2025年新高考数学一轮复习第5章第02讲平面向量的数量积及其应用(八大题型)(练习)(学生版+解析)

第02讲平面向量的数量积及其应用目录TOC\o"1-2"\h\z\u01模拟基础练 2题型一：平面向量的数量积运算 2题型二：平面向量的夹角问题 2题型三：平面向量的模长 3题型四：平面向量的投影、投影向量 3题型五：平面向量的垂直问题 3题型六：建立坐标系解决向量问题 4题型七：平面向量的实际应用 4题型八：向量回路恒等式 502重难创新练 603真题实战练 8题型一：平面向量的数量积运算1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知平行四边形中，，则的值为（

）A． B． C． D．2．（2024·陕西·模拟预测）如图是某人设计的正八边形八角窗，若O是正八边形ABCDEFGH的中心，，则.3．（2024·重庆·三模）已知单位正方形ABCD，点E是BC边上一点，若，则.题型二：平面向量的夹角问题4．（2024·陕西铜川·三模）已知点为外接圆的圆心，且，则.5．（2024·福建宁德·三模）已知是两个单位向量，若在上的投影向量为，则与的夹角为.6．（2024·福建漳州·三模）已知向量，且在上的投影向量的坐标为，则与的夹角为.7．（2024·福建莆田·三模）已知向量，满足，且，则向量，夹角的余弦值是.8．已知均为单位向量，且，则与的夹角的余弦值为.题型三：平面向量的模长9．已知向量，且，则.10．若向量满足，，，则.11．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知向量，均为单位向量，且，，则实数．12．已知向量，，满足，则．题型四：平面向量的投影、投影向量13．（2024·河北张家口·三模）已知向量，若，则在上的投影向量为．14．（2024·浙江绍兴·三模）若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．15．（2024·宁夏银川·三模）已知是单位向量，且与垂直，与的夹角为135°，则在上的投影数量为.16．（2024·山东泰安·模拟预测）已知单位向量满足，则在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．题型五：平面向量的垂直问题17．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知向量，，，若，则（

）A． B． C． D．18．（2024·海南·模拟预测）已知向量，若，则（

）A．－1 B．0 C．1 D．219．（2024·陕西·模拟预测）已知两个向量，且，则的值为（

）A． B． C． D．题型六：建立坐标系解决向量问题20．如图，在矩形ABCD中，，点E为BC的中点，若，则.21．在中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，D在边BC上（与B、C不重合），延长射线AD到P，使得AP＝9，若（m为常数），则DB的长度为．22．如图在平面四边形中，，点在线段上满足，若，则．题型七：平面向量的实际应用23．加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为350N，则该学生的体重（单位：kg）约为（

）（参考数据：取重力加速度大小为m/s2，）A．55 B．61 C．66 D．7124．（2024·高三·福建厦门·期末）长江某地南北两岸平行，一艘游船南岸码头出发航行到北岸.假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为，北岸的点在的正北方向，则游船正好到达处时，（

）A． B． C． D．25．（2024·江西南昌·二模）如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB=1km，水的流速为2，若客船从码头A驶到码头B所用的时间为6min，则客船在静水中的速度为（

）A． B．8C． D．1026．质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量(即点P的运动方向与相同，且每秒移动的距离为个单位).设开始时点P的坐标为，则5秒后点P的坐标为（

）A． B．C． D．27．点在平面上以速度作匀速直线运动，若4秒后点的坐标为，则点的初始坐标为（

）A． B． C． D．题型八：向量回路恒等式28．如图，在平面四边形中，，，则．29．如图，在平面四边形中，若，，则．1．（2024·甘肃兰州·三模）已知向量，设与的夹角为，则（

）A． B． C． D．2．（2024·湖北武汉·一模）已知向量，，且，则（

）A． B． C． D．83．（2024·江西宜春·模拟预测）已知向量，满足，，，则（

）A．5 B． C．6 D．84．（2024·江苏泰州·模拟预测）若，，，则与的夹角为（

）A． B． C． D．5．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知的三个内角，，的对边分别为，，，，，，，则线段的长为（

