新教材北师大版高中数学选择性必修第一册全册各章节知识点考点重点难点解题规律归纳总结

北师大版高中数学选择性必修第一册知识点第一章直线与圆 -2-1直线与直线的方程 -2-2圆与圆的方程 -29-第二章圆锥曲线 -46-1椭圆 -46-2双曲线 -55-3抛物线 -63-4直线与圆锥曲线的位置关系 -72-第三章空间向量与立体几何 -77-1空间直角坐标系 -77-2空间向量与向量运算 -85-3空间向量基本定理及向量的直角坐标运算 -98-4向量在立体几何中的应用 -107-5数学探究活动(一)：正方体截面探究 -127-第四章数学建模活动（三） -130-第五章计数原理 -134-1计数原理 -134-2排列 -139-3组合 -144-4二项式定理 -148-第六章概率 -157-1随机事件的条件概率 -157-2离散型随机变量及其分布列 -165-3离散型随机变量的均值与方差 -172-4二项分布与超几何分布 -180-5正态分布 -186-第七章统计案例 -190-1一元线性回归 -190-2成对数据的线性相关性 -194-3独立性检验 -199-第一章直线与圆1直线与直线的方程1.1一次函数的图象与直线的方程1.2直线的倾斜角、斜率及其关系1．直线的倾斜角定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角，称为直线l的倾斜角．规定：当直线l和x轴平行或重合时，它的倾斜角为0．范围：倾斜角α的取值范围为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，π))．2．直线的斜率(1)直线过不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)．(2)直线的斜率表示直线的倾斜程度．3．直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系(1)从函数角度看，k是α的函数，其中k＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中α≠\f(π,2)))，图象如图所示．当α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，斜率k≥0，且k随倾斜角α的增大而增大；当α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))时，斜率k＜0，且k随倾斜角α的增大而增大；当α＝eq\f(π,2)时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在．(2)如图，在直线l上任取两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．由平面向量的知识可知，向量eq\o(P1P2,\s\up8(→))是直线l的方向向量，它的坐标是(x2－x1，y2－y1)，直线的倾斜角α、斜率k、方向向量eq\o(P1P2,\s\up8(→))分别从不同角度刻画一条直线相对于平面直角坐标系中x轴的倾斜程度．它们之间的关系是k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝tanα(其中x1≠x2)．若k是直线l的斜率，则v＝(1，k)是它的一个方向向量；若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，其中x≠0，则它的斜率k＝eq\f(y,x)．任意一条直线都有倾斜角和斜率吗？若存在，唯一吗？[提示]直线都有倾斜角且唯一，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是eq\f(π,2)时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴；当倾斜角不是eq\f(π,2)时，直线的斜率存在且唯一．疑难问题类型1直线的倾斜角【例1】求图中各直线的倾斜角．(1)(2)(3)[解](1)如图(1)，可知∠OAB为直线l1的倾斜角．易知∠ABO＝30°，∴∠OAB＝60°，即直线l1的倾斜角为60°．(1)(2)(3)(2)如图(2)，可知∠xAB为直线l2的倾斜角，易知∠OBA＝45°，∴∠OAB＝45°，∴∠xAB＝135°，即直线l2的倾斜角为135°．(3)如图(3)，可知∠OAC为直线l3的倾斜角，易知∠ABO＝60°，∴∠BAO＝30°，∴∠OAC＝150°，即直线l3的倾斜角为150°．求直线的倾斜角的两点注意1直线倾斜角的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，π)).2当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0；当直线与x轴垂直时，倾斜角为eq\f(π,2).类型2直线的斜率【例2】(1)已知两条直线的倾斜角分别为60°，135°，求这两条直线的斜率；(2)已知A(3，2)，B(－4，1)，求直线AB的斜率；(3)已知直线l的一个方向向量是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，1))，求该直线的斜率．(4)求经过两点A(2，3)，B(m，4)的直线的斜率．[解](1)直线的斜率分别为k1＝tan60°＝eq\r(3)，k2＝tan135°＝－1．(2)直线AB的斜率kAB＝eq\f(1－2,－4－3)＝eq\f(1,7)．(3)直线l的斜率k＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)．(4)当m＝2时，直线AB的斜率不存在；当m≠2时，直线AB的斜率为kAB＝eq\f(4－3,m－2)＝eq\f(1,m－2)．求直线斜率的三种方法1已知直线的倾斜角αα≠90°时，可利用斜率与倾斜角的关系，即k＝tanα求得；2已知直线上两点的坐标时，可利用直线斜率的定义求.要注意，其前提条件是x1≠x2，若x1＝x2时，直线斜率不存在；3已知直线的方向向量v＝(m，n)时，可利用k＝eq\f(n,m)来求，但要注意，当m＝0时，直线的斜率不存在.类型3直线的倾斜角、斜率的应用三点共线问题【例3】如果三点A(2，1)，B(－2，m)，C(6，8)在同一条直线上，求m的值．[解]kAB＝eq\f(m－1,－2－2)＝eq\f(1－m,4)，kAC＝eq\f(8－1,6－2)＝eq\f(7,4)，∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，即eq\f(1－m,4)＝eq\f(7,4)，∴m＝－6．斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的.任意两点所确定的直线的方向不变，即同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等，这正是利用斜率相等可证点共线的原因.数形结合法求倾斜角或斜率范围【例4】直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，eq\r(3))为端点的线段有公共点，求直线l的斜率和倾斜角的范围．[解]如图所示．∵kAP＝eq\f(1－0,2－1)＝1，kBP＝eq\f(\r(3)－0,0－1)＝－eq\r(3)，∴k∈(－∞，－eq\r(3)]∪[1，＋∞)，∴45°≤α≤120°．直线与线段有交点求斜率问题，常用数形结合思想求解，先确定临界位置直线的斜率，再让直线从一个临界位置转动到另一个临界位置，并考察斜率的变化规律，最后确定是取“中间”，还是取“两边”.归纳总结1．直线的斜率与倾斜角是刻画直线位置的两个基本量，决定了这条直线相对于x轴的倾斜程度．2．倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率，即直线的倾斜角不为90°时，斜率公式才成立．3．斜率公式是以后研究直线方程的基础，需熟记并会灵活运用．1.3直线的方程第1课时直线方程的点斜式1．直线l的方程如果一条直线l上的每一点的坐标都是一个方程的解，并且以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，那么这个方程称为直线l的方程．2．直线的点斜式方程和斜截式方程名称点斜式斜截式已知条件点P(x0，y0)和斜率k斜率k和直线在y轴上的截距b图示方程y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b适用范围斜率存在3．直线l在y轴上的截距定义：直线l与y轴交点(0，b)的纵坐标b叫作直线l在y轴上的截距．(1)斜截式方程应用的前提是什么？(2)纵截距一定是距离吗？[提示](1)直线的斜率存在．(2)纵截距不一定是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，可取一切实数．疑难问题类型1直线方程的点斜式【例1】根据条件写出下列直线的方程，并画出图形．(1)经过点A(－1，4)，斜率k＝－3；(2)经过坐标原点，倾斜角为45°；(3)经过点B(3，－5)，倾斜角为90°；(4)经过点C(2，8)，D(－3，－2)．