辽宁省五校联考2024届高三上学期期末数学考试

辽宁省五校联考2024届高三上学期期末数学考试姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知A，B均为集合U={1，2，3，4，5}的子集，A．{1} B．{1，3} C．{2，2．z=(1+2i)(2−i)，则z的共轭复数z等于（）A．3+4i B．3−4i C．4+3i D．4−3i3．若sinα+sinβ=A．cos(α+β)=−58C．cos(α−β)=−584．(x−3)(x+2)5的展开式中A．−40 B．40 C．120 D．2005．设a>0，b>0，2a+b=1，则1aA．22 B．1+22 C．2+226．函数y=2sin(ωx+φ)(x∈R，ω>0，0≤φ<2π)的部分图象如图，则（）A．ω=π8，φ=π4 C．ω=π8，φ=3π4 7．已知函数f(x)=1x−1+1xA．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8．圆锥曲线的发现与研究起源于古希腊，阿波罗尼奥斯（前262-前190）的《圆锥曲线论》全书8篇，共487个命题.16世纪天文学和物理学揭示了圆锥曲线是自然界物体运动的普遍性形式.17、18世纪随着射影几何学和解析几何学的创立发展，18世纪40年代瑞士数学家欧拉给出了现代形式下圆锥曲线的系统阐述.现有圆锥PO'顶点为P，底面圆心为O'，母线与底面直径的长度相同.点A在侧面上，点B在底面圆周上，MN为底面直径，二面角A−MN−B为30∘A．22 B．33 C．12二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．X是随机变量，（）A．若X∼B(n，p)，则E(X)=npB．若X∼H(N，nC．若X∼N(μ，σ2)D．若X∼N(2，10．已知正方体ABCD−AA．直线B1C与DB．直线B1C与平面DC．点B1到直线D1D．点B1到平面D111．已知点A，B在双曲线C：x2−y2=1A．当x02−y0B．当x02−y0C．存在点A，B，使得x0D．存在点A，B，使得0<x12．已知函数f(x)=axA．当a>0时，f(0)是f(x)的极小值B．当a=1π时，f(πC．当a<1−sin1时，aD．当a>1−sin1时，a三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量|a|=2，|b|=3，且a14．已知数列{an}是首项为25，公差为−2的等差数列，则数列{|15．在正三棱台ABC−A1B1C1中，AB=2，16．点A在圆(x−3)2+y2=2上，点B在抛物线y四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知(sinB+sinC)2（1）求A；（2）若3a−2b=c，求B18．为了解某药物在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：随机抽取100只小鼠，给服该种药物，每只小鼠给服的药物浓度相同、体积相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内药物的百分比.根据试验数据得到如下直方图：（1）求残留百分比直方图中a的值；（2）估计该药物在小鼠体内残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）在体内药物残留百分比位于区间[5.5，7.5]的小鼠中任取3只，设其中体内药物残留百分比位于区间[6.19．如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1（1）证明：B1M//（2）求二面角B−AA20．记数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n（1）求{a（2）求证：Tn21．在平面直角坐标系中，已知点F1(−2，0)，F2(2，0)，点（1）求C的方程；（2）已知点A(3，1)，设点M，N在C上，且直线MN不与x轴垂直，记k1，k2（ⅰ）对于给定的数值λ（λ∈R且λ≠13），若k1（ⅱ）记（ⅰ）中的定点为Q，求点Q的轨迹方程.22．（1）已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为{x∈R|x>0}，设y=g(x)是曲线y=f(x)在点(x1（2）已知ex≥lnx+c(x>0)，设c的最大值为c0（参考数据：1.648<e<1.

