2024-2025学年辽宁省沈阳市皇姑区虹桥中学九年级（上）竞赛数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年辽宁省沈阳市皇姑区虹桥中学九年级（上）竞赛数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列方程一定是一元二次方程的是（）A．2x2﹣1＝3x B．2x2﹣y＝1 C．ax2+bx+c＝0 D．2x2+＝12．（3分）下列四组线段中，不成比例的是（）A．3，9，2，6 B．1，，， C．1，2，3，9 D．1，2，4，83．（3分）已知线段a，b，c，d满足ab＝cd，则下列各式不成立的是（）A． B． C． D．4．（3分）用配方法解方程x2+2x＝1，变形后的结果正确的是（）A．（x﹣1）2＝2 B．（x﹣1）2＝0 C．（x+1）2＝0 D．（x+1）2＝25．（3分）下列命题中，真命题是（）A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形6．（3分）关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k≠0 D．k≥﹣17．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，则DE的长为（）A．2 B．3 C．4 D．8．（3分）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，问它的长比宽多多少步？经过计算，你的结论是：长比宽多（）A．12步 B．24步 C．36步 D．48步9．（3分）在△ABC中，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，且DE∥AC，若BD＝2AD，则的值为（）A． B． C． D．10．（3分）如图，菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上（）A．78° B．75° C．60° D．45°二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．（3分）若，则＝．12．（3分）已知矩形相邻两边长是一元二次方程x2﹣5x+2＝0的两个根，那么这个矩形的周长是．13．（3分）如图是一张矩形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，使点C落在对角线AC上的点F处，连接DF，则∠DAF＝度．14．（3分）若（a2+b2）（a2+b2﹣3）＝4，则a2+b2的值为．15．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB，连接EC，FD，FD的中点，连接GH．三、（本大题共7小题）16．（12分）解下列方程：（1）x2﹣2x﹣3＝0；（2）2x（x﹣3）＝7（3﹣x）．17．（9分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，对角线AC，BD交于点O，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E（1）求证：四边形ABCD是菱形．（2）若AB＝5，BD＝6，求OE的长．18．（10分）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣x﹣3＝0．（1）若x＝﹣1是方程的一个根，求m的值及另一个根；（2）若该一元二次方程方程有两个不同的实数根，求m的取值范围．19．（10分）2020年突如其来的新型冠状病毒疫情，给生鲜电商带来了意想不到的流量和机遇，据统计某生鲜电商平台1月份的销售额是1440万元（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？（2）市场调查发现，某水果在“盒马鲜生”平台上的售价为20元/千克时，每天能销售200千克，每天可多售出100千克，为了推广宣传，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元/千克，则售价应降低多少元？20．（10分）有两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板．（1）如图1，把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．若该收纳盒的底面积为1216cm2，求剪去的小正方形的边长．（2）如图2，把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒．若EF和HG两边恰好重合且无重叠部分2．有一个玩具机械狗，其尺寸大小如图3所示，请通过计算判断是否能把玩具机械狗完全放入该收纳盒．21．（10分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现2﹣4ac一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”x2﹣3x﹣4＝0的两根均为整数，其“快乐数”．