[解](1)y－4＝－3[x－(－1)]，即y＝－3x＋1．如图(1)所示．(2)k＝tan45°＝1，∴y－0＝x－0，即y＝x．如图(2)所示．(1)(2)(3)斜率k不存在，∴直线方程为x＝3．如图(3)所示．(4)k＝eq\f(8－－2,2－－3)＝2，∴y－8＝2(x－2)，即y＝2x＋4．如图(4)所示．(3)(4)求直线方程的点斜式的步骤类型2直线方程的斜截式【例2】求满足下列条件的直线l的方程：(1)过点P(0，1)，斜率为2；(2)与直线y＝－x＋1在y轴上的截距相等，且过点Q(2，2)；(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3．[解](1)y＝2x＋1．(2)由题意知，该直线过点(0，1)和Q(2，2)，故k＝eq\f(2－1,2－0)＝eq\f(1,2)，∴直线l的方程为y＝eq\f(1,2)x＋1．(3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan60°＝eq\r(3)，∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3；∴所求直线方程为y＝eq\r(3)x＋3或y＝eq\r(3)x－3．直线方程的斜截式求解策略1直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示.2直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定某直线，只需两个独立的条件.3利用直线的斜截式求方程时，如果已知斜率k，只需引入参数b；同理如果已知截距b，只需引入参数k.类型3直线过定点问题【例3】求证：不论m为何值时，直线l：y＝(m－1)x＋2m＋1恒过定点．[证明]法一：直线l的方程可化为y－3＝(m－1)(x＋2)，∴直线l过定点(－2，3)．法二：直线l的方程可化为m(x＋2)－(x＋y－1)＝0．令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2＝0，,x＋y－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝3.))∴无论m取何值，直线l总经过点(－2，3)．本例两种证法是证明直线过定点的基本方法，法一体现了点斜式的应用，法二体现了代数方法处理等式恒成立问题的基本思想.归纳总结直线方程的点斜式和斜截式的关系与使用条件第2课时直线方程的两点式直线方程的一般式1．直线方程的两点式与截距式两点式截距式条件P1(x1，y1)和P2(x2，y2)其中x1≠x2，y1≠y2在x轴上截距a，在y轴上截距b其中ab≠0图形方程eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1适用范围不表示垂直于坐标轴的直线不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线1．直线的方程一定能用两点式表示吗？[提示]当直线与坐标轴垂直时，直线的方程不能用两点式表示．2．直线方程的一般式(1)直线与二元一次方程的关系①在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示．②每个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．(2)直线方程的一般式的定义我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不全为0)叫作直线方程的一般式，简称一般式．2．在直线方程的一般式Ax＋By＋C＝0中，为什么规定A，B不同时为0?[提示]当A，B同时为0时，方程Ax＋By＋C＝0表示的不是直线．疑难问题类型1直线方程的两点式和截距式直线方程的两点式【例1】已知△ABC三个顶点坐标A(2，－1)，B(2，2)，C(4，1)，求三角形三条边所在的直线方程．[解]A，B两点横坐标相同，直线AB与x轴垂直，故其方程为x＝2．由直线方程的两点式可得，AC的方程为eq\f(y－1,－1－1)＝eq\f(x－4,2－4)，即x－y－3＝0．同理可由直线方程的两点式得，直线BC的方程为eq\f(y－2,1－2)＝eq\f(x－2,4－2)，即x＋2y－6＝0．∴三边AB，AC，BC所在的直线方程分别为x＝2，x－y－3＝0，x＋2y－6＝0．1当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程.2一般用两点式求直线方程时，由于减法的顺序性，必须注意坐标的对应关系，即x2与y2是同一点坐标，而x1与y1是另一点坐标.直线方程的截距式【例2】求过点A(5，2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程．[解]法一：当直线l在坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝eq\f(2,5)x，即2x－5y＝0；当直线l在坐标轴上的截距不为0时，可设方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,－a)＝1，即x－y＝a，又∵l过点A(5，2)，∴5－2＝a，a＝3，∴l的方程为x－y－3＝0，综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0，或x－y－3＝0．法二：由题意知直线的斜率一定存在．设直线方程的点斜式为y－2＝k(x－5)，x＝0时，y＝2－5k，y＝0时，x＝5－eq\f(2,k)．根据题意得2－5k＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(2,k)))，解方程得k＝eq\f(2,5)或1．当k＝eq\f(2,5)时，直线方程为y－2＝eq\f(2,5)(x－5)，即2x－5y＝0；当k＝1时，直线方程为y－2＝1×(x－5)，即x－y－3＝0．求解此类问题常用待定系数法，其求解步骤有两步：1根据题中条件设出直线方程，如在x轴、y轴上的截距分别为a，ba≠0，b≠0的直线方程常设为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1.2根据已知条件，寻找关于参数的方程组，解方程组，得参数的值.类型2直线方程的一般式【例3】设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0．(1)若直线l在x轴上的截距为－3，则m＝________；(2)若直线l的斜率为1，则m＝________．(1)－eq\f(5,3)(2)－2[(1)令y＝0，则x＝eq\f(2m－6,m2－2m－3)，∴eq\f(2m－6,m2－2m－3)＝－3，得m＝－eq\f(5,3)或m＝3．当m＝3时，m2－2m－3＝0，不合题意，舍去．∴m＝－eq\f(5,3)．(2)由题意知，2m2＋m－1≠0，即m≠－1且m≠eq\f(1,2)，由直线l化为斜截式方程，得y＝eq\f(m2－2m－3,2m2＋m－1)x＋eq\f(6－2m,2m2＋m－1)，则eq\f(m2－2m－3,2m2＋m－1)＝1，得m＝－2或m＝－1(舍去)．∴m＝－2．]直线方程的几种形式的转化类型3直线方程的综合应用【例4】已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0．(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围．[解](1)证明：法一：将直线方程变形为y＝ax＋eq\f(3－a,5)，当a>0时，直线一定经过第一象限；当a＝0时，y＝eq\f(3,5)，直线显然经过第一象限；当a<0时，eq\f(3－a,5)>0，因此直线经过第一象限．综上可知，不论a为何值时，直线5ax－5y－a＋3＝0一定经过第一象限．法二：将直线方程变形为y－eq\f(3,5)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,5)))，它表示经过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(3,5)))，斜率为a的直线．∵点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(3,5)))在第一象限，∴直线l必经过第一象限．(2)如图，直线OA的斜率k＝eq\f(\f(3,5)－0,\f(1,5)－0)＝3．∵直线l不经过第二象限，∴直线l的斜率k≥3，∴a≥3，即a的取值范围为{a|a≥3}．含有一个参数的直线方程，一般表示无穷多条直线，称为直线系.若这无穷多条直线过同一个点.则求该点时，将一般式方程变形为点斜式方程，便可求出该点的坐标.归纳总结1．截距式方程应用的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．(2)选用截距式直线方程时，首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直．(3)要注意截距式直线方程的逆向应用．2．