黑龙江省牡丹江市普通高中第二共同体2023-2024学年高三上学期1月期末联考数学试题

黑龙江省牡丹江市普通高中第二共同体2023-2024学年高三上学期1月期末联考数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合A={x∣x−2x+1<0}，x∈AA．a<0 B．a≥2 C．a≤−1 D．a≥−12．已知z=1+iA．z的虚部为35i C．z⋅z=253．点(0，3)到双曲线A．125 B．85 C．654．7个人站成两排，前排3人，后排4人，其中甲乙两人必须挨着，甲丙必须分开站，则一共有（）种站排方式．A．672 B．864 C．936 D．10565．已知圆锥的底面半径为4，其侧面展开图为一个四分之一圆，则该圆锥的母线长为（）A．12 B．14 C．16 D．186．4sin40°cos40°cos20°A．1 B．2 C．3 D．27．已知点A(−1，0)，B(−4，0)，A．[1，16] B．[6，14] C．8．已知函数f(x)A．a⋅b>1 B．ea+lnb<2 C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知向量a=(1，x)，bA．0 B．－1 C．1 D．－210．如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AAA．直线CD1与直线BD所成角为45° B．MN⊥C．MN⊥NC D．线段DN长度的最大值为3311．下列不等式正确的是（）A．已知a，b为正实数，a+b=3，则1B．y=xC．已知正数x，y满足x+y=2，则D．若对任意x>0，x3+512．已知抛物线y2=4px(p>0)，倾斜角为锐角α的直线过其焦点F并与抛物线交于两点A．抛物线上的点到点(4p，0)的距离最小值为B．三角形AOB（为原点）面积最小值为16C．抛物线在点(p，2p)处的切线方程为D．若AF=2BF，则sin2α=三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．某学校考试数学成绩X服从正态分布N(95，σ2)，且P(X<70)=0.14．在正项等比数列{an}中，已知a115．已知函数y=2sin(wx+π4)(w>0)在(0，π16．函数f(x)=x3−3ax+2(x>0)2四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，sin2C=3（1）求∠C；（2）若b=6，且△ABC的周长为63+6，求18．已知数列{an}是递增的等差数列，数列{bn}是等比数列，且a1=3，（1）求数列{an}（2）若cn=bn+log19．近期，一些地方中小学生“课间10分钟”问题受到社会广泛关注，国家号召中小学要增加学生的室外活动时间．但是进入12月后，天气渐冷，很多学生因气温低而减少了外出活动次数．为了解本班情况，一位同学统计了一周（5天）的气温变化和某一固定课间该班级的学生出楼人数，得到如下数据：温度xi（零下℃710111517出楼人数y201617107（1）利用最小二乘法，求变量x，附：用最小二乘法求线性回归方程y=b=i=1（2）预测当温度为−8℃时，该班级在本节课间的出楼人数（人数：四舍五入取整数）．（3）为了号召学生能够增加室外活动时间，学校举行拔河比赛，采取3局2胜制（无平局）．在甲、乙两班的较量中，甲班每局获胜的概率均为35，设随机变量X表示甲班获胜的局数，求X20．如图，矩形ABCD中AB=2AD=4，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE，使D（1）求证：BM∥平面A（2）求证：平面A1DE⊥（3）求二面角C−A21．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)左右焦点分别为F1，F2（1）求C的方程．（2）若A，B两点的纵坐标的乘积大于0，M、N是椭圆的左右顶点，且∠AF2M=∠B22．已知函数f(x)=（1）求f(x)单调区间（2）已知m为整数，关于x的不等式f(xlnx+2x−1)>f(m(x−1))在x>1时恒成立，求m的最大值．

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】已知集合A={x∣x−2x+1<0}，x∈A，所以A=x-1<x<2，

又因为集合A={x∣x−22．【答案】C【解析】【解答】已知z=1+i2−i=(1+i)(2+i)(2−i)(2+i)=2+i+2i+i24-i2=1+3i5=15+35i，3．【答案】A【解析】【解答】因为点(0，3)到双曲线y29−x216=1两条渐近线的距离相等，

又因为双曲线其中一条渐近线为y=34x，即34x-y=0，

4．【答案】D【解析】【解答】当甲站在每一排的两端时，有4种站法，此时乙的位置确定，剩下的人随便排，

有4A55=480种站法；

当甲不站在每一排的两端时，有3种站法，此时乙和甲相邻有两个位置可选，丙和甲不相邻有4个位置可选，剩下的人随便排，有3C215．【答案】C【解析】【解答】设圆锥的母线为l，