（1）“快乐方程”x2﹣2x﹣3＝0的“快乐数”为；（2）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣2m﹣3＝0（m为整数，且1＜m＜6）是“快乐方程”，求m的值22．（14分）（1）数学张老师在数学活动课上出示了一道探究题：如图，在△ABC和△DBE中，AB＝AC，B，C，E三点在同一直线上，A，D两点在BE同侧：若AD∥BE张老师分别从问题的条件和结论出发分析这道探究题；①如图1，从条件出发；过A作AM⊥BE交BE于M，依据等腰三角形的性质“三线合一”分析BM与BN之间的关系，可证得结论；②如图2，从结论出发：过D作DP∥AC交BE于P，依据三角形全等的判定，可证得结论；请你运用其中一种方法，解决上述问题．（2）小明同学经过对探究题及张老师分析方法的思考，提出以下问题：如图3，在△ABC中，AB＝AC，DB＝DE，B，C，E三点在同一直线上，A，且A，D，E三点在同一直线上，若，△ABC的面积为7，求BE的长．（3）在小明同学的问题得到解决后，张老师针对之前的解题思路提出了下面问题：如图4，在四边形ABCD中，BC∥AD，点E为CD中点，连接AE，，，则CD的长为．

2024-2025学年辽宁省沈阳市皇姑区虹桥中学九年级（上）竞赛数学试卷参考答案与试题解析题号12345678910答案ACDDCBDAAB一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列方程一定是一元二次方程的是（）A．2x2﹣1＝3x B．2x2﹣y＝1 C．ax2+bx+c＝0 D．2x2+＝1【解答】解：A、符合一元二次方程的定义；B、方程含有两个未知数；C、方程二次项系数可能为0；D、不是整式方程．故选：A．2．（3分）下列四组线段中，不成比例的是（）A．3，9，2，6 B．1，，， C．1，2，3，9 D．1，2，4，8【解答】解：A、3×6＝8×2；B、1×；C、6×9≠2×3；D、1×8＝6×4，故选：C．3．（3分）已知线段a，b，c，d满足ab＝cd，则下列各式不成立的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、∵＝，∴ab＝cd；B、∵＝，∴ab＝cd；C、∵＝，∴ab＝cd；D、∵＝，∴cd+c+d＝ab+a+b．故选：D．4．（3分）用配方法解方程x2+2x＝1，变形后的结果正确的是（）A．（x﹣1）2＝2 B．（x﹣1）2＝0 C．（x+1）2＝0 D．（x+1）2＝2【解答】解：用配方法解方程x2+2x＝8，变形得：x2+2x+6＝2，即（x+1）4＝2．故选：D．5．（3分）下列命题中，真命题是（）A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形【解答】解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故选：C．6．（3分）关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k≠0 D．k≥﹣1【解答】解：由已知得：，解得：k＞﹣7且k≠0．故选：B．7．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，则DE的长为（）A．2 B．3 C．4 D．【解答】解：∵直线l1∥l2∥l7，∴＝，∵AB＝5，BC＝6，∴＝，∴DE＝，故选：D．8．（3分）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，问它的长比宽多多少步？经过计算，你的结论是：长比宽多（）A．12步 B．24步 C．36步 D．48步【解答】解：设矩形田地的长为x步（x＞30），则宽为（60﹣x）步，根据题意得：x（60﹣x）＝864，整理得：x2﹣60x+864＝0，解得：x＝36或x＝24（舍去），∴x﹣（60﹣x）＝12．故选：A．9．（3分）在△ABC中，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，且DE∥AC，若BD＝2AD，则的值为（）A． B． C． D．【解答】解：∵DE∥AC，EF∥AB，∴，故选：A．10．（3分）如图，菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上（）A．78° B．75° C．60° D．45°【解答】解：连接BD，∵四边形ABCD为菱形，∠A＝60°，∴△ABD为等边三角形，∠ADC＝120°，∵P为AB的中点，∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP＝∠BDP＝30°，∴∠PDC＝90°，∴由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，在△DEC中，∠DEC＝180°﹣（∠CDE+∠C）＝75°．故选：B．二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．