直线方程的其他形式都可以化成一般式，一般式也可以化为斜截式．一般式化斜截式的步骤：(1)移项，By＝－Ax－C；(2)当B≠0时，得y＝－eq\f(A,B)x－eq\f(C,B)．3．在一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)中，若A＝0，则y＝－eq\f(C,B)，它表示一条与y轴垂直的直线；若B＝0，则x＝－eq\f(C,A)，它表示一条与x轴垂直的直线．1.4两条直线的平行与垂直1．两条直线平行设两条不重合的直线l1，l2，倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时斜率分别为k1，k2．则对应关系如下：类型斜率存在斜率不存在前提条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°对应关系l1∥l2⇔k1＝k2l1∥l2⇐两直线斜率都不存在图示1．(1)如图，设直线l1与l2的倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1与k2，若l1∥l2，则α1与α2之间有什么关系？k1与k2之间有什么关系？(2)对于两条不重合的直线l1与l2，若k1＝k2，是否一定有l1∥l2？为什么？[提示](1)若l1∥l2，α1与α2之间的关系为α1＝α2；对于k1与k2之间的关系，当α1＝α2≠90°时，k1＝k2，当α1＝α2＝90°时，k1与k2不存在．(2)一定有l1∥l2．因为k1＝k2，所以tanα1＝tanα2，所以α1＝α2，所以l1∥l2．2．两条直线垂直类型斜率存在其中一条斜率不存在前提条件|α2－α1|＝90°α1＝0°，α2＝90°对应关系l1⊥l2⇔k1·k2＝－1l1斜率为0，l2斜率不存在图示2．(1)当两条直线垂直时，它们的倾斜角有什么关系？(2)当两条直线垂直时，它们的斜率之积一定是－1吗？[提示](1)设两直线的倾斜角分别为α1，α2，若两直线垂直，则|α1－α2|＝90°．(2)不一定．若一条直线的斜率为0，则与其垂直的直线斜率不存在．疑难问题类型1两直线平行、垂直的判定【例1】(1)已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则实数a＝________．(2)“ab＝4”是直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行的()A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件[思路点拨](1)利用k1·k2＝－1解题．(2)先求出两直线平行的充要条件，再判断．(1)－1(2)C[(1)由题意知(a＋2)a＝－1，所以a2＋2a＋1＝0，则a＝－1．(2)直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行的充要条件是－eq\f(2,a)＝－eq\f(b,2)且－eq\f(1,a)≠－1，即ab＝4且a≠1，则“ab＝4”是“直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行”的必要而不充分条件．]判断两条不重合直线是否平行的步骤类型2利用两直线平行、垂直求直线方程【例2】已知点A(2，2)和直线l：3x＋4y－20＝0，求：(1)过点A和直线l平行的直线方程；(2)过点A和直线l垂直的直线方程．[思路点拨]利用两条直线的位置关系，设出直线的方程，然后由另一条件确定直线方程．[解]法一：∵直线l的方程为3x＋4y－20＝0，∴kl＝－eq\f(3,4)．(1)设过点A与直线l平行的直线为l1，∵kl＝keq\s\do6(l1)，∴keq\s\do6(l1)＝－eq\f(3,4)．∴l1的方程为y－2＝－eq\f(3,4)(x－2)，即3x＋4y－14＝0．(2)设过点A与直线l垂直的直线为l2，∵kl·keq\s\do6(l2)＝－1，∴(－eq\f(3,4))·keq\s\do6(l2)＝－1，∴keq\s\do6(l2)＝eq\f(4,3)．∴l2的方程为y－2＝eq\f(4,3)(x－2)，即4x－3y－2＝0．法二：(1)设所求直线方程为3x＋4y＋C＝0，∵点(2，2)在直线上，∴3×2＋4×2＋C＝0，∴C＝－14．∴所求直线方程为3x＋4y－14＝0．(2)设所求直线方程为4x－3y＋λ＝0，∵点(2，2)在直线上，∴4×2－3×2＋λ＝0，∴λ＝－2，即所求直线方程为4x－3y－2＝0．1．根据两直线的位置关系求出所求直线的斜率，点斜式求解，或利用待定系数法求解．2．直线方程的常用设法①过定点P(x0，y0)，可设点斜式y－y0＝k(x－x0)；②知斜率k，设斜截式y＝kx＋b；③与直线Ax＋By＋C＝0平行，设为Ax＋By＋m＝0；④与直线Ax＋By＋C＝0垂直，设为Bx－Ay＋n＝0．类型3两条直线平行与垂直的综合应用求直线方程中参数的值【例3】已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0．(1)若这两条直线垂直，求k的值；(2)若这两条直线平行，求k的值．[解](1)根据题意，得(k－3)×2(k－3)＋(4－k)×(－2)＝0，解得k＝eq\f(5±\r(5),2)．∴若这两条直线垂直，则k＝eq\f(5±\r(5),2)．(2)根据题意，得(k－3)×(－2)－2(k－3)×(4－k)＝0，解得k＝3或k＝5．经检验，均符合题意．∴若这两条直线平行，则k＝3或k＝5．1．利用斜率研究两直线的平行和垂直关系时，要分斜率存在、不存在两种情况进行讨论．2．当直线是一般式方程时，也可利用以下结论研究两直线的平行和垂直关系：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0．①l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)；②l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0．求点的坐标【例4】已知四边形ABCD的顶点B(6，－1)，C(5，2)，D(1，2)．若四边形ABCD为直角梯形，求A点坐标．[解]①若∠A＝∠D＝90°，如图(1)，由已知AB∥DC，AD⊥AB，而kCD＝0，故A(1，－1)．(1)②若∠A＝∠B＝90°，如图(2)．(2)设A(a，b)，则kBC＝－3，kAD＝eq\f(b－2,a－1)，kAB＝eq\f(b＋1,a－6)．由AD∥BC⇒kAD＝kBC，即eq\f(b－2,a－1)＝－3；①由AB⊥BC⇒kAB·kBC＝－1，即eq\f(b＋1,a－6)·(－3)＝－1．②解①②，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(12,5)，,b＝－\f(11,5)，))故Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,5)，－\f(11,5)))．综上所述，A点坐标为(1，－1)或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,5)，－\f(11,5)))．此类题目应用数形结合法求解较为方便、简单.归纳总结1．两直线平行或垂直的判定方法斜率直线斜率均不存在平行或重合一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在垂直斜率均存在相等平行或重合积为－1垂直2．与直线y＝kx＋b平行的直线可设为y＝kx＋c(c≠b)；与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线可设为Ax＋By＋D＝0(D≠C)．3．设直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2．若l1⊥l2，则k1·k2＝－1；反之，若k1·k2＝－1，则l1⊥l2；已知两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0．1.5两条直线的交点坐标1．两条直线的交点坐标几何元素及关系代数表示点AA(a，b)直线ll：Ax＋By＋C＝0点A在直线l上Aa＋Bb＋C＝0直线l1与l2的交点是A方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0,A2x＋B2y＋C2＝0))的解是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a,y＝b))2．方程组的解的组数与两直线的位置关系方程组的解交点个数直线的位置关系无解0个平行有唯一解1个相交有无数组解无数个重合方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0,A2x＋B2y＋C2＝0))有唯一一组解的充要条件是什么？[提示]A1B2－A2B1≠0．疑难问题类型1两直线的交点问题【例1】判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点坐标．