一 复数与复变函数

DepartmentofMathematics湖南科技大学数学系复变函数与积分变换对象复变函数（自变量为复数的函数）主要任务研究复数域上的微积分。主要内容复变函数的积分、解析函数的级数表示法、留数理论及其应用、共形映射。复数与复平面、解析函数、前言学习方法复变函数中许多概念、理论和方法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似之处。但又有不同之处，在学习中要善于比较、区别，特别要注意复数域上特有的那些性质与结果。背景

复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的.为使负数开方有意义,需要再一次扩大数系,使实数域扩大到复数域.但在十八世纪以前,由于对复数的概念及性质了解得不清楚,用它们进行计算又得到一些矛盾,所以,在历史上长时期人们把复数看作不能接受的“虚数”.直到十八世纪,J.D’Alembert(1717-1783)与L.Euler(1707-1783)等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义,澄清了复数的概念,并且应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题.复数才被人们广泛承认接受,复变函数论才能顺利建立和发展.

复变函数的理论基础是十九世纪奠定的.Cauchy(1789-1866)和Weierstrass(1815-1897)分别应用积分和级数研究复变函数,Riemann(1826-1866)研究复变函数的映照性质.他们是这一时期的三位代表人物.经过他们的巨大努力,复变函数形成了非常系统的理论,且渗透到了数学的许多分支,同时,它在热力学、流体力学和电学等方面也得到了很多的应用.二十世纪以来,复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面,与数学中其它分支的联系也日益密切.要求课前预习（平均每次课要讲1-2小节）；课后复习，独立作业，多做习题；作业按课本题序抄写，不要自行编号；请学习委员将作业交至理科楼613办公室联系方式：

QQ：2802706201教材及主要参考书教材：

《复变函数与积分变换》，高教出版社主要参考书:《复变函数与积分变换》，复旦大学出版社《复变函数》，西安交大（第四版）

《积分变换》，东南大学（第四版）

CH1复数和复平面

§1.1复数1.复数:形如z=x+yi,

(i是虚单位,i2=-1)称为复数。Imz≠0,则称z为虚数；§1.1.1复数的概念仅当x,y都是实数时注：1

实部与虚部都是实数y=Imz=0,则z为一个实数.2

x,y即使不为实数,z=x+yi依然是复数3

复数的初设或最终结果通常应表

成z=x+yi,而其中x,y为实数Imz≠0,Rez=0,则称z为纯虚数；对于复数

以上各概念必须有x,y为实数作为前提；

两个复数一般不能比较大小。

3.共轭复数(conjugate)定义：若z=x+iy,x,y

R时，称z=x-iy

为z的共

轭复数.2.复数相等的定义§1.1.2复数的运算1.四则运算设z1=x1+iy1，z2=x2+iy2，规定z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)1)和与差---相当于代数中多项式运算2)积z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)3)商商被规定为积的逆运算，可得

复数遵从四则运算,故多项式中合并同类项,提取公因式,完全平方,立方和,立方差公式，因式分解可照样进行。

复数在四则运算这个代数结构下,构成一个复数域

(对加、减、乘、除(分母不为0)运算封闭),记为C,复数域可看成实数域的扩张。

2.共轭运算与性质

只需设z1=x1+y1i,z2=x2+y2i,z=x+yi,可验证：1复平面2复数的各种表示3复数三角形式的运算§1.2

复平面，复数的表示方法三角形式运算1、复平面2、复数的各种表示(1)代数表示

z=x+yi(2)点的表示

复平面内,复数z与点z同义,z=1与x=1意义完

全不同。(3)

向量表示法，复数的模与辐角oxyz=x+yiP(x,y)xyoxyz=x+yiP(x,y)xy

(a)辐角无穷多：Argz=θ=θ0+2kπ，k∈Z，(b)把其中满足-π<θ0≤π的θ0称为z的辐角主值，记作θ0=argz。oxy(z)

zAzB

zA+zB=zCzB-zAoxy(z)

zAzB

zA+zB=zCzB-zAoxy

(z)

z1z2

z1+z2z2-z1(4)三角表示法(5)指数表示法3复数三角形式的运算(1)复数三角形式的积定理1

两个复数乘积的模等于它们的模的积，其辐角等于它们的辐角的和。证设z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1,z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2

则z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]=r1r2ei(θ1+θ2)积的模与辐角公式：|z1z2|=|z1||z2|，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2注：辐角公式不是恒等式,而是一个选择性公式.要使上式成立,必须且只需k=m+n+1.几何意义将复数z1按逆时针方向旋转一个角度

Argz2，再将其伸缩到|z2|倍。

定理1可推广到n个复数的乘积。oxy(z)z1z2z22)复数三角形式的商定理2

两个复数的商的模等于它们的模的商，两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差。证明由复数除法的定义z=z2/z1，即z1z=z2,则Argz=Argz2-Argz1（z1≠0）∵|z||z1|=|z2|及