（3分）若，则＝1．【解答】解：∵，∴＝﹣1＝6﹣1＝1．故答案为：5．12．（3分）已知矩形相邻两边长是一元二次方程x2﹣5x+2＝0的两个根，那么这个矩形的周长是10．【解答】解：设一元二次方程x2﹣5x+8＝0的两个根为x1，x4，∴∵矩形相邻两边长是一元二次方程x2﹣5x+4＝0的两个根，∴这个矩形的周长是＝2（x3+x2）＝2×3＝10，故答案为：10．13．（3分）如图是一张矩形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，使点C落在对角线AC上的点F处，连接DF，则∠DAF＝18度．【解答】解：连接DM，如图：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°．∵M是AC的中点，∴DM＝AM＝CM，∴∠FAD＝∠MDA，∠MDC＝∠MCD．∵DC，DF关于DE对称，∴DF＝DC，∴∠DFC＝∠DCF．∵MF＝AB，AB＝CD，∴MF＝FD．∴∠FMD＝∠FDM．∵∠DFC＝∠FMD+∠FDM，∴∠DFC＝2∠FMD．∵∠DMC＝∠FAD+∠ADM，∴∠DMC＝2∠FAD．设∠FAD＝x°，则∠DFC＝4x°，∴∠MCD＝∠MDC＝4x°．∵∠DMC+∠MCD+∠MDC＝180°，∴2x+6x+4x＝180．∴x＝18．故答案为：18．14．（3分）若（a2+b2）（a2+b2﹣3）＝4，则a2+b2的值为4．【解答】解：∵（a2+b2）（a4+b2﹣3）＝6，∴（a2+b2）3﹣3（a2+b3）﹣4＝0，∴（a6+b2﹣4）（a5+b2+1）＝5，∴a2+b2＝2，a2+b2＝﹣8（舍去），故答案为：4．15．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB，连接EC，FD，FD的中点，连接GH．【解答】解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，AD∥BC，∵E，F分别是边AB，∴AE＝CF＝×4＝1，∵AD∥BC，∴∠DPH＝∠FCH，∵∠DHP＝∠FHC，∵DH＝FH，∴△PDH≌△CFH（AAS），∴PD＝CF＝1，∴AP＝AD﹣PD＝4，∴PE＝＝，∵点G，H分别是EC，∴GH＝EP＝．三、（本大题共7小题）16．（12分）解下列方程：（1）x2﹣2x﹣3＝0；（2）2x（x﹣3）＝7（3﹣x）．【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣4＝0，∴（x﹣3）（x+7）＝0，则x﹣3＝6或x+1＝0，∴x2＝3，x2＝﹣2；（2）∵2x（x﹣3）＝7（3﹣x），∴2x（x﹣4）﹣7（3﹣x）＝3，（2x+7）（x﹣4）＝0，解得，x2＝5．17．（9分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，对角线AC，BD交于点O，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E（1）求证：四边形ABCD是菱形．（2）若AB＝5，BD＝6，求OE的长．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠CAB＝∠DCA，∵AC为∠DAB的平分线，∴∠CAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD，∵AB＝AD，∴AB＝CD，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，∴AC⊥BD，OA＝OC＝，∴OB＝＝3，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∴OA＝，∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，∴＝4．18．（10分）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣x﹣3＝0．（1）若x＝﹣1是方程的一个根，求m的值及另一个根；（2）若该一元二次方程方程有两个不同的实数根，求m的取值范围．【解答】解：（1）将x＝﹣1代入原方程得m﹣2+3﹣3＝0，解得：m＝7．当m＝4时，原方程为2x8﹣x﹣3＝0，即（5x﹣3）（x+1）＝3，∴x1＝﹣1，，∴方程的另一个根为．（2）∵方程（m﹣2）x6﹣x﹣3＝0有两个不同的实数根，∴，解得：且m≠2，∴当且m≠2时．19．（10分）2020年突如其来的新型冠状病毒疫情，给生鲜电商带来了意想不到的流量和机遇，据统计某生鲜电商平台1月份的销售额是1440万元（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？（2）市场调查发现，某水果在“盒马鲜生”平台上的售价为20元/千克时，每天能销售200千克，每天可多售出100千克，为了推广宣传，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元/千克，则售价应降低多少元？