(1)l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0；(2)l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0；(3)l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0．[解](1)解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,3x＋3y－10＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,3)，,y＝\f(5,3).))所以l1与l2相交，交点坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，\f(5,3)))．(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y＋4＝0，①,6x－2y－1＝0，②))①×2－②得9＝0，矛盾，方程组无解，所以两直线无公共点，又9≠0，所以l1∥l2．(3)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－5＝0，①,6x＋8y－10＝0，②))①×2得6x＋8y－10＝0，因此，①和②可以化成同一个方程，有无数组解，故①和②表示同一条直线，所以l1与l2重合．方程组解的个数与两直线的位置关系.一般地，若方程组有一解，则两直线相交；若方程组无解，则两直线平行；若方程组有无数多组解，则两直线重合.这体现了“以形助数，以数释形”的数形结合思想.类型2由交点求直线方程【例2】求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x－y－1＝0平行的直线l的方程．[思路点拨]思路一求出两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点坐标，由平行关系得到l的斜率，利用点斜式方程求解；思路二利用过两直线的交点的直线系方程求解．[解]法一：由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y－3＝0,x＋y＋2＝0))，得两直线交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，－\f(7,5)))，∵直线l和直线3x－y－1＝0平行，∴直线l的斜率k＝3，∴根据点斜式有y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,5)))＝3eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))))．即所求直线方程为15x－5y＋2＝0．法二：∵直线l过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点，∴可设直线l的方程为：2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0，即(λ＋2)x＋(λ－3)y＋2λ－3＝0．∵直线l与直线3x－y－1＝0平行，∴eq\f(λ＋2,3)＝eq\f(λ－3,－1)≠eq\f(2λ－3,－1)，解得λ＝eq\f(7,4)．从而所求直线方程为15x－5y＋2＝0．1．本题法一是基本方法，求解交点坐标和斜率是解题关键．2．经过两直线交点的直线系方程①与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C′＝0(C′≠C)；②与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C′＝0；③过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为λ1(A1x＋B1y＋C1)＋λ2(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ1，λ2为参数)．当λ1＝1，λ2＝0时，方程即为直线l1；当λ1＝0，λ2＝1时，方程即为直线l2．类型3直线过定点问题[探究问题]1．不论k取什么值，直线y＝kx＋2恒过定点，试求出此定点．[提示]由直线的方程可知当x＝0时，y＝2，此时与k的取值无关．故直线恒过点(0，2)．2．不论m取什么值，直线y－2＝m(x＋3)恒过定点．求出此定点．[提示]由直线方程可知当x＝－3时，y＝2，与m的取值无关，故直线恒过定点(－3，2)．【例3】求证：无论k取何值时，直线l：(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0必过定点，并求出该定点坐标．[思路点拨]法一：eq\x(令k＝0，k＝1)→eq\x(解方程组求交点)→eq\x(验证交点总在直线上)法二：eq\x(化直线方程为点斜式)→eq\x(令k＝1或k≠1)→eq\x(得定点)法三：eq\x(变形方程，提取参数)→eq\x(列方程组)→eq\x(解方程组求出定点)[证明]法一：令k＝1，得到直线l1：x＝1，令k＝0，得到直线l2：x＋y＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,x＋y＝0))，得l1与l2交点M(1，－1)，把M(1，－1)的坐标代入方程(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0恒成立，∴无论k取何值时，直线(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0必过定点，且定点为M(1，－1)．法二：由已知直线l的方程得(k＋1)x＝(k－1)y＋2k，整理可得y＋1＝eq\f(k＋1,k－1)(x－1)(k≠1)，因此当k≠1时，直线l必过定点M(1，－1)；当k＝1时，原直线l的方程为x＝1，也过点M(1，－1)．综上所述，不论k取任何实数值时，直线l必过定点M(1，－1)．法三：方程(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0可化为k(x－y－2)＋(x＋y)＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－2＝0,x＋y＝0))，可得点eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝－1))．显然eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝－1))，使方程(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0恒成立，∴无论k取任何实数值时，直线l必过定点M(1，－1)．1．法一是特殊到一般的转化，法二是利用点斜式方程的特点，法三是利用直线系．2．处理动直线过定点问题的常用的方法：(1)将直线方程化为点斜式；(2)从特殊入手，先求其中两条直线的交点，再验证动直线恒过交点；(3)从“恒成立”入手，将动直线方程看作对参数恒成立，即将原方程化为f(x，y)＋mg(x，y)＝0的形式，欲使此式成立与m的取值无关，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx，y＝0，,gx，y＝0.))由此方程组求得定点坐标．类型4对称问题【例4】△ABC的一个内角的平分线所在的直线方程是y＝2x，若A，B两点的坐标分别为A(－4，2)，B(3，1)，则点C的坐标为________．(2，4)[把A，B两点的坐标分别代入y＝2x知，点A，B都不在直线y＝2x上，∴直线y＝2x是∠C的平分线所在的直线．设点A(－4，2)关于直线y＝2x的对称点为A′(a，b)，则kAA′＝eq\f(b－2,a＋4)，线段AA′的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－4,2)，\f(b＋2,2)))，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b－2,a＋4)×2＝－1，,\f(b＋2,2)＝2×\f(a－4,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝－2，))即A′(4，－2)．∵直线y＝2x是∠C的平分线所在的直线，∴A′在直线BC上，∴直线BC的方程为eq\f(y＋2,1＋2)＝eq\f(x－4,3－4)，即3x＋y－10＝0．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,3x＋y－10＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4，))∴点C的坐标为(2，4)．]有关对称问题的两种主要类型1中心对称：①点Px，y关于Oa，b的对称点P′x′，y′满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2a－x,y′＝2b－y.))