1+

=

2,所以公式:几何意义将分子z2按顺时针方向旋转一个角度

Argz1，再将其伸缩到1/|z1|倍。oxy(z)z2z1设z=reiθ，由复数的乘法定理和数学归纳法可证明zn=rn(cosnθ+isinnθ)=rneinθ。3)复数的乘幂定义n个相同的复数z的乘积，称为z的n次幂，记作zn，即zn=zzz（共n个）。特别

当|z|=1时，有棣模佛(DeMoivre)公式。(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ注1:复数积,商,幂的模等于复数模的积,商,幂.2:对复数的高次方或多个因子相乘。用三角形式或指数形式.问题给定复数，求所有的满足ωn=z的复数ω。4)复数的方根（开方）——乘方的逆运算

当z≠0时，有n个不同的ω值与相对应，每一个这样的ω值都称为z的n次方根，

当k=0，1，…，n-1时，可得n个不同的根，而k取其它整数时，这些根又会重复出现。几何上，的n个值是以原点为中心，为半径的圆周上n个等分点，即它们是内接于该圆周的正n边形的n个顶点。xyo4.

复数问题的处理1)代数方式2)几何方式*注：正确使用复数的各种表示法，几何意义，共轭与模的关系以解决不同问题.作业P27习题一:1.1，1.3，1.7,1.8，1.9，1.10.

1.平面点集

2.简单曲线（或Jordan曲线)3.单连通域与多连通域§1.3复平面点集1.开集邻域设G是一平面上点集内点对任意z0属于G，若存在Ｕ(z0,δ)，使该邻域内的所有点都属于G，则称z0是G的内点。开集若G内的每一点都是内点，则称G是开集。G-区域内点外点P边界、边界点已知点P及集合G，若点P的任何邻域中都包含G中的点及不属于G的点，则称P是G的边界点；G的所有边界点组成G的边界，记作

G。孤立点设z0

G，若存在z0的某个邻域除z0外不含G的点。G的孤立点必是边界点。闭集开集的余集Gc称为闭集。2.区域连通是指区域称G是一个区域，如果G是一个开集，且G是连通的。闭区域区域G与它的边界一起构成闭区域。记为有界集与无界集若存在R>0,对任意z∈G,均有|z|<R，则G是有界集；否则为无界集。邻域必是开集邻域的余集必是闭集邻域的边界集也是区域也是闭区域是闭集3.平面曲线z(t)=x(t)+iy(t)a≤t≤b;或：z=z(t)，a≤t≤b(4)光滑曲线(5)简单曲线与闭曲线定义称没有重点的连续曲线C为简单曲线或Jordan曲线;若简单曲线C满足z(a)=z(b)时，则称此曲线C是简单闭曲线或Jordan闭曲线。z(a)=z(b)简单闭曲线z(t1)=z(t2)不是简单闭曲线4单连通域与多连通域简单闭曲线的性质

任一条简单闭曲线C：z=z(t)，t∈[a，b]，把复平面唯一地分成三个互不相交的部分：一个是有界区域，称为C的内部；一个是无界区域，称为C的外部；还有一个是它们的公共边界。z(a)=z(b)Cz(a)=z(b)内部外部边界定义

复平面上的一个区域G，如果G内的任何简单闭曲线的内部总在G内，就称G为单连通域；非单连通域称为多连通域。例如

|z|<R（R>0）是单连通的；

0≤r<|z|≤R是多连通的。单连通域二连域多连通域单连通域举例：利用复数模和向量的几何意义，复数的代数表示确定区域或曲线。一、几何方式例4：判断区域或曲线形状(1)(2)(3)(4)(5)二、代数方式例5：判断区域或曲线形状①②由①式，由②式，

判断区域或曲线的形状:(1)利用复数差及模的几何意义；(2)设z=x+iy，把x,y关系找出来。例6*

求过复平面C上不同两点a,b的直线L,直线L左上方,直线L右下方的表示式。解不妨设Imb>Ima,由复数乘除法的几何意义§1.4无穷大与复球面1.无穷远点2.扩充复平面的定义包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面,或简称复平面.对于复数来说,实部,虚部,辐角等概念均无意义,它的模规定为正无穷大.3.复球面1).南极、北极的定义

球面上的点,除北极N外,与复平面内的点之间存在着一一对应关系.我们可以用球面上的点表示复数.

球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应,这样的球面称为复球面.2).复球面的定义我们规定:复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应,记作.因而球面上的北极N就是复数无穷大的几何表示.复平面上无穷远点的唯一性用复球面解释很自然.复球面的优越性:能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.作业P28习题一1.11(2)(3)(5)(6)，1.12(2)(3)(4)1.131.复变函数的定义

2.映射的概念

3.反函数或逆映射§1.3复变函数1.复变函数的概念(1)定义

(2)复变函数与实变元函数的关系例1例2oxy(z)ouv(w)EGw=f(z)在几何上，w=f(z)可以看作：

定义域

值域(3)复变函数的几何意义zw=f(z)w(4)反函数或逆映射例

6设z=w2

则称为z=w2的反函数或逆映射∴为多值函数,2支.定义设w=f(z)的定义集合为E,函数值集合为G则称z=φ(w)为w=f(z)的反函数.作业P29习题一：

1.141.函数的极限

2.运算性质

3.函数的连续性４