）A． B． C． D．6．（2024·辽宁沈阳·二模）已知向量，则“”是“”的（

）15．（2024·广东江门·二模）设向量，则的最小值为.16．已知向量，，，1．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）正方形的边长是2，是的中点，则（

）A． B．3 C． D．52．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量，则（

）A． B． C． D．3．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知向量满足，且，则（

）A． B． C． D．4．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（

）A． B．C． D．5．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量，若，则（

）A． B．C． D．6．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知向量，若，则（

）A． B． C．5 D．67．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）已知向量，则（

）A．2 B．3 C．4 D．58．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知向量满足，则（

）A． B． C．1 D．29．（2022年新高考北京数学高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．10．（多选题）（2022年新高考全国II卷数学真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（

）A．直线的斜率为 B．C． D．11．（2024年天津高考数学真题）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，则；为线段上的动点，为中点，则的最小值为．12．（2023年天津高考数学真题）在中，，，记，用表示；若，则的最大值为．13．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量，满足，，则．14．（2022年新高考天津数学高考真题）在中，，D是AC中点，，试用表示为，若，则的最大值为15．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量．若，则．16．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则．第02讲平面向量的数量积及其应用目录TOC\o"1-2"\h\z\u01模拟基础练 2题型一：平面向量的数量积运算 2题型二：平面向量的夹角问题 3题型三：平面向量的模长 5题型四：平面向量的投影、投影向量 6题型五：平面向量的垂直问题 7题型六：建立坐标系解决向量问题 8题型七：平面向量的实际应用 11题型八：向量回路恒等式 1402重难创新练 1503真题实战练 24题型一：平面向量的数量积运算1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知平行四边形中，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】平行四边形中，由，得，由，得，因此，整理得，即，所以.故选：B2．（2024·陕西·模拟预测）如图是某人设计的正八边形八角窗，若O是正八边形ABCDEFGH的中心，，则.【答案】【解析】故答案为：3．（2024·重庆·三模）已知单位正方形ABCD，点E是BC边上一点，若，则.【答案】【解析】因为在单位正方形ABCD，点E是BC边上一点，又，所以，，所以，故答案为：题型二：平面向量的夹角问题4．（2024·陕西铜川·三模）已知点为外接圆的圆心，且，则.【答案】/【解析】由，得，由为外接圆的圆心，得，如图，结合向量加法的几何意义知，四边形为菱形，且，故.故.故答案为：5．（2024·福建宁德·三模）已知是两个单位向量，若在上的投影向量为，则与的夹角为.【答案】【解析】由题意可得，即，，则，故与的夹角为.故答案为：.6．（2024·福建漳州·三模）已知向量，且在上的投影向量的坐标为，则与的夹角为.【答案】/【解析】设与的夹角为，且，，则在上的投影向量为，即，所以，所以，故答案为：.7．（2024·福建莆田·三模）已知向量，满足，且，则向量，夹角的余弦值是.【答案】【解析】因为，所以，所以.因为，所以，所以，则.故答案为：8．已知均为单位向量，且，则与的夹角的余弦值为.【答案】/【解析】,则与的夹角的余弦值为.故答案为：.题型三：平面向量的模长9．已知向量，且，则.【答案】【解析】，因为，所以，解得，所以.故答案为：.10．若向量满足，，，则.【答案】【解析】由，有，即，得.又，得.故答案为：.11．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知向量，均为单位向量，且，，则实数．【答案】【解析】由题意知，，故，且，即，故，故答案为：12．已知向量，，满足，则．【答案】/或/或【解析】因为，，所以，，得．故答案为：题型四：平面向量的投影、投影向量13．（2024·河北张家口·三模）已知向量，若，则在上的投影向量为．【答案】【解析】因为，所以，又，所以，解得，因为，所以在上的投影向量为.故答案为：14．（2024·浙江绍兴·三模）若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题意可得，所以，则所以，则在方向上的投影向量为.故选：B15．（2024·宁夏银川·三模）已知是单位向量，且与垂直，与的夹角为135°，则在上的投影数量为.【答案】【解析】因为与垂直，所以，即，解得，又因为与的夹角为135°，所以，解得，所以在上的投影数量为，故答案为：16．（2024·山东泰安·模拟预测）已知单位向量满足，则在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为是单位向量，所以，由得，则，得，设与的夹角为，则在方向上的投影向量为.故选：A题型五：平面向量的垂直问题17．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知向量，，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意知，，则，又，所以故选：B18．（2024·海南·模拟预测）已知向量，若，则（