因为圆锥的底面半径为4，其侧面展开图为一个四分之一圆，

所以2πr=π2l，所以l=4r=4×4=16，

6．【答案】C【解析】【解答】4sin40°cos40°cos20°−tan20°=2sin80°cos7．【答案】B【解析】【解答】设P(x，y)，由动点P，Q满足|PA||PB|=|QA||QB|=12，得出PB=2PA，

所以2(x+1)2+y2=(x+4)2+y2，化简得出x2+y2=4，

即动点P在圆x2+y8．【答案】C【解析】【解答】由f(x)=0，g(x)=0得ex=2−x，因为y=ex与y=ln在同一坐标系下，画出y=ex，y=lnx，如图所示：则y=xy=2−x⇒C(1，1)，A(a，ea所以a+b=2，ea因为a>0，b>0，a≠b，所以ab<(a+b)因为f(x)=ex+x−2，f'(x)=f(0)=e0−2<0，f(又因为点(a，ea)在直线y=2−x上，且a2因为ea=b，所以设h(x)=xex(0<x<12)所以h(x)<h(1即ab<1故答案为：C

【分析】由f(x)=0，g(x)=0得ex=2−x，lnx=2−x，由y=ex与y=9．【答案】C,D【解析】【解答】已知向量a=(1，x)，b=(x−2，x)，则a→+b→=(x-1，2x)，a→−b→=(3-x，0)，

10．【答案】B,D【解析】【解答】在正方体ABCD−A1B1C1D1中，以C为原点，CD，CB，CC1所在的直线为x轴，y轴和z轴，从而建立空间直角坐标系，

则C(0，0，0)，D(4，0，0)，A1(4，4，4)，B1(0，4，4)，C1(0，0，4)，B(0，4，0)，D1(4，0，4)，M(x，4，0)，N(0，4，z)，

其中x，z∈(0，4)，D1M→=(x-4，4，-4)，MN→=(-x，0，z)，而D1M⊥MN，

则D1M→·11．【答案】A,C,D【解析】【解答】对于A，因为a，b为正实数，所以(a+1+b+2)(1a+1+1b+2)≥1+a+1b+2+b+2a+1+1≥2+2a+1b+2·b+2a+1=2+2=4，

又因为a+b=3，所以1a+1+1b+2的最小值为23，当且仅当a+1b+2=b+2a+1时等号成立，所以A对；

对于B，y=x2+2+1x2+2≥2x12．【答案】C,D【解析】【解答】对于A，设抛物线上的点的坐标为(x，y)，

因为y2=4px(p>0)，则抛物线上的点(x，y)到点(4p，0)的距离为(x-4p)2+y2=(x-4p)2+4px=x2-4px+16p2=(x-2p)2+12p2，

因为(x-2p)2+12p2≥23p，当x=2p时取等号，

即抛物线上的点(x，y)到点(4p，0)的距离最小值为23p，不为4p，所以A错；

对于B，由于倾斜角为锐角α的直线过其焦点F(p，0)，所以直线的斜率k=tanα，

设直线的方程为y=tanα(x-p)，

联立直线与抛物线方程，即y=tanα(x-p)y2=4px，

整理得出y2-4ptanα-y-4p2=0，∆=13．【答案】0.68【解析】【解答】由已知条件结合P(X<70)=0.16，X=95是对称轴，则P(X>120)=0.16，所以成绩在[70，120]的概率为1-0.16-0.16=0.68.14．【答案】16【解析】【解答】设正项等比数列{an}的公比为q，q>0，

已知a1a2a3=4，a4a5a6=8，

所以a1a1qa1q2=a15．【答案】(【解析】【解答】因为0<x<π3，又因为ω>0，所以0<ωx<π3ω，

所以π4<ωx+π4<π3ω+π16．【答案】(1【解析】【解答】当a>0时，x>0时，f(x)=x3-3ax+2，f'(x)=3x2-3a，

当0<x<a时，f'(x)<0；当x>a时，f'(x)>0；

所以函数f(x)=x3-3ax+2在(0，a)上单调递减，在(a，+∞)上单调递增，

所以当x=a时，函数f(x)=x3-3ax+2取到最小值，

函数f(x)=x3−3ax+2(x>0)2x+1−a(x≤0)有且只有3个零点，

又因为f(x)=2x+1-a在(-∞，0]上单调递增，

所以函数f(x)=x3-317．【答案】（1）解：因为C∈(0，π)，则sinC>0，由已知可得可得cosC=32（2）解：周长a+b+c=6c2由①②得a=43所以【解析】【分析】（1）利用已知条件结合三角形中角C的取值范围得出角C的正弦的取值范围，再结合二倍角的正弦公式和余弦函数值，进而得出角C的值.

