广东省中山市2024届高三上学期1月第一次调研数学试卷

广东省中山市2024届高三上学期1月第一次调研数学试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x||4x−1|<9，x∈R}，B={x⋅xA．(−∞，−3C．(−∞，−32．已知复数z满足z(1+2i)A．255 B．255i 3．若tan(α−π4A．6425 B．4825 C．1 4．已知向量a，b，c满足| a |=| b |=3，aA．27 B．3+27 C．235．已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为SnA．911 B．711 C．10136．某品牌可降解塑料袋经自然降解后残留量y与时间t（单位：年）之间的关系为y=y0⋅ekt.其中y0为初始量，k为降解系数.已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的75%.若该品牌塑料袋需要经过n年，使其残留量为初始量的10A．20 B．16 C．12 D．77．已知在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，点P，Q，T分别在棱BB1，CC1和AB上，且B1P=3，A．m的长度为553 B．mC．n的长度为233 D．n8．已知M(a，3)是抛物线C：x2=2py(p>0)上一点，且位于第一象限，点M到抛物线C的焦点A．−1 B．1 C．16 D．−12二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，得部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知事件A，B是相互独立事件，且P(AB)=1A．P(A)=13 B．P(B)=34 C．10．函数f(x)=23A．函数f(xB．函数g(x)的图象上存在点P，使得在PC．函数y=g(x)D．函数g(2x+π3)11．已知双曲线C：y2a2−x2b2=1(a>0，b>0)的上、下焦点分别为F1，F2，过点F1作斜率为−A．|MF2|=2|MC．∠MON可以是直角 D．直线OA的斜率为−12．已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R，若fA．f'(1C．k=120f(三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．(x2−14．已知数列{an}，an=15．设F1、F2是椭圆C1：x2a12+y2b12=1(a1>16．在三棱锥A−BCD中，AD⊥平面BCD，∠ABD+∠CBD=π2，BD=BC=2，则三棱锥A−BCD外接球表面积的最小值为四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{an}（1）求数列{a（2）若bn=log218．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足3c（I）求C的值；（II）若ca=2，b=4319．如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，底面（1）若AA1=1，P为AA1（2）若AA1=a(0<a<3)，设二面角A1−B1C120．网球运动是一项激烈且耗时的运动，对于力量的消耗是很大的，这就需要网球运动员提高自己的耐力.耐力训练分为无氧和有氧两种训练方式.某网球俱乐部的运动员在某赛事前展开了一轮为期90天的封闭集训，在封闭集训期间每名运动员每天选择一种方式进行耐力训练.由训练计划知，在封闭集训期间，若运动员第n(n∈N*，n≤89)天进行有氧训练，则第n+1天进行有氧训练的概率为59，第n+1天进行无氧训练的概率为49；若运动员第n天进行无氧训练，则第n+1天进行有氧训练的概率为（1）封闭集训期间，记3名运动员中第2天进行有氧训练的人数为X，求X的分布列与数学期望；（2）封闭集训期间，记某运动员第n天进行有氧训练的概率为Pn，求P21．已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）直线l过x轴上的定点E（E点不与A1、A2重合），且交椭圆C于P、Q两点（yP>0，yQ22．已知函数f(（1）当a=1时，讨论f(（2）讨论函数f(

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：集合A={x|4x-1|<9,x∈R}={x|-9<4x-1<9,x∈R}={x|-2<x<52故答案为：A.【分析】先求出集合A、B，根据补集与交集的定义进行计算即可.2．【答案】C【解析】【解答】解：因为z(1+2i)=|故答案为：C.【分析】由复数的除法运算及模的运算可得z=53．【答案】A【解析】【解答】解：因为tan(α−π4)=−17，所以tanα-故答案为：A.【分析】根据正切和角公式展开tan(α−π4)=−14．【答案】D【解析】【解答】解：设OA→=a→，OB→=b→,OC→=c→，D为圆D的圆心如图所示：

，

由题意，a→=b→=3,a→×b→=a→b→cos∠AOB=-3故答案为：D.【分析】令OA→=a→，OB→5．【答案】A【解析】【解答】解：根据题意，数列{an},{bn}都是等差数列，显然两个数列都不是常数列，

由于SnTn=2n3n+1故答案为：A.