②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.2轴对称：①点Aa，b关于直线Ax＋By＋C＝0B≠0的对称点A′m，n，,则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n－b,m－a)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1,A·\f(a＋m,2)＋B·\f(b＋n,2)＋C＝0.))②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.归纳总结1．解含有参数的直线过定点问题，将含有一个参数的二元一次方程常整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中λ为常数)形式，可通过eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))求解定点．2．方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，亦即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0，直线A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)是过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线(不含l2)．1.6平面直角坐标系中的距离公式1．两点间的距离公式(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)．(2)两点间距离的特殊情况①原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq\r(x2＋y2)．②当P1P2∥x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|．③当P1P2∥y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|．1．如何推导平面上的两点间的距离公式？[提示]因为两点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，所以eq\o(P1P2,\s\up8(→))＝eq(x2－x1，y2－y1)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(P1P2,\s\up8(→))))＝eq\r((x2－x1)2＋(y2－y1)2)，即|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)．2．点到直线的距离公式(1)概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离．(2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))．2．在使用点到直线距离公式时，对直线方程有什么要求？[提示]要求直线的方程应化为一般式．3．两条平行直线间的距离公式(1)概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离．(2)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))(其中A、B不全为0，且C1≠C2)．3．在应用两条平行线间的距离公式时，对直线方程有什么要求？[提示]两条平行直线的方程都是一般式，且x，y对应的系数应分别相等．疑难问题类型1两点间的距离公式【例1】已知△ABC三顶点坐标分别为A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状．[解]法一：∵|AB|＝eq\r(3＋32＋－3－12)＝2eq\r(13)，|AC|＝eq\r(1＋32＋7－12)＝2eq\r(13)，|BC|＝eq\r(1－32＋7＋32)＝2eq\r(26)，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰直角三角形．法二：∵kAC＝eq\f(7－1,1－－3)＝eq\f(3,2)，kAB＝eq\f(－3－1,3－－3)＝－eq\f(2,3)，∴kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB．又|AC|＝eq\r(1＋32＋7－12)＝2eq\r(13)，|AB|＝eq\r(3＋32＋－3－12)＝2eq\r(13)，∴|AC|＝|AB|．∴△ABC是等腰直角三角形．1．判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向．2．在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理的逆定理．类型2点到直线(或平行直线间)的距离公式【例2】若O(0，0)，A(4，－1)两点到直线ax＋a2y＋6＝0的距离相等，则实数a＝________．[思路点拨]由点到直线的距离公式列出等式求a．－2或4或6[由题意，得eq\f(6,\r(a2＋a4))＝eq\f(|4a－a2＋6|,\r(a2＋a4))，即4a－a2＋6＝±6，解之得a＝0或－2或4或6．检验得a＝0不合题意，所以a＝－2或4或6．]1．用点到直线的距离公式时，直线方程要化为一般式．2．求解两平行直线的距离问题也可以在其中一条直线上任取一点，再求这一点到另一直线的距离．类型3解析法证明几何问题【例3】已知四边形ABCD为矩形，M是任一点．求证：|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2．[思路点拨]建立坐标系，设出点的坐标，代入已知化简即可．[证明]分别以AB、AD所在直线为x轴，y轴建立直角坐标系(如图)，设M(x，y)，B(a，0)，C(a，b)，则D(0，b)，又A(0，0)．则|AM|2＋|CM|2＝x2＋y2＋(x－a)2＋(y－b)2，|BM|2＋|DM|2＝(x－a)2＋y2＋x2＋(y－b)2．∴|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2．1．解析法证明几何问题的步骤：(1)建立适当的坐标系，用坐标表示几何条件；(2)进行有关的代数运算；(3)把代数运算结果“翻译”成几何关系．2．坐标法证明几何问题，如果题目中没有坐标系，则需要先建立坐标系．建立坐标系的原则是：尽量利用图形中的对称关系．归纳总结1．两点间距离公式与两点的先后顺序无关，即公式可以写成|P1P2|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)．2．应用点到直线的距离公式时，若给出的方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离．3．利用解析(坐标)法来解决几何问题，其解题思路几何问题eq\o(→,\s\up17(坐标系))代数问题↑↓几何结论→代数结论2圆与圆的方程2.1圆的标准方程1．圆的标准方程圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，b))，半径是r的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．特别地，当圆心在坐标原点时，圆的方程为x2＋y2＝r2．确定圆的几何要素是什么？[提示]确定圆的几何要素有两个，即圆心的位置与半径的大小．2．圆x2＋y2＝r2eq(r>0)的简单几何性质(1)范围eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))≤r，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(y))≤r．(2)对称性圆x2＋y2＝r2既是轴对称图形，过原点的任意一条直线都是它的对称轴，又是中心对称图形，其对称中心是坐标原点．3．点与圆的位置关系圆的标准方程为C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2eq(r>0)，设所给点为点Peq(x0，y0)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PC))＝d，则判断方法几何法代数法d<r⇔点P在圆C内(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔点P在圆C内d＝r⇔点P在圆C上(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点P在圆C上d>r⇔点P在圆C外(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔点P在圆C外疑难问题类型1求圆的标准方程【例1】求过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程．