（2）利用已知条件结合三角形的周长公式得出a，c的第一个方程，再利用余弦定理得出a，c的第二个方程，再联立a，c的两个方程得出a，c的值，再结合三角形的面积公式得出三角形△ABC的面积.18．【答案】（1）解：∵∵{an}递增，∴d=2∴a（2）解：cnS∴【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比中项公式和等差数列的通项公式以及等差数列的单调性，进而得出等差数列的公差，再结合等差数列的通项公式等差数列{an}的通项公式，利用数列{an}的通项公式和等比数列的通项公式，进而得出公比的值，再结合等比数列的通项公式得出数列{bn}的通项公式。

（2）由（1）得出的数列{an}和19．【答案】（1）解：xi=1i=1b=i=1回归直线方程为y（2）解：当x=8时，y=−所以，预测当温度为−8℃时，该班级在本节课间的出楼人数为19人（3）解：随机变量x可取0，1，2PPP所以x的分布列为：x012p42481所以X的数学期望为E(X)=0×【解析】【分析】（1）利用已知条件结合平均数公式和最小二乘法，进而得出线性回归直线方程。

（2）利用（1）得出的线性回归方程结合代入法，从而预测出当温度为−8℃时，该班级在本节课间的出楼人数。

(3)利用已知条件得出随机变量X的可能的取值，再结合独立事件求概率公式和互斥事件求概率公式，进而得出随机变量X的分布列，再结合随机变量X的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。20．【答案】（1）证明：取CD中点H，连接MH，BH，∵M和H分别是∴MH∥A1D，又MH⊄平面A1DE，∵E是AB的中点∴DH=EB且DH∥EB∴四边形DEBH为平行四边形∴DE∥HB，又HB⊄平面A1DE，DE⊂平面又∵MH∩HB=H，MH∴平面MHB∥平面A1DE，又BM⊂平面MHB∴BM∥（2）证明：∵DE=EC=DE⊥ECDA1⊥EC（3）证明：取DE中点F，连接AA1F⊥DE以D为坐标原点，DA，DC所在直线分别为x轴，过点D做A1F的平行线为B(2设平面A1CB的法向量为n则n令z=3，则y=设平面A1EB的法向量为m则m令z=3，则x=设二面角C−A1则cosθ=|cos⟨∴sinθ=∴二面角C−A1【解析】【分析】(1)利用已知条件结合中点作中位线的方法和中位线的性质以及平行四边形的性质，从而证出线线平行，再结合线线平行证出线面平行，即HB∥平面A1DE，再利用面面平行的性质定理证出线面平行，从而证出BM∥平面A1DE.（2）利用已知条件结合勾股定理证出线线垂直，再结合线线垂直证出线面垂直，再由线面垂直证出面面垂直，从而证出平面A1DE⊥平面BCDE.

（3）利用等腰三角形三线合一证出线线垂直，再结合面面垂直的性质定理证出线面垂直，从而建立空间直角坐标系，进而得出点的坐标和向量的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系，从而由数量积的坐标表示得出平面A21．【答案】（1）解：依题意可得bc=2ca=255（2）解：由题意可知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=kx+m，联立x25+设A，B的坐标分别为(Δ=100k且x1设直线F2A因为∠AF2M=∠BF2N则y1x即(kx所以2k所以2k×5m2则直线AB的方程为y=kx−52k=k(x−5【解析】【分析】（1）利用已知条件结合椭圆的离心率公式和三角形的面积公式以及椭圆中a，b，c三者的关系式，进而解方程组得出a，b，c的值，从而得出椭圆C的标准方程.

（2）由题意可知直线AB的斜率存在，从而设出直线AB的方程为y=kx+m，再联立直线与椭圆相交结合判别式法得出m的取值范围，再结合韦达定理得出A，B两点的横坐标与m的关系式，再利用∠AF2M=∠BF2N，且22．【答案】（1）解：f(x)的定义域是(0f令f'(x)=0，x=1所以f(x)的单调递增区间是(1，+∞)