辽宁省2022-2023学年高三上学期数学期末联考试卷

辽宁省2022-2023学年高三上学期数学期末联考试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．已知复数z=(1+i)(2−i)（i是虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合A={y|y=cosA．[−1，+∞) B．(0，1)3．已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，侧面均为腰长为4的等腰梯形，则该四棱台的表面积为（）A．10+615 B．34 C．20+12154．若3sinα+2cosA．3 B．−3 C．34 D．5．已知抛物线C：y2A．6 B．5 C．4 D．36．已知小郭、小张和小陆三名同学同时独立地解答一道概率试题，每人均有23A．1320 B．920 C．157．在等比数列{an}中0<a1A．13 B．14 C．15 D．168．已知函数f(x)=ex，0≤x<12x−2，x≥1，若函数g(x)=f(x)−aA．[e2，e) B．[32二、多选题9．已知ln(−a)>A．1a<1b B．ab+b210．已知函数f(x)=1A．f(x)的图象向右平移5π6个单位长度后得到函数y=−B．f(x)的图象与g(x)=sinC．f(x)的单调递减区间为[2kπ+D．f(x)在[0，a]11．已知点M在直线l：y−4=k(x−3)上，点N在圆A．点N到l的最大距离为8B．若l被圆O所截得的弦长最大，则k=C．若l为圆O的切线，则k的取值范围为{0D．若点M也在圆O上，则O到l的距离的最大值为312．将1，2，3，4，5，6，7这七个数随机地排成一个数列，记第i项为aiA．若a4B．若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列共有288个C．若该数列恰好先减后增，则这样的数列共有50个D．若a1三、填空题13．已知向量a=(k−3，3)，b=(k+214．若xlog23=215．已知点F1，F2分别是椭圆x2a216．如图，在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M是A1B1的中点，点P四、解答题17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a−1（1）求角B的大小；（2）如图，若D是△ABC外接圆的劣弧AC上一点，且a=6，18．在等比数列{an（1）求{a（2）设bn=(−1)n−1lo19．某地区2015年至2021年居民家庭人均存款y（单位：万元）数据如下表：年份2015201620172018201920202021年份代号x1234567人均存款y1.41.82.12.93.33.74.4变量x，y具有线性相关关系．参考公式：回归直线方程y=b=（1）求y关于x的线性回归方程，并预测2022年该地区居民家庭人均存款；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差为0，则称该数据为“完美数据”现从这些数据中随机抽取2个，设X为抽到的“完美数据”的个数，求X的分布列和数学期望．20．如图，在三棱锥P−ABC中，AC⊥平面PAB，AC=2，AB=1，BP=3，PA=2（1）求证：PB⊥BC；（2）求二面角B−PC−A的余弦值.21．如图，已知双曲线C：x2a2−y（1）求C的方程；（2）若点M满足MA⊥PA，MB⊥PB，记△MAB，△PAB的面积分别为22．已知函数f(x)=e（1）若f(x)≥0在x∈(−∞，（2）证明：当x∈(0，1)时，

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：z=(1+i)(2−i)=2−i+2i−i所以z=3−i，则z在复平面内对应的点为(3故答案为：D

【分析】根据复数的运算你法则，求得z=3+i，得到z=3−i2．【答案】B【解析】【解答】集合A={y|y=cos故答案为：B.

【分析】先求得集合A={y|3．【答案】C【解析】【解答】设在正四棱台ABCD−A1B则AB=2，A1B1分别过点A、B在侧面AA1B1B内作AE⊥A1因为AA1=BB1所以，Rt△AEA1≌Rt△BF因为AB//EF，AE⊥EF，BF⊥EF，故四边形ABFE为矩形，故EF=AB=2，所以，A1E=B因此，该四棱台的表面积为4×1故答案为：C.

