为，，，设，则数列的前51项之和为（

）A． B． C．49 D．149【答案】B【解析】因为，当时，，即，可得，又，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，则，当时，所以，当时也成立，所以，可得数列的前项之和为．故选：B．9．（多选题）（2024·山西吕梁·三模）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（

）A．当最大B．使得成立的最小自然数C．D．中最小项为【答案】BD【解析】根据题意：，即，两式相加，解得：，当时，最大，故A错误由，可得到，所以，，所以，故C错误；由以上可得：，，而，当时，；当时，；所以使得成立的最小自然数，故B正确.当，或时，；当时，；由，所以中最小项为，故D正确.故选：BD.10．（多选题）（2024·湖南益阳·三模）已知是等比数列，是其前n项和，满足，则下列说法正确的有（

）A．若是正项数列，则是单调递增数列B．一定是等比数列C．若存在，使对都成立，则是等差数列D．若，且，，则时取最小值【答案】ACD【解析】对于A，设数列的公比为，由可得，，因，则得，解得或，因是正项数列，故，，故是单调递增数列，即A正确；对于B，由上分析知，或，当时，，此时，若为偶数，则都是0，故不符合，即B错误；对于C，若，则是递增数列，此时不存在，使对都成立；若时，易得，故存在，使得对都成立，此时为常数列，故是公差为0的等差数列，故C正确；对于D，因，，故由上分析知，则，由，当时，，故，数列递减，且；当时，，故，数列递增，且；则当时，取最小值，故D正确.故选：ACD.11．（多选题）（2024·重庆·模拟预测）已知数列，，记，，若且则下列说法正确的是（

）A． B．数列中的最大项为C． D．【答案】BD【解析】对于A，由已知，当时，，即，，当时，，即，所以，即，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，即，A选项错误；对于B，所以，，且数列单调递减，所以数列中的最大项为，B选项正确；对于C，，，所以，C选项错误；对于D，又，所以，即，D选项正确；故选：BD.12．（2024·浙江绍兴·三模）记为正项数列的前项积，已知，则；．【答案】22025【解析】根据题意令，可知，又数列的各项均为正，即；解得；由可得，即，可得；所以数列是以为首项，公差为的等差数列；因此，所以.故答案为：2；2025.13．（2024·湖北襄阳·模拟预测）蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关，如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上收长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为.

【答案】【解析】由题意可知：每段圆弧的圆心角为，设第段圆弧的半径为，则可得，故数列是以首项，公差的等差数列，则，则“蚊香”的长度为.故答案为：.14．（2024·上海·三模）已知两个等差数列2，6，10，…，202和2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为．【答案】【解析】等差数列2，6，10，…，202中，公差；等差数列2，8，14，…，200中，公差，和的最小公倍数为，所以新数列的公差，首项，所以，令，解得，故新数列共有项，所以新数列的各项之和为，故答案为：15．（2024·陕西安康·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前10项和.【解析】（1）由题意，设等差数列的公差为，则，化简整理，得，解得，.（2）由（1）可得，，则，数列的前10项和为：.16．（2024·重庆九龙坡·三模）已知是等差数列的前项和，，数列是公比大于1的等比数列，且，.(1)求数列和的通项公式；(2)设，求使取得最大值时的值.【解析】（1）设等差数列的公差为，则，解得，所以，设等比数列的公比为，则，解得，所以；（2）由（1）得，则，，当时，，当时，，当时，，所以当或时，取得最大值.17．（2024·贵州六盘水·三模）已知为等差数列，且，．(1)求的通项公式；(2)若恒成立，求实数λ的取值范围．【解析】（1）设数列的公差为d，则根据题意可得，解得，则．（2）由（1）可知运用等差数列求和公式，得到，又恒成立，则恒成立，设，则，当时，，即；当时，，则，则；则，故，故实数λ的取值范围为．18．（2024·山东青岛·二模）已知数列满足，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，若，求的最小值.【解析】（1）数列中，，，当时，，则，由，得，当为正奇数时，数列是首项为3，公差为4的等差数列，则，即，当为偶奇数时，数列是首项为5，公差为4的等差数列，则，即，即，所以数列的通项公式是.（2）由（1）知，显然数列是首项为，公比的等比数列，则，由，得，整理得，而数列是递增数列，，因此，所以的最小值为5.19．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列的前n项积为，数列满足，（，）．(1)求数列，的通项公式；(2)将数列，中的公共项从小到大排列构成新数列，求数列的通项公式．【解析】（1），，当时，，当时，，即，而，满足上式，所以数列的通项公式为；若数列满足，（，），则，从而数列的通项公式为；（2）令，解得，这表明，从而只能，所以，所以数列的通项公式为.20．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数的所有正零点构成递增数列．(1)求函数的周期和最大值；(2)求数列的通项公式及前项和．【解析】（1）由题可得，因此函数的周期，当，即时，取最大值，最大值为．（2）由得，因此函数的所有正零点为，，，因此是首项为，公差为1的等差数列；，1．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C【解析】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，则，因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，即，则，有，两式相减得：，即，对也成立，因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C正确.方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即，即，，当时，上两式相减得：，当时，上式成立，于是，又为常数，因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.故选：C2．（2022年新高考全国II卷数学真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（

）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【答案】D【解析】设，则，依题意，有，且，所以，故，故选：D3．（2022年新高考北京数学高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.若为单调递增数列，则，若，则当时，；若，则，由可得，取，则当时，，所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；若存在正整数，当时，，取且，，假设，令可得，且，当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.所以，“