[解]法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由已知条件知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a2＋－1－b2＝r2，,－1－a2＋1－b2＝r2，,a＋b－2＝0，))解此方程组，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1，,r2＝4.))故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4．法二：由已知可得线段AB的中点坐标为(0，0)，kAB＝eq\f(1－－1,－1－1)＝－1，所以弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1，所以AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)，即y＝x．则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,x＋y－2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))即圆心为(1，1)，圆的半径为eq\r(1－12＋[1－－1]2)＝2，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4．确定圆的标准方程的方法：一是待定系数法，如法一，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如法二.一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷.类型2点与圆的位置关系【例2】判断点P(2，0)与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝3的位置关系．[思路点拨]解答本题可以利用点P(2，0)到圆心的距离与半径比较大小，也可直接代入(x－2)2＋(y＋1)2与3比较大小．[解]法一：∵P(2，0)与圆心(2，－1)的距离d＝eq\r(2－22＋[0－－1]2)＝1，圆的半径r＝eq\r(3)，∴d＜r，∴点P在圆的内部．法二：∵点P(2，0)满足(2－2)2＋(0＋1)2＝1＜3，∴点P在圆的内部．判断点Px0，y0与圆x－a2＋y－b2＝r2的位置关系有几何法与代数法两种.对于几何法，主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小；对于代数法，主要是把点的坐标直接代入圆的标准方程，具体判断方法如下：①当x0－a2＋y0－b2＜r2时，点在圆内；②当x0－a2＋y0－b2＝r2时，点在圆上；③当x0－a2＋y0－b2＞r2时，点在圆外.类型3与圆有关的最值问题[探究问题]1．怎样求圆外一点到圆的最大距离和最小距离？[提示]先求出该点到圆心的距离，再加上或减去圆的半径，即可得距离的最大值和最小值．2．若点P(x，y)是圆C：(x－2)2＋(y＋2)2＝1上的任一点，如何求点P到直线x－y＝0的距离的最大值和最小值？[提示]可先求出圆心(2，－2)到直线x－y＝0的距离，再将该距离加上或减去圆的半径1，即可得距离的最大值和最小值．【例3】已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝eq\f(1,4)，试求x2＋y2的最值．[思路点拨]首先观察x、y满足的条件，其次观察所求式子的几何意义，求出其最值．[解]由题意知x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值．因为原点O(0，0)到圆心C(－1，0)的距离d＝1，所以圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，最小距离为1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)．因此x2＋y2的最大值和最小值分别为eq\f(9,4)和eq\f(1,4)．1．本例条件不变，试求eq\f(y,x)的取值范围．[解]设k＝eq\f(y,x)，变形为k＝eq\f(y－0,x－0)，此式表示圆上一点(x，y)与点(0，0)连线的斜率，由k＝eq\f(y,x)，可得y＝kx，此直线与圆有公共点，圆心到直线的距离d≤r，即eq\f(|－k|,\r(k2＋1))≤eq\f(1,2)，解得－eq\f(\r(3),3)≤k≤eq\f(\r(3),3)．即eq\f(y,x)的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))．2．本例条件不变，试求x＋y的最值．[解]令y＋x＝b并将其变形为y＝－x＋b，问题转化为斜率为－1的直线在经过圆上的点时在y轴上的截距的最值．当直线和圆相切时，在y轴上的截距取得最大值和最小值，此时有eq\f(|－1－b|,\r(2))＝eq\f(1,2)，解得b＝±eq\f(\r(2),2)－1，即最大值为eq\f(\r(2),2)－1，最小值为－eq\f(\r(2),2)－1．3．本例条件不变，试求eq\f(\o(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋2y－6))),\r(5))的最值．[解]eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋2y－6)),\r(5))表示圆(x＋1)2＋y2＝eq\f(1,4)上的点到直线x＋2y－6＝0的距离，又圆心C(－1，0)到直线x＋2y－6＝0的距离d＝eq\f(\o(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－1＋2×0－6))),\r(5))＝eq\f(7\r(5),5)，所以，其最大值为eq\f(7\r(5),5)＋eq\f(1,2)，最小值为eq\f(7\r(5),5)－eq\f(1,2)．处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解.与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：1形如μ＝eq\f(y－b,x－a)形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；2形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；3形如x－a2＋y－b2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.4形如eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C)),\r(A2＋B2))形式的最值问题，可转化为动点到定直线的距离的最值问题.归纳总结1．确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r．另外依据题意运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率．2．讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、快捷．3．与圆有关的最值问题，常借助于所求式的几何意义，利用数形结合的思想解题．2.2圆的一般方程圆的一般方程(1)圆的一般方程的概念当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．(2)圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心和半径圆C的圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径长为eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)．(3)圆的方程在代数结构上的特征对于二元二次方程Ax2＋Cxy＋By2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时，①x2，y2的系数相同，且不等于0，即A＝B≠0；②不含xy这样的项，即C＝0．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，若xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F<0，则点M(x0，y0)与圆C的位置关系如何？为什么？[提示]点M在圆C内，理由如下：由xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F<0得，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(D,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y0＋\f(E,2)))eq\s\up12(2)<eq\f(D2＋E2－4F,4)，所以eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(D,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y0＋\f(E,2)))\s\up12(2))<eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)，即点M(x0，y0)到圆心C的距离小于圆的半径，所以，点M在圆C内．