【分析】分别过点A、B在侧面AA1B1B内作AE⊥A1B1，BF⊥A1B14．【答案】B【解析】【解答】解：因为3sinα+2cosα2所以tan(α+故答案为：B

【分析】根据题意，结合三角函数的基本关系式，化简求得tanα=25．【答案】C【解析】【解答】由题意得：F(3，0)，准线方程为x=−3，设准线与x轴交于点K，故|KF|=6，因为AF的倾斜角为150°，所以∠AFK=30°，故|PK|=|KF|tan30°=23故12=12xP，解得：xP故答案为：C

【分析】设准线与x轴交于点K，得到|KF|=6，由为AF的倾斜角为150°，求得yP=23，得到12=126．【答案】C【解析】【解答】记“三人中至少有两人解答正确”为事件A，“小陆同学解答不正确”为事件B，则P(A)=C3，则P(B|A)=P(AB)故答案为：C

【分析】记“三人中至少有两人解答正确”为事件A，“小陆同学解答不正确”为事件B，根据独立重复试验的概率公式，分给求得P(A)和P(AB)，结合条件概率的计算公式，即可求解.7．【答案】C【解析】【解答】解：因为0<a1<a8∴n>8时，an−1an又a82=a1a15=a则(a又当n>8时，an所以能使不等式(a1−1a故答案为：C．

【分析】根据题意求得q>1，得到n>8时，an−1an>0，n<8时，8．【答案】D【解析】【解答】因为函数g(x)=f(x)−a在区间[0，+∞)上有两个零点，即f(x)=a在区间则a的取值范围是1≤a<e，又两个零点为x1，x2(x1<x则令h(h'(a)=a−lna，h所以h'(a)=a−所以h'(a)=a−lna>0又h(1)=3故答案为：D

【分析】根据题意转化为f(x)=a在[0，+∞)上有两个交点，作出两个函数的图象，求得x1=lna，x2=2+a2，f(x1)=9．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：因为ln(−a)>lnb，所以−a>b>0所以1a则a+b<0，所以ab+b因为−a>b>0，所以|a|>|b|>0，则a2由−a>b>0，则a<−b<0，所以2a故答案为：ABD

【分析】由ln(−a)>lnb，利用对数函数的单调性，得到1a<0<1b10．【答案】A,B,C【解析】【解答】f(x)=1所以f(x)=sin对于A，f(x)的图象向右平移5π6个单位长度后得到函数y=即y=sin对于B，f(−x)=sin对于C，由π解得π6所以函数的单调递减区间为[2kπ+π因为x∈[0，a]因为f(x)在[0，a]上有3个零点，所以解得8π3故答案为：ABC.

【分析】根据三角恒等变换的公式，化简得到f(x)=sin(x+π3)，利用三角函数的图象变换和诱导公式，可判定A符合题意；化简f(−x)=g(x11．【答案】A,B,D【解析】【解答】对于A选项，由题意可知，直线l过定点P(3，圆O的圆心为原点O，半径为3，设圆心O到直线l的距离为d.当OP⊥l时，d=|OP|=3当OP与直线l不垂直时，d<|OP|=5.综上所述，d≤|OP|=5，所以，点N到l的最大距离为5+3=8，A对；对于B选项，若l被圆O所截得的弦长最大，则直线l过圆心O，可得−3k=−4，所以k=4对于C选项，若l为圆O的切线，则|4−3k|k2+1对于D选项，若M也在圆O上，则直线l与圆O相切或相交，当直线l与圆O相切时，O到l的距离取最大值3，D对.故答案为：ABD.

【分析】根据题意得到直线l过定点P(3，4)，求得当OP⊥l时，d=|OP|=5，当OP与直线l不垂直时，d<|OP|=5，结合圆的性质，可判定A正确；由直线l过圆心O，求得k=43，可判定B正确；根据圆的切线的性质，得到|4−3k|k12．【答案】A,D【解析】【解答】解：对于A：由于1+2+3+4+5+6=21为奇数，根据对称性可知这样的数列有C6对于B：若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇”，则有A4对于C：从1，2，3，4，5，6中选出1个数排在1的右侧，其余排在1的左侧，得到先减后增的数列有C6从1，2，3，4，5，6中选出2个数排在1的右侧，其余排在1的左侧，得到先减后增的数列有C6从1，2，3，4，5，6中选出3个数排在1的右侧，其余排在1的左侧，得到先减后增的数列有C6从1，2，3，4，5，6中选出4个数排在1的右侧，其余排在1的左侧，得到先减后增的数列有C6从1，2，3，4，5，6中选出5个数排在1的右侧，其余排在1的左侧，得到先减后增的数列有C6故满足条件的总个数为：C6对于D：若a5=1则这样的数列有若a5=2则这样的数列有若a5=3则这样的数列有所以满足条件的这样的数列共有45+20+6=71个，D符合题意；故答案为：AD