）A．－1 B．0 C．1 D．2【答案】B【解析】,,由得：，则，所以，故选：B.19．（2024·陕西·模拟预测）已知两个向量，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，则，即，因此，所以.故选：B题型六：建立坐标系解决向量问题20．如图，在矩形ABCD中，，点E为BC的中点，若，则.【答案】14【解析】以A为原点，AB为x轴建立平面直角坐标系则A（0，0），B（3，0），C（3，4），D（0，4），因为点E为BC的中点，且，所以E（3，2），F（2，4），故，所以故答案为：.21．在中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，D在边BC上（与B、C不重合），延长射线AD到P，使得AP＝9，若（m为常数），则DB的长度为．【答案】/1.4【解析】如图，以A为坐标原点，分别以AB，AC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，则B（4，0），C（0，3），由若，得，整理得：．由AP＝9，得，解得或．当时，可得，所以点的坐标为，所以直线PA的方程为，直线BC的方程为，联立两直线方程可得点D的坐标为，，所以，当时，此时，所以三点共线，点在直线上，所以三点共线，又三点共线，所以可知D与C重合（舍去），∴BD的长度是．故答案为：．22．如图在平面四边形中，，点在线段上满足，若，则．【答案】/【解析】以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设，则有，，过D作轴于F，，，所以，，，，因为，所以，所以，，解得：，则的值为.故答案为：.题型七：平面向量的实际应用23．加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为350N，则该学生的体重（单位：kg）约为（

）（参考数据：取重力加速度大小为m/s2，）A．55 B．61 C．66 D．71【答案】B【解析】如图，，，作平行四边形，则是菱形，，，所以，因此该学生体重为（kg）.故选：B．24．（2024·高三·福建厦门·期末）长江某地南北两岸平行，一艘游船南岸码头出发航行到北岸.假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为，北岸的点在的正北方向，则游船正好到达处时，（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设船的实际速度为，与南岸上游的夹角为，如图所示，要使得游船正好到达处，则，即，又因为，所以，故选：D.25．（2024·江西南昌·二模）如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB=1km，水的流速为2，若客船从码头A驶到码头B所用的时间为6min，则客船在静水中的速度为（

）A． B．8C． D．10【答案】A【解析】设客船在静水中的速度大小为，水流速度为，则，则船实际航行的速度，，由题意得.把船在静水中的速度正交分解为，即，∵km/h，而与同向，即，∴∴.故选：A.26．质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量(即点P的运动方向与相同，且每秒移动的距离为个单位).设开始时点P的坐标为，则5秒后点P的坐标为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】设，5秒后P点的坐标为，则，由题意有.即所以解得故选:C27．点在平面上以速度作匀速直线运动，若4秒后点的坐标为，则点的初始坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题意，列出方程组，即可求解.设点的初始坐标为，因为点在平面上以速度作匀速直线运动，若4秒后点的坐标为，可得，解得，即点的初始坐标为.故选：B.题型八：向量回路恒等式28．如图，在平面四边形中，，，则．【答案】【解析】由题意得，，，因为，，从而.故答案为：.29．如图，在平面四边形中，若，，则．【答案】【解析】由题意可得：，故，则，即.故答案为：.1．（2024·甘肃兰州·三模）已知向量，设与的夹角为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，，所以，因为为与的夹角，所以.故选：D2．（2024·湖北武汉·一模）已知向量，，且，则（