疑难问题类型1圆的一般方程的概念【例1】(1)若x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是()A．R B．(－∞，1)C．(－∞，1] D．[1，＋∞)(2)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．(1)B(2)(－2，－4)5[(1)由方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0可得，(x－2)2＋(y＋1)2＝5－5k，此方程表示圆，则5－5k>0，解得k<1．故实数k的取值范围是(－∞，1)．故选B．(2)由题可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2．当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0表示圆，故圆心为(－2，－4)，半径为5．当a＝2时，方程不表示圆．]当且仅当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，其圆心为点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径为eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F).类型2求圆的一般方程【例2】已知△ABC的三个顶点为A(1，4)，B(－2，3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．[解]法一：设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∵A，B，C在圆上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋16＋D＋4E＋F＝0，,4＋9－2D＋3E＋F＝0，,16＋25＋4D－5E＋F＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝2，,F＝－23，))∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝25．∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5．法二：∵kAB＝eq\f(4－3,1＋2)＝eq\f(1,3)，kAC＝eq\f(4＋5,1－4)＝－3，∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC．∴△ABC是以角A为直角的直角三角形，∴外心是线段BC的中点，坐标为(1，－1)，r＝eq\f(1,2)|BC|＝5．∴外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25．∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5．待定系数法求圆的方程的解题策1如果已知条件与圆心坐标、半径有关，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.2如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.类型3与圆有关的轨迹方程问题[探究问题]已知动点M到点A(4，0)的距离等于点M到点B(1，0)的距离的2倍．1．求点M的轨迹方程？[提示]设M(x，y)，由题意有eq\r((x－4)2＋y2)＝2eq\r((x－1)2＋y2)，整理得点M的轨迹方程为x2＋y2＝14．2．点M的轨迹是什么？[提示]点M的轨迹是以坐标原点为圆心，2为半径的圆．3．求△MAB的面积的最大值．[提示]因为△MAB的面积为eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))×eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(yM))＝eq\f(1,2)×3eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(yM))≤eq\f(3,2)×2＝3，所以△MAB的面积的最大值为3．【例3】点A(2，0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程．[解](1)设线段AP的中点为M(x，y)，由中点公式得点P坐标为P(2x－2，2y)．∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1．(2)设线段PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|．设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0．求轨迹方程的一般步骤：1建立适当坐标系，设出动点M的坐标x，y；2列出点M满足条件的集合；3用坐标表示上述条件，列出方程；4将上述方程化简；5证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点.归纳总结1．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，来源于圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2．在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件．2．圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出方程，以便简化解题过程．3．能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤．2.3直线与圆的位置关系直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离判断方法几何法：设圆心到直线的距离d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))d＜rd＝rd＞r代数法：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2))消元得到一元二次方程的判别式ΔΔ＞0Δ＝0Δ＜0用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点？[提示]用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面、不同的思路来判断的．“几何法”侧重于“形”，很好地结合了图形的几何性质；“代数法”侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”．疑难问题类型1直线与圆位置关系的判断【例1】已知直线l的方程mx－y－m－1＝0，圆C的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0．当m为何值时，直线l与圆C：有两个公共点；只有一个公共点；没有公共点．[解]法一：将直线代入圆的方程化简整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0．∵Δ＝4m(3m＋4)，∴当Δ>0时，即m>0或m<－eq\f(4,3)时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当Δ＝0时，即m＝0或m＝－eq\f(4,3)时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当Δ<0时，即－eq\f(4,3)<m<0，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．法二：圆C的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，则圆心为C(2，1)，半径r＝2．圆心C(2，1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝eq\f(|2m－1－m－1|,\r(1＋m2))＝eq\f(|m－2|,\r(1＋m2))．当d<2时，即m>0或m<－eq\f(4,3)时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当d＝2时，即m＝0或m＝－eq\f(4,3)时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当d>2时，即－eq\f(4,3)<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．