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】已知A，B均为集合U={1，2，3，4，5}的子集，

因为∁UB={3，4，5}，所以2．【答案】D【解析】【解答】因为z=(1+2i)(2−i)=2-i+4i-2i2=4+3i，则z的共轭复数z=4-3i.3．【答案】B【解析】【解答】若sinα+sinβ=22，cosα−cosβ=12，

则sinα+sin4．【答案】A【解析】【解答】(x+2)5的展开式的通项公式为Tr+1=2rC5rx5-r，

所以(x−3)(x+2)55．【答案】D【解析】【解答】设a>0，b>0，2a+b=1，

则1a+1b=2a+b(1a+1b)=2+2ab+ba+1=3+2ab6．【答案】A【解析】【解答】利用函数y=2sin(ωx+φ)(x∈R，ω>0，0≤φ<2π)的部分图象，

因为函数图象过点(0，2)，则2sinφ=2，所以sinφ=22，

又因为0≤φ<2π，所以φ=π4或φ=3π4，

又因为函数图象过点（2，2)，所以sin(ωx+φ)=1，

由函数的图象可知2为函数在原点右边的第一个最大值点，

所以2ω+φ=π7．【答案】C【解析】【解答】已知函数f(x)=1x−1+1x+1x+a，设甲：a=1；乙：f(x)是奇函数，

当a=1时，则函数f(x)=1x−1+1x+1x+1=x(x+1)+x2-1+x(x-1)x(x2-1)=x2+x+8．【答案】C【解析】【解答】不妨设圆锥底面半径长为2，依题意，二面角A−MN−B为30∘，

设A，B在同一条母线上，即∠AO'B=30°，

所以圆锥的母线与底面直径长度相等，所以∠ABO'=60°，所以OA'⊥PB，

平面AMN与圆锥PO'侧面的交线是某椭圆的一部分，则MN为椭圆的长轴，OA'为椭圆的短半轴，

则椭圆的长半轴：a=O9．【答案】A,B,C【解析】【解答】对于A，若X∼B(n，p)，则E(X)=np，D(X)=np(1−p)，所以A对；

对于B，若X∼H(N，n，M)，则E(X)=nMN，所以B对；

对于C，若X∼N(μ，σ2)，则E(X)=μ，D(X)=σ10．【答案】B,C【解析】【解答】

对于A，由正方体的结构特征及性质易得D1A∥BC1，且BC1⊥B1C，故D1A⊥B1C，

显然直线B1C与D1A所成角的正弦值不为32，所以A错；

对于C，由正方体的结构特征及性质易得B1D1=AB1=AD1=2，即∆AB11．【答案】A,B,C【解析】【解答】

由题意知，双曲线C：x2−y2=1的渐近线方程为y=±x对应的直线为±1，记为k渐1，k渐2，

设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，

当AB⊥x轴时，点A，B在双曲线的同一支上，x1=x2，y1=y2，此时x0>，y0=0，

满足当x02−y02>1时，点A，B在双曲线的同一支上；

12．【答案】A,B,D【解析】【解答】在x∈(0，π2)上有cosx>1-x22，cosx<1-x22+x424，

sinx>x-x36，sinx<x-x36+x5120，

令r(x)=cosx-1+x22-x424，0<x<π2，则r'(x)=-sinx+x-x36，其中r'(0)=0，

令t(x)=r'(x)，则t'(x)=-cosx+1-x22，其中t'(0)=0，

令u(x)=t'(x)，则u'(x)=sinx-x，其中u'(0)=0，

令i(x)=u'(x)，则i'(x)=cosx-1<0在(0，π2)上恒成立，

故i(x)=u'(x)在(0，π2)单调递减，又u'(0)=0，故u'(x)<0在(0，π2)上恒成立，

故u(x)=t'(x)在(o，π2)单调递减，又因为t'(0)=0，故t'(x）<0在(0，π2)上恒成立，故cosx>1-x22，

所以t(x)=r'(x)在(0，π2)上单调递减，又r'(0)=0，故r'(x)<0在(0，π2)上恒成立，

故r(x)=cosx-1+x22-x424在(0，π2)上单调递减，且r(0)=0，故cosx<1-x213．【答案】29【解析】【解答】已知向量|a|=2，|b|=3，且a⋅b=1，

因为|2a→+b→|14．【答案】458【解析】【解答】已知数列{an}是首项a1为25，公差d为−2的等差数列，

所以数列{an}的通项公式为：an=a1+(n-1)d=25+(n-1)×(-2)=25+2-2n=27-2n，n∈N，

所以数列{|an|}的通项公式为：an=27-2n，n∈N，15．【答案】7212【解析】【解答】分别取∆ABC和∆A1B1C1的重心O，O1，连接OO1，AO，A1O1，

