数学自我小测：空间中的垂直关系第课时

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自我小测1．直线a与平面α内的两条直线垂直，则直线a与平面α的位置关系是（）A．相交B．平行C．直线a在平面α内D．以上均有可能2．设α表示平面，a，b，l表示直线，给出下列四种说法：①⇒l⊥α；②⇒b⊥α；③⇒b⊥α；④⇒a⊥α．其中正确的是(）A．①②B．②③C．③④D．②3．如图所示，PA⊥平面ABC,BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为(）A．4B．3C．2D．14．设a,b是异面直线,下列命题正确的是(）A．过不在a，b上的一点P一定可以作一条直线和a，b都相交B．过不在a，b上的一点P一定可以作一个平面和a，b都垂直C．过a一定可以作一个平面与b垂直D．过a一定可以作一个平面与b平行5．在正方形SG1G2G3中,E，F分别是G1G2和G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF和EF把这个正方形折起，使点G1，G2,G3重合,重合后的点记为G，那么下列结论成立的是（）A．SD⊥平面EFGB．SG⊥平面EFGC．GF⊥平面SEFD．GD⊥平面SEF6．如图所示，正方体ABCD。A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝，则下列结论中错误的是()A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A.BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等7．对于四面体ABCD，给出下列四种说法：①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；②若AB＝CD，AC＝BD,则BC⊥AD;③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；④若AB⊥CD，BD⊥AC,则BC⊥AD．其中正确的序号是__________．8．在矩形ABCD中,AB＝3，BC＝4,PA⊥平面ABCD,且PA＝1,取对角线BD上一点E,连接PE，PE⊥DE，则PE的长为________．9．如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是__________．10．如图所示,已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径,C是⊙O上任意一点，过A作AE⊥PC于点E．求证：AE⊥平面PBC．11．如图所示,四棱锥P。ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°,已知PB＝PD＝2,PA＝．12．如图，在多面体ABCDEF中，G为底面正方形ABCD的中心，AB＝2EF＝2,EF∥AB，EF⊥FB,∠BFC＝90°，BF＝FC,H为BC的中点．(1）求证：FH∥平面EDB；（2)求证：AC⊥平面EDB．

参考答案1．解析：借助于正方体模型,得直线a与平面α平行或相交或直线a在平面α内，故选D．答案:D2．解析：①中当a，b相交时才成立；③中由a∥α，b⊥a知b∥α或b⊂α或b⊥α或b与α相交不垂直；④中当a⊂α时，能找到满足条件的b，从而不正确．答案：D3．解析：⇒⇒BC⊥平面PAC⇒BC⊥PC，所以直角三角形有△PAB,△PAC，△ABC，△PBC．故选A．答案：A4．解析：过a上一点作直线b′使b′∥b，则a与b′确定的平面与直线b平行．答案：D5．解析：折起后SG⊥GE，SG⊥GF，又GF与GE相交于G,故SG⊥平面EFG．答案：B6．答案:D7．解析：对于命题①,取BC的中点E．连接AE，DE，则BC⊥AE，BC⊥DE，所以BC⊥AD．对于命题④,过A向平面BCD作垂线AO，如图所示，连接BO并延长与CD交于点G，则CD⊥BG,连接CO并延长与BD交于点H，则CH⊥BD．所以O为△BCD的垂心，连接DO，则BC⊥DO，BC⊥AO，所以BC⊥AD．答案：①④8．解析：如图所示，连接AE．因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD．又因为BD⊥PE,PA∩PE＝P,所以BD⊥平面PAE，所以BD⊥AE．所以AE＝＝．所以在Rt△PAE中，由PA＝1，AE＝，得PE＝．答案：9．解析：在正方体中，一个面有四条棱与之垂直，六个面，共构成24个“正交线面对”；而正方体的六个对角面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对"，所以共有36个“正交线面对”．答案：3610．证明：由于AB是⊙O的直径,所以AC⊥BC．又由于PA⊥⊙O所在的平面，BC在⊙O所在的平面内，所以PA⊥BC．因为PA∩AC＝A,所以BC⊥平面PAC．又因为AE⊂平面PAC,所以BC⊥AE．又因为AE⊥PC，且PC∩CB＝C，所以AE⊥平面PBC．11．(1)证明:PC⊥BD;(2)若E为PA的中点,求三棱锥P。BCE的体积．(1）证明：连接AC，交BD于点O，连接PO．因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，BO＝DO．由PB＝PD知,PO⊥BD．又因为PO∩AC＝O,所以BD⊥平面APC，因此BD⊥PC．（2）解：因为E是PA的中点，所以V三棱锥P。BCE＝V三棱锥C.PEB＝V三棱锥C.PAB＝V三棱锥B。APC．由PB＝PD＝AB＝AD＝2知，△ABD≌△PBD．因为∠BAD＝60°，所以PO＝AO＝，AC＝，BO＝1．又PA＝，所以PO2＋AO2＝PA2,所以PO⊥AC,故S△APC＝PO·AC＝3．由（1）知，BO⊥平面APC，因此V三棱锥P。BCE＝V三棱锥B.APC＝··BO·S△APC＝．12．分析：（1)证明点E与底面中心G的连线和FH平行即可；(2）先证FH是平面ABCD的垂线，再说明AC⊥BD与AC⊥EG即可得证．证明：（1）连EG，GH，由于H为BC的中点，G为底面正方形ABCD的中心，故GHAB．又EFAB，所以EFGH．所以四边形EFHG为平行四边形．所以EG∥FH．而EG⊂平面EDB,所以FH∥平面EDB．(2)由四边形ABCD为正方形，有AB⊥BC．