【分析】根据题意，利用SnTn=2n6．【答案】B【解析】【解答】解：因为该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的75%，所以y0·e2k=75%y0,

即ek=3412，若该品牌塑料袋需要经过n年，使其残留量为初始量的10%，故答案为：B.【分析】根据题意得ek7．【答案】A【解析】【解答】解：已知如图所示：

连接QP并延长交CB的延长线于E，连接ET并延长交AD于点S，交CD的延长线于点H，连接HQ，交DD1于点R，连接SR，则m即为SR，n即为ST，

由PBIIQC，得PBQC=EBEB+4=13，所以EB=2,EC=6,

由ASIIEB,得ASEB=ATTB=13，则AS=12,EB=23，

所以n=ST=A故答案为：A.【分析】根据平面的性质，确定平面PQT与侧面ADD1A1的交线m即为SR，与底面8．【答案】B【解析】

【解答】解：因为M(a，3)是抛物线C：x2=2py(p>0)上一点，且位于第一象限，点M到抛物线C的焦点F的距离为4，

所以MF=P2+yM=P2+3=4,∴p=2，

∴抛物线C方程为：x2=4y,∴y'=故答案为：B.【分析】先根据抛物线定义得MF=P2+yM求出p，再设过P点与抛物线C:x2=4y9．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：根据题意，事件A，B是相互独立事件，则A,B也是相互独立事件，

则有P(AB)=P(A)P(B)=16，P(AB)=P(A)P(B)=112，

则有P(A)P(B)+PAPB=P(A)+PAP(B)=P(B)=16+10．【答案】A,B【解析】【解答】解：f(x)=23cos(2wx-π3)-2sin2wx

=23(cos2wxcosπ3+sin2wxsinπ3)-2sin2wx=3cos2wx+3sin2wx-2sin2wx

=3cos2wx+sin2wx=2sin(2wx+π3)，

由图象可知，f(π6)=2，所以sin(π3w+π3)=1,解得w=12故答案为：AB.【分析】利用两角和的正弦将f(x)=23cos(2ωx−11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：双曲线C：y2a2−x2b2=1(a>0，b>0)的上、下焦点分别为F1，F2，过点F1作斜率为−1515的直线l与C的上支交于M，N两点（点M在第一象限），A为线段MN的中点，O为坐标原点.若C的离心率为2，如图：

A：设直线的倾斜角为α，因为直线的斜率为-1515,所以tanα=-1515，

则π3×52+φ=π+2kπ(k∈Z)，所以tan∠MF1F2=-1tanα=15,

由同角的三角函数关系可得cos∠MF1F2=14，

在△MF1F2中由余弦定理可得：cos∠MF1F2=14=MF12+F1F2-MF222MF1F1F2，

故答案为：ABD.【分析】由直线的倾斜角，三角函数的诱导公式，余弦定理和双曲线的性质及离心率求出，可判断A、B正确，C错误；用点差法，结合中点和离心率，斜率公式求出直线OA的斜率，判断D正确.12．【答案】B,D【解析】【解答】解：对于A，令x=y=1，得f(2)=2f(1)f'(1),因为f(2)=-f(1)≠0,

所以f'(1)=-12,所以A错误；

对于B和C，令y=1,得f(x+1)=f(x)f'(1)+f'(x)f(1)①，

所以f(1-x)=f(-x)f'(1)+f'(-x)f(1)，

因为f(x)是奇函数，所以f'(x)是偶函数，

所以f(1-x)=-f(x)f'(1)+f'(x)f(1)②,由①②，

得f(x+1)=2f(x)f'(1)+f(1-x)=-f(x)-f(x-1)，

即f(x+2)=-f(x+1)-f(x),所以f(x+3)=-f(x+2)-f(x+1)=f(x+1)+f(x)-f(x+1)=f(x)