【分析】根据1+2+3+4+5+6=21为奇数，结合对称性，可判定A符合题意；根据题意得到数列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇”，可判定B不符合题意；根据从1，2，3，4，5，6中分别选出1个、2个、3个、4个和5个，求得相应数列的个数，结合分类计数原理，可判定C不符合题意；分别令a5=1、a513．【答案】26【解析】【解答】解：因为a=(k−3，3)，b所以2(k−3)=3(k+2)，解得k=−12，所以a=(−15，3)则a−b=(−5故答案为：26

【分析】根据a//b，得到方程2(k−3)=3(k+2)，求得k的值，进而得到14．【答案】1【解析】【解答】因为xlog23=2即(故答案为：1

【分析】根据对数的运算公式，得到log23x=215．【答案】5【解析】【解答】如下图所示：设|AF1|=4x，x>0，则|AB|=3x由椭圆的定义可得|AF1|+|AB|+|B所以，|AF1|=4x=由勾股定理可得|AF1|2+因此，该椭圆的离心率为e=c故答案为：5

【分析】设|AF1|=4x，x>0，则|AB|=3x，根据AF1⊥AB，得到|BF1|=5x16．【答案】[2【解析】【解答】解：如图，取DC的中点N，C1C的中点R，B1C1的中点H，连接NM、NR根据正方体的性质可得MN//B1C//HR，MN⊄平面AB1所以MN//平面AB同理可证MH//平面ABMN∩MH=M，MN，MH⊂平面MNRH，所以平面MNRH//平面又平面MNRH∩平面CDD1C1=NR，且MP//平面A点P是侧面CDD1C1上的动点，所以又AB=4，所以MN=42+42所以MN2=M所以线段MP长度的取值范围是[26故答案为：[2

【分析】如图，取DC的中点N，C1C的中点R，B1C1的中点H，连接NM、NR证得MN//平面AB1C和MH//平面AB1C，得到平面MNRH//平面AB1C17．【答案】（1）解：由a−12c=b即sin(B+C)−所以cosBsinC=12所以cosB=12，B∈（2）解：在△ABC中，由余弦定理得AC所以AC=213由圆的内接四边形的性质可知D=π−B=2π在△ACD中，由余弦定理得AC所以52=AD2+36−2AD×6×解得AD=2或AD=−8（舍）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换的公式，得到cosBsinC=12sinC，进而求得cosB=118．【答案】（1）解：由题意可得：a1∵a2+a3=12a4∴{an}（2）解：由（1）可得：bn若n为奇数，可得bn当n为奇数时，则Sn当n为偶数时，则Sn综上所述：Sn【解析】【分析】（1）根据题意，列出方程组，求得a1，d的值，进而求得数列{an}的通项公式；

（2）由（1）得到b19．【答案】（1）解：x=1+2+3+4+5+6+77b=a=2所以线性回归方程为y=0x=8时，y=0（2）解：由（1）知“完美数据”有两个(2，1因此X可能值是0，P(X=0)=CX的分布列为：X012P10101．【解析】【分析】（1）根据题意求得x，y的值，结合公式求得b^和a^的值，得出回归直线方程y=0.5x+0.8，令x=8时，即可求得2022年该地区居民家庭人均存款预测；

（2）由（1）得到“完美数据”有两个(20．【答案】（1）证明：∵AC⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，∴AC⊥PB，又AB=1，PB=3，PA=2，所以A∴PB⊥AB，∵AB∩AC=A，AB，AC⊂平面ABC，∴PB⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，∴PB⊥BC（2）解：以点B为坐标原点，BA，BP所在直线分别为y，z轴，以过点B平行于AC的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，1，0），B（0，0，0），C（2，1，0），P（0，0，3），则BC=(2，1，0)，BP设平面PBC的法向量n=(则n⋅BC=2x1+y所以平面PBC的一个法向量n=(1设平面PAC的法向量m=(同理可得平面PAC的一个法向量m=(0则cos⟨