数学自我小测：距离（选学）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自我小测1．已知A，B两点到平面α的距离分别为1和2，线段AB在α内的射影线段长为eq\r(3)，则直线AB与平面α的夹角为（)A。eq\f(π，6）B。eq\f（π,3) C.eq\f(π,6)或eq\f（π,3)D.eq\f（π,4）或eq\f(π,3）2．在直角坐标系中，A（－2，3），B(3，－2），沿x轴把直角坐标系折成120°的二面角，则AB的长度为（）A.eq\r（2)B．2eq\r（11）C．3eq\r(2)D．4eq\r(2)3．在棱长为a的正方体ABCD。A1B1C1D1中,M是AA1的中点，则点M到平面BDD1B1的距离是A．aB。eq\f(a，2)C.eq\f(\r（2)，2)aD。eq\f（\r(3），2)a4．如图，正三棱柱ABC。A1B1C1的各棱长都是2，E，F分别是AB，A1C1的中点,则EFA．2B.eq\r(3)C.eq\r（5)D.eq\r（7）5．在三棱锥P。ABC中，侧棱PA,PB，PC两两垂直,且PA＝PB＝PC＝2,则点P到平面ABC的距离等于__________．6．如图，在正三棱柱ABC。A1B1C1中，所有棱长均为1,则点B1到平面ABC1的距离为__________7．如图所示,在直平行六面体ABCD。A1B1C1D1中，BD⊥DC，BD＝DC＝1，点E在AA1上，且AE＝eq\f(1，4）AA1＝eq\f(1,2).DC1⊥BE，则点B到平面EDC1的距离为__________．8．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝BB1＝1，直线B1C与平面ABC所成的角为30°.试求点C1到平面AB19．如图，四棱锥P。ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F，E分别为AD，PC的中点．（1)证明:DE∥平面PFB；(2)求点E到平面PFB的距离．

参考答案1．解析：按照A，B两点在平面α的同侧和异侧分别讨论．答案:C2．解析:过A，B作x轴的垂线,垂足分别为A′，B′，则｜eq\o(AA′，\s\up6(→)）｜＝3,|eq\o（BB′,\s\up6（→）)｜＝2，｜eq\o（A′B′,\s\up6(→)）|＝5，又eq\o（AB,\s\up6(→)）＝eq\o（AA′，\s\up6(→））＋eq\o(A′B′,\s\up6(→))＋eq\o(B′B，\s\up6(→）)，∴｜eq\o(AB，\s\up6（→))|2＝32＋52＋22＋2×3×2×eq\f(1，2)＝44，∴｜eq\o(AB,\s\up6（→）)|＝2eq\r（11)，故选B。答案:B3．解析：方法一:由线面关系知AA1∥平面BDD1B1，∴只需求B点到平面BDD1B1的距离，而AC⊥平面BDD1B1，∴d＝eq\f（\r（2)，2）a.方法二：建立以D为坐标原点的空间直角坐标系，eq\o（DM，\s\up6（→）)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，0，\f（a,2））)，n＝(－1，1,0）,∴d＝eq\f(|\o（DM，\s\up6（→))·n|,｜n|）＝eq\f（a，\r（2）)＝eq\f（\r(2)，2）a.答案：C4．解析：方法一：建立如图所示直角坐标系，则A1(0，－1，2），C1（0，1，2），Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（\r(3），2），\f（1，2），0)），F（0，0,2)．则eq\o(EF,\s\up6（→））＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（\r(3）,2），\f(1,2）,2))，|eq\o（EF,\s\up6(→)）｜＝eq\r(\f(3,4)＋\f（1,4）＋4)＝eq\r(5)。方法二：设AC中点为G，连GE，GF,在Rt△FGE中,｜EF｜2＝|FG｜2＋｜GE｜2＝4＋1＝5,∴EF＝eq\r(5）。答案：C5．解析:利用VA­PBC＝VP.ABC可求得点P到平面ABC的距离为eq\f(2\r（3)，3)。答案：eq\f（2\r（3），3）6．解析：VB1.ABC1＝VA­BB1C1VA。BB1C1＝eq\f（1,3）×eq\f（\r（3），2)AB＝eq\f(\r（3),12），∴VB1­ABC1＝eq\f(1,3）·h，＝eq\f(1,2)AB·eq\f(\r(17），2）＝eq\f(\r（17),4），∴h＝eq\f（\r(21），7）。答案:eq\f(\r(21），7）7．解析：建立如图所示的坐标系，则D（0,0，0)，A（1，－1，0）,B(1,0，0),C(0，1，0),C1(0，1，2),Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（1,－1，\f(1,2)）)，∴eq\o(DC1，\s\up6(→))＝(0，1，2），eq\o（DE，\s\up6（→）)＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(1，－1,\f（1，2）)).设平面EDC1的法向量为n＝(x，y，1），∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（\o（DE,\s\up6（→））·n＝x－y＋\f（1,2）＝0，,\o(DC1,\s\up6(→)）·n＝y＋2＝0）)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝－\f（5,2），,y＝－2。))∴n可取为eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（5,2）,－2，1）)，∴点B到平面EDC1的距离为d＝eq\f(|n·\o(DB，\s\up6(→）)|,|n｜)＝eq\f（\f(5，2）,\f(3，2）\r(5））＝eq\f（\r(5),3）。答案:eq\f（\r(5）,3）8．解：建立如图所示的空间直角坐标系，在Rt△B1BC中，BB1＝1，∠B1CB＝30°,∴BC＝eq\r（3)，B1C＝2，∴A(0，0,0）,B(1,0，0），C（0，eq\r(2），0),A1(0，0，1)，B1（1,0,1),C1（0，eq\r(2),1）,设n＝(x，y，z）是由C1向平面AB1C所作垂线上的方向单位向量，则n⊥eq\o（AB1,\s\up6(→））,且n⊥eq\o(AC,\s\up6（→））。即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x×1＋y×0＋z×1＝0，,x×0＋y×\r（2)＋z×0＝0，，x2＋y2＋z2＝1,））解得n＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（\r（2）,2)，0，－\f(\r（2)，2))）（另一种情况舍去)，∴eq\o（B1C1,\s\up6(→))·n＝（－1，eq\r（2），0）·eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(\r(2）,2)，0，－\f(\r（2）,2)))＝－eq\f（\r（2)，2)，则d＝|eq\o（B1C1,\s\up6（→））·n｜＝eq\b\lc\|\rc\|（\a\vs4\al\co1(－\f（\r（2),2))）＝eq\f(\r(2）,2）为所求的距离．9．(1）证明：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．则P（0,0,2)，F（1，0，0)，B（2,2，0)，E(0,1，1）,eq\o（FP,\s\up6(→)）＝（－1，0,2），eq\o(FB，\s\up6(→）)＝(1，2,0）,eq\o（DE,\s\up6（→)）＝（0,1,1)，∴eq\o(DE，\s\up6（→））＝eq\f(1,2)eq\o（FP,\s\up6(→))＋eq\f(1,2）eq\o(FB,\s\up6(→))，∴eq\o（DE,\s\up6（→))∥平面PFB。又∵DE平面PFB，∴DE∥平面PFB.(2）解：∵DE∥平面PFB,∴E到平面PFB的距离等于D到平面PFB的距离．设平面PFB的一个法向量n＝（x，y，z），则eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(n·\o(FB，\s\up6(→)）＝0,,n·\o（FP,\s\up6(→))＝0）)eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4