）A． B． C． D．8【答案】A【解析】因为所以,所以,因为，所以.故选：A.3．（2024·江西宜春·模拟预测）已知向量，满足，，，则（

）A．5 B． C．6 D．8【答案】B【解析】由，，，得，则，因此，所以．故选：B4．（2024·江苏泰州·模拟预测）若，，，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，又，所以，解得，所以，设与的夹角为，所以，又，所以.故选：A5．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知的三个内角，，的对边分别为，，，，，，，则线段的长为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，整理得，即，所以，所以故选：B.6．（2024·辽宁沈阳·二模）已知向量，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为，，所以，，当时，，即解得所以“”是的充分不必要条件.故选：A.7．（2024·陕西安康·模拟预测）若平面向量满足，则向量夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设向量夹角为，两边平方得则，又，即，解得.故选：A.8．（2024·江西新余·二模）已知，，若与的夹角为，则（

）A．-1 B．1 C． D．【答案】A【解析】因为，，所以，，，因为，又，所以，解得或，因为，所以，解得，所以.故选：.9．（多选题）（2024·浙江·模拟预测）已知向量，的夹角为，且，，则（

）A． B．C． D．在的方向上的投影向量为【答案】AB【解析】，，故A正确；，所以，故B正确；，所以，又因为，所以，故C错误；在上的投影向量为，故D错误；故选：AB．10．（多选题）（2024·江苏南京·二模）已知内角，，的对边分别为，，，为的重心，，，则（

）A． B．C．的面积的最大值为 D．的最小值为【答案】ABC【解析】延长交于点.因为是的重心，所以点是中点，，则.对于选项A：因为，故选项A正确；对于选项B：由得：，所以，当且仅当时等号成立.又因为，即，，所以，即，当且仅当时等号成立，故选项B正确；对于选项C：因为，当且仅当时等号成立，，所以，故选项C正确；对于选项D：由，，得，所以由余弦定理可得：，即，当且仅当时等号成立，所以的最小值是，故选项D错误.故选：ABC.11．（多选题）（2024·江西鹰潭·三模）已知向量，，，则（

）A．若，则B．在方向上的投影向量为C．存在，使得在方向上投影向量的模为1D．的取值范围为【答案】ACD【解析】对于A，若，则，则，即，所以，故A正确；对于B，在方向上的投影向量为，故B错误；对于C，在方向上的投影向量的模为，若，则，即，其中，，所以，所以存在，使得在方向上的投影向量的模为1，故C正确.对于D，,因为所以，所以，所以，故D正确.故选：ACD.12．（多选题）（2024·广东广州·二模）在梯形中，，则（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】在中，，则，由正弦定理知，即，故A正确；，，，故B正确；，故C错误；，故，即，故D正确．故选：ABD13．（2024·天津南开·二模）已知在平行四边形中，，，记，，用和表示；若，，则值为.【答案】/【解析】因为，所以，所以；因为，所以，所以，故，即，又，故，即，因为，，所以.故答案为：；.14．（2024·湖南长沙·三模）在，已知，.则.【答案】【解析】设，，，由得，所以.又，因此，.由，得；于是，所以，∴，即.∵，∴，∴，∴或，∴或.又∵，∴，，，则.故答案为：15．（2024·广东江门·二模）设向量，则的最小值为.【答案】/【解析】，令，则，所以，当，即时，取得最小值，且最小值为．故答案为：16．已知向量，，，【答案】【解析】因为向量，，，所以，因此，．故答案为：．1．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）正方形的边长是2，是的中点，则（

）A． B．3 C． D．5【答案】B【解析】方法一：以为基底向量，可知，则，所以；方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，则，可得，所以；方法三：由题意可得：，在中，由余弦定理可得，所以.故选：B.2．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，则，，所以.故选：B.3．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知向量满足，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为,所以,即,即,所以.如图,设,由题知,是等腰直角三角形,AB边上的高,所以,,.故选:D.4．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】如图所示，，则由题意可知:，由勾股定理可得当点位于直线异侧时或PB为直径时，设，则：，则当时，有最大值.当点位于直线同侧时，设，则：，，则当时，有最大值.综上可得，的最大值为.故选：A.5．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量，若，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，所以，，由可得，，即，整理得：．故选：D．6．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知向量，若，则（

）A． B． C．5 D．6【答案】C【解析】,,即,解得,故选：C7．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）已知向量，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】因为，所以.故选：D8．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知向量满足，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】∵，又∵∴9，∴故选：C.9．（2022年新高考北京数学高考真题）在