因为正三棱台ABC−A1B1C1中，AB=216．【答案】2【解析】【解答】因为圆(x−3)2+y2=2的圆心C(3，0)，半径r为2，

又因为点B在抛物线y2=4x上，所以设点B(m，2m)，m≥0，

则ABmin17．【答案】（1）解：由题设及正弦边角关系可得：(b+c)2而cosA=b2+c（2）解：由题设3sinA−2sinB=sin所以32−2sin所以π6<B+π6<【解析】【分析】(1)利用已知条件结合正弦定理和余弦定理，进而得出角A的余弦值，再结合三角形中角的取值范围，进而得出角A的值.

（2）利用已知条件结合正弦定理和(1)中角A的值以及三角形内角和为180°的性质，进而得出角C与角B的关系式，再利用三角形中角的取值范围得出角B的取值范围，再结合两角差的正弦公式和辅助角公式，从而得出sin(B+18．【答案】（1）解：由题知，0.解得a=0.（2）解：由图知，x=2×0（3）解：体内药物残留百分比位于区间[5.5，6.5)内的频率为则百分比位于区间[5.5，X的所有取值为0，1，2，3，所以P(X=0)=C103P(X=2)=C101所以，X的分布列如下：X0123P2445202由期望公式得E(X)=0×24【解析】【分析】（1）利用已知条件结合频率分布直方图中的数据，再结合各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再利用频率之和等于1，进而得出实数a的值。（2）利用已知条件结合频率分布直方图求平均数的方法，进而估计该药物在小鼠体内残留百分比的平均值。

（3）利用频率分布直方图求频率的方法求出体内药物残留百分比位于区间[5.5，6.5)内和位于19．【答案】（1）证明：因为cos<AA1因为cos<AA1以A为原点建立如图所示的坐标系，所以B1(22+1，12，所以B1M=(−设面A1C1所以m·→A1C→1=0因为B1M⋅m=0，B1M（2）解：B(1，设面BAA1的法向量因为AA1=(2令y2=1，则设面AA1D因为AD=(0，1令x3=1，所以o=所以二面角B−AA1−D【解析】【分析】（1）利用已知条件结合余弦函数的值，进而得出角的值，从而建立空间直角坐标系，进而得出点的坐标和向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，进而得出平面A1C1D的法向量，再结合两向量垂直数量积为0和数量积的坐标表示，再由B1M不在面A1C1D内，从而证出直线20．【答案】（1）解：当n=1时，a1当n≥2时，an经验证：当n=1时也成立.所以{an（2）证明：由（1）得an又bn当n=1时，b1当n≥2时，bn所以当n≥2时，Tn令M=6则12两式相减得：1=3所以M=7所以Tn即Tn【解析】【分析】（1）利用已知条件结合Sn，an的关系式和分类讨论的方法，从再结合检验法得出数列{an}的通项公式.（2）由（1）得出的数列{21．【答案】（1）解：因为|PF所以P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，设方程为则2a=26，c=2，a2−b2C的方程为x2（2）解：设直线MN的方程为：y=kx+m，其中3k+m≠1点M，N满足x26+y22=1则36k2m2−4（ⅰ）证明：因为yM所以k1k2直线MN的方程为：y=kx−3λ+1所以直线过定点(3（ⅱ）由xQ=33λ+13λ−1所以点Q的轨迹方程为直线y=−33x【解析】【分析】（1）利用已知条件结合三角形中两边之和大于第三边的性质以及椭圆的定义，进而得出点P的轨迹为椭圆，再结合椭圆的定义得出a的值，再利用F1(−2，0)，F2(2，22．【答案】（1）证明：由题意可知g(x)=f令h(x)=f(x)−g(x)，则h(x)=f(x)−f显然h(x易知h'由h'(x所以x∈(0，x1)时，h'即h(x)在(0，x1)上单调递减，在故f(x)≥g(x)；（2）