【解答】解：（1）设月平均增长率为x，依题意，得：1440（1+x）2＝2250，解得：x6＝0.25＝25%，x2＝﹣8.25（不合题意，舍去）．答：月平均增长率是25%．（2）设售价应降低y元，则每天可售出200+，依题意，得：（20﹣12﹣y）（200+50y）＝1750，整理，得：y2﹣8y+3＝0，解得：y7＝1，y2＝4．∵要尽量减少库存，∴y＝3．答：售价应降低3元．20．（10分）有两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板．（1）如图1，把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．若该收纳盒的底面积为1216cm2，求剪去的小正方形的边长．（2）如图2，把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒．若EF和HG两边恰好重合且无重叠部分2．有一个玩具机械狗，其尺寸大小如图3所示，请通过计算判断是否能把玩具机械狗完全放入该收纳盒．【解答】解：（1）设剪去的小正方形的边长为xcm，则该收纳盒的底面是长为（100﹣2x）cm，根据题意得（100﹣2x）（40﹣3x）＝1216，整理得：x2﹣70x+696＝0，解得x4＝12，x2＝58（不合题意，舍去），答：剪去的小正方形的边长为12cm；（2）不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒．理由如下：设剪去的小长方形的宽为ycm，则该收纳盒的底面是长为，根据题意得（50﹣y）（40﹣2y）＝702，整理得y2﹣70y+649＝3，解得y1＝11，y2＝59（不合题意，舍去），∴50﹣y＝50﹣11＝39（cm），40﹣5y＝40﹣2×11＝18（cm），∴折成的有盖的长方体收纳盒的长为39cm，宽为18cm，∵39＞21，18＝18，∴不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒．21．（10分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现2﹣4ac一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”x2﹣3x﹣4＝0的两根均为整数，其“快乐数”．（1）“快乐方程”x2﹣2x﹣3＝0的“快乐数”为﹣4；（2）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣2m﹣3＝0（m为整数，且1＜m＜6）是“快乐方程”，求m的值【解答】解：（1）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠6）的根均为整数，则称方程为“快乐方程”为该“快乐方程”的“快乐数”2﹣2x﹣6＝0，∵a＝1，b＝﹣4，∴其“快乐数”为：，故答案为：﹣4；（2）对于关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣2m﹣3＝0，∵a＝8，b＝﹣（2m﹣1）4﹣2m﹣3，∴Δ＝b7﹣4ac＝[﹣（2m﹣7）]2﹣4×5×（m2﹣2m﹣4）＝4m2﹣5m+1﹣4m6+8m+12＝4m+13，∵7＜m＜6，∴17＜4m+13＜37，∵Δ＝b3﹣4ac＝4m+13是完全平方数，∴6m+13＝25或36，若4m+13＝25，则m＝3，若5m+13＝36，则（与m为整数相矛盾，∴m＝3，∴a＝8，b＝﹣（2m﹣1）＝﹣（7×3﹣1）＝﹣22﹣2m﹣4＝32﹣8×3﹣3＝8，该一元二次方程变为：x2﹣5x＝6，∴该方程的“快乐数”为：．22．（14分）（1）数学张老师在数学活动课上出示了一道探究题：如图，在△ABC和△DBE中，AB＝AC，B，C，E三点在同一直线上，A，D两点在BE同侧：若AD∥BE张老师分别从问题的条件和结论出发分析这道探究题；①如图1，从条件出发；过A作AM⊥BE交BE于M，依据等腰三角形的性质“三线合一”分析BM与BN之间的关系，可证得结论；②如图2，从结论出发：过D作DP∥AC交BE于P，依据三角形全等的判定，可证得结论；请你运用其中一种方法，解决上述问题．（2）小明同学经过对探究题及张老师分析方法的思考，提出以下问题：如图3，在△ABC中，AB＝AC，DB＝DE，B，C，E三点在同一直线上，A，且A，D，E三点在同一直线上，若，△ABC的面积为7，求BE的长．（3）在小明同学的问题得到解决后，张老师针对之前的解题思路提出了下面问题：如图4，在四边形ABCD中，BC∥AD，点E为CD中点，连接AE，，，则CD的长为6．【解答】（1）证明：①∵AB＝AC，DB＝DE，又∵AM⊥BE，DN⊥BE，∴BC＝2BM，BE＝2BN，∴CE＝BE﹣BC＝3BN﹣2BM＝2（BN﹣BM）＝2MN，∵AD∥BE，∴∠MAD+∠AMN＝180°，∴∠MAD＝∠AMN＝∠DNM＝90°，∴四边形AMND为矩形，∴AD＝MN，∴CE＝2AD；②∵AD∥BE，DP∥AC，∴四边形ACPD为平行四边形，∴AD＝CP，DP＝AC，∵DP∥AC，∴∠ACB＝∠DPB，∵AB＝AC，DB＝DE，∴∠ABC＝∠ACB，∠D