所以f(x),f'(x)是周期为3的函数，所以f(9)=f(0)=0,B正确；

对于C，由B的结论，k=120f(k)=[f(1)+f(2)+f(3)]x6+[f(1)+f(2)]=0,C错误；

对于D，因为f'(2)=f'(-1)=f'(1)=-12，

在①中令x=0得f(1)=f(0)f'(1)+f'(0)f(1),所以f'(0)=1,

k=113．【答案】11【解析】【解答】解：(x2−1x+2)3即3个x2−1x+2相乘，常数项为一个x2两个(14．【答案】10【解析】【解答】解：[解析]已知数列{an}中，an=n−82n−83=1+83-82n-83

故当n<故答案为：10.【分析】将an=n−82n−15．【答案】(【解析】【解答】解：因为F1、F2是椭圆C1：x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)与双曲线C2：x2a22−y2b22=1(a2>0，b2>0)16．【答案】(2+2【解析】【解答】解：如图所示：

设∠ABD=α,∠CBD=β，K为△BCD外接圆的圆心，O为球心，DK=r，

OD=R,OK=h,则AD=2tanα=2tanβ,CD=4sinβ2,则2r=4sinβ2sinβ,即r=1cosβ2，

又h2+r2=R2(AD-h)2+r2=R2，则h=AD217．【答案】（1）解：由题意得a12当n≥2时，a12由①－②得an2n又n=1时，a121综上，an（2）解：由（1）可得bn=lo设数列{1bn所以T=1−【解析】【分析】（1）先令n=1，求得a1，当n≥2时，利用an=Sn-Sn-118．【答案】解：（I）因为3c所以由正弦定理得3sin又0<C<π，故C=π（II）因为ca=2，即c=2a，又b=43所以由余弦定理可得4a整理得a2+4a−16=0.解得故△ABC的面积为1【解析】【分析】(1)根据诱导公式、正弦定理，及同角三角函数基本关系式化简3ccosC=a19．【答案】（1）解：如图所示：

取CC1的中点Q，连接AQ，QB则∠QAB1为异面直线PC又|AQ|=1+(由余弦定理得cos（2）解：如图所示：

分别取B1C1，BC的中点G，H，连接A1G，PH在正三棱柱ABC−A1B1C又A1G∩A1A=A1，所以B所以B1C1同理∠AHP为二面角A−BC−P的平面角，设A1P=t，则所以tan∠A1则tan(α+β当t=a2时，即P为AA1的中点时，【解析】【分析】(1)取CC的中点Q，连接AQ，QB，根据三角形中位线定理得AQ//PC1，找到∠QAB1为异面直线PC1与AB1所成的角，利用余弦定理代入即可求解.

(2)分别取B1C120．【答案】（1）解：设运动员第2天进行有氧训练为事件M，第2天进行无氧训练为事件N，则P(M)所以3名运动员第2天进行有氧训练的人数X~B(3，则P(X=0)P(X=2)所以X的分布列为X0123P1248所以E（2）解：依题意可得Pn+1=Pn×59则Pn+1−711=−29所以数列{Pn−711则Pn−7所以P【解析】【分析】(1)分别求出运动员第2天进行有氧训练与无氧训练的概率，得出3名运动员第2天进行有氧训练的人数X~B(3，23)，X=0，1，2，21．【答案】（1）解：由题知离心率e=32=ca又因为点(1，32)在椭圆上，所以1a所以椭圆C的方程为x2故椭圆C的标准方程为x2（2）解：已知如图所示：

设直线l的方程为x=ty+m，P(x1，y由（1）知A1(−2，联立x=ty+mx24+由韦达定理，得y1+由题得kA1因为x224+所以(∗)=故直线l的方程为x=ty+13，经过x轴上的定点【解析】【分析】(1)根据离心率为32，点(1，32)在椭圆上结合a，b，c之间的关系，列出等式解出a和b的值，即可求解；

（2）设出直线l的方程x=ty+m22．【答案】（1）解：当a=1时，f(x)记g(x)∴f'(又f'∴f'(x)当x∈(0，x0)时，当x∈(x0，+∞)时，∴