判断直线与圆的位置关系常见的方法：1几何法：利用圆心到直线的距离d与圆的半径r的关系判断.2代数法：联立方程之后利用判别式Δ与0的大小关系判断.上述方法中，最常用的是几何法.类型2直线与圆相切问题【例2】(1)过点P(2，3)且与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线的方程是________．(2)由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为()A．1B．2eq\r(2)C．eq\r(7)D．3(1)x＝2或y＝3(2)C[(1)易知点P(2，3)在圆外，当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝2，符合要求；当直线的斜率存在时，可设直线的方程为y－3＝k(x－2)，根据圆心到直线的距离等于半径，得d＝eq\f(|k－1|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝0，所以直线的方程为x＝2或y＝3．(2)由题意得，圆心(3，0)到直线y＝x＋1的距离d＝eq\f(|3－0＋1|,\r(2))＝2eq\r(2)，圆的半径为1，故切线长的最小值为eq\r(d2－r2)＝eq\r(8－1)＝eq\r(7)．]过圆外一点作圆的切线一定有两条.其求法有两种：1几何法：设切线方程为y－y0＝kx－x0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而求出切线方程.2代数法：设切线方程为y－y0＝kx－x0，代入圆的方程，得一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0求得k，切线方程即可求出.提醒：设直线的方程时，要检验直线x＝x0是否是圆的切线.类型3弦长问题[探究问题]已知直线l：y＝kx＋b与圆O：x2＋y2＝r2相交于A，B两点，思考下列问题：1．若弦AB的长记为l，弦心距为d，试写出l，d，r之间的关系式．[提示]l＝2eq\r(r2－d2)．2．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．试求x1＋x2与x1x2并求弦AB的长．[提示]由y＝kx＋b与x2＋y2＝r2消去y得，eq(1＋k2)x2＋2kbx＋b2－r2＝0，根据一元二次方程根与系数的关系得，x1＋x2＝－eq\f(2kb,1＋k2)，x1x2＝eq\f(b2－r2,1＋k2)，又|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(x1－x22＋kx1－kx22)＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)eq\r(x1＋x22－4x1x2)．所以，|AB|＝eq\r(1＋k2)eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2kb,1＋k2)))\s\up12(2)－\f(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b2－r2)),1＋k2))．【例3】求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长．[思路点拨]本题可以利用弦心距，半弦长和半径构成的直角三角形求解；也可以联立解方程组，求出交点坐标，利用两点间的距离公式求解．[解]法一：圆C：x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5，其圆心坐标为(0，1)，半径r＝eq\r(5)．点(0，1)到直线l的距离为d＝eq\f(|3×0＋1－6|,\r(32＋12))＝eq\f(\r(10),2)，弦长l＝2eq\r(r2－d2)＝eq\r(10)，所以截得的弦长为eq\r(10)．法二：设直线l与圆C交于A、B两点．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y－6＝0，,x2＋y2－2y－4＝0，))得交点A(1，3)，B(2，0)，所以弦AB的长为|AB|＝eq\r(2－12＋0－32)＝eq\r(10)．1．若本例改为“过点(2，0)的直线被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长为eq\r(10)，求该直线方程”，又如何求解．[解]由例题知，圆心C(0，1)，半径r＝eq\r(5)，又弦长为eq\r(10)．所以圆心到直线的距离d＝eq\r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),2)))\s\up12(2))＝eq\r(5－\f(5,2))＝eq\f(\r(10),2)．又直线过点(2，0)，知直线斜率一定存在．可设直线斜率为k，则直线方程为y＝k(x－2)，所以d＝eq\f(|－1－2k|,\r(k2＋1))＝eq\f(\r(10),2)，解得k＝－3或k＝eq\f(1,3)，所以直线方程为y＝－3(x－2)或y＝eq\f(1,3)(x－2)，即3x＋y－6＝0或x－3y－2＝0．2．本例若改为“求过点M(1，2)且被圆C：x2＋y2－2y－4＝0所截弦长最短时，直线的方程”，又如何求解？[解]由例题知圆心C(0，1)，圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝5．因为12＋(2－1)2<5，故点M(1，2)在圆内．则当CM与直线垂直时弦长最短，又kCM＝1，所以所求直线的斜率为－1，又过点M(1，2)，所以直线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0．3．本例若改为“已知直线l：x－eq\r(3)y－a＝0与圆C：(x－3)2＋(y＋eq\r(3))2＝4交于点M，N，点P在圆C上，且∠MPN＝eq\f(π,3)，求a的值”，又如何求解？[解]因为圆的半径是r＝2，圆心坐标是C(3，－eq\r(3))，∠MPN＝eq\f(π,3)，且P在圆C上，所以∠MCN＝eq\f(2π,3)，则|MN|＝2eq\r(3)．又点C到直线l的距离d＝eq\f(|3＋3－a|,\r(1＋3))＝eq\f(|a－6|,2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MN)),2)))eq\s\up12(2)＋d2＝r2，所以(eq\r(3))2＋eq\f(a－62,4)＝4，解得a＝4或8．求弦长的两种方法1由于半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形，所以利用勾股定理d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))\s\up12(2)＝r2求解，这是常用解法.2联立直线与圆的方程，消元得到关于x或y的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点横坐标或纵坐标之间的关系，代入两点间距离公式求解.此解法很烦琐，一般不用.归纳总结1．判断直线与圆位置关系的途径主要有两个：一是圆心到直线的距离与圆的半径进行大小比较；二是直线与圆的方程组成的方程组解的个数．两者相比较，前者较形象、直观，便于运算．2．与圆有关的弦长、切线问题常利用几何法求解，但注意验证所求直线的斜率不存在的情形，避免漏解．2.4圆与圆的位置关系圆与圆位置关系的判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1、r2的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝r1－r20＜d＜|r1－r2|(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(圆C1方程,圆C2方程))eq\o(→,\s\up17(消元))一元二次方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＞0⇒相交，,Δ＝0⇒内切或外切，,Δ＜0⇒外离或内含.))将两个相交圆的方程x2＋y2＋Dix＋Eiy＋Fi＝0(i＝1，2)相减，可得一直线方程，这条直线方程具有什么样的特殊性？[提示]两圆相减得一直线方程，它经过两圆的公共点．疑难问题类型1圆与圆的位置关系的判断【例1】当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、外离？[思路点拨]利用两圆的半径分别为r1、r2，与两圆的圆心距为d之间的关系求解．[解]将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k．圆C1的圆心为C1(－2，3)，半径长r1＝1；圆C2的圆心为C2(1，7)，半径长r2＝eq\r(50－k)(k＜50)，从而|C1C2|＝eq\r(－2－12＋3－72)＝5．当1＋eq\r(50－k)＝5，