广东省深圳市罗湖区2023-2024学年高三上学期1月期末质量检测数学试题

广东省深圳市罗湖区2023-2024学年高三上学期1月期末质量检测数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合A={x∣0≤x≤4}，A．[0，1) B．(−1，2．已知复数z满足z(i−1)A．1−i B．1+i C．−1−i D．−1+i3．双曲线x2a2A．1cos70° B．1sin70° C．4．已知A，B是平面α上的点，A1，B1是平面β上的点，且A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知A．80 B．160 C．121 D．2426．已知Ai是边长为2的正六边形A1AA．[−8，8] B．[−4，7．若函数f(x)=cosA．(0，43] B．(438．已知曲线E：y=ex与y轴交于点A，设E经过原点的切线为l，设E上一点B横坐标为m(A．−1<m<0 B．0<m<1 C．1<m<32 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．在正方体ABCD−A1BA．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形10．已知a，b∈R+，直线A．ab的最大值是1 B．a2+C．2a+4b的最小值是411．已知直线l：y=x与圆A．所有圆Γ均不经过点(B．若Γ关于l对称，则k=−1C．若l与Γ相交于AB且AB=2，则D．存在圆Γ与x轴与y轴均相切12．定义在R上的函数f(x)满足2fA．fB．曲线y=f(x)在点C．f(x)−D．f三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．在(x+2)5(1−y14．某同学收集了变量x，x0.5233.545yy15yyyy为了研究x，y的相关关系，他由最小二乘法求得y关于x的线性回归方程为y=bx+17，经验证回归直线正好经过样本点15．已知抛物线Γ：x2=2py(p>0)的顶点为O，焦点为F，准线为l，过F的直线与Γ在y轴右侧交于点E．若E在l上的射影为Q16．将正方形ABCD延对角线BD折起，当AC=23时，三棱锥A−BCD的体积为433四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．已知数列{an}（1）求{a（2）求数列{1an+a18．正四棱锥P−ABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，高为4，点M，N分别在线段PC，AB上，且（1）求证：BE∥平面DMN；（2）求直线AC与平面DMN所成角的正弦值．19．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，从条件①bcos条件②2ccos条件③4S=3（1）求角C的大小；（2）点D是△ABC外一点，DC=3，DA=1，若∠ABC=60°，求四边形20．在一个地区筛查某种疾病，由以往经验可知该地区居民得此病（血液样本化验呈阳性）的概率为p(方法1：逐个化验；方法2：3个样本各取一部分混合在一起化验。若混合样本呈阳性，就把这3个样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则判断这3个样本均为阴性。（1）若p=0.4，用随机变量Y表示3个样本中检测呈阳性的个数，请写出Y的分布列并计算（2）若p=0.（3）若要完成化验筛查，且已知“方法2”比“方法1”更优，求p的取值范围．21．已知函数f(（1）若f(x)的最值为a（2）当a=1en22．在平面直角坐标系中，已知F1(−1，0)，F2(1，0)，Q为动点，且|F2Q|=4（1）求C的方程；（2）若PF1=

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】集合A={x∣0≤x≤4}，B={x∣(x+3)(2．【答案】B【解析】【解答】因为z(i−1)=2i，所以z=2ii−1=2i-i−13．【答案】A【解析】【解答】因为双曲线的一条渐近线的倾斜角为110°，所以-ba=tan110°，所以ba=tan70°，

所以离心率e=ca=a4．【答案】B【解析】【解答】若A，B是平面α上的点，A1，B1是平面β上的点，且AA1//BB1，设p：α//β，q：AA1=BB1，

必要性：p⇒q，若a//β，且有AA1//BB1，则A，A1，B，B1四点构成一个平面AA1BB1，且面AA1BB1∩面α=AB，面AA1BB1∩面β=A1B1，所以AB//A1B1，所以四边形AA1BB1为平行四边形，所以AA1=BB1，故必要性成立；

充分性：q⇒p，若AA1=BB1，且有AA1//BB1，则四边形AA1B1B为平行四边形，所以AB//A1B1，因为A，B是平面α上的点，A1，B1是平面β上的点，所以AB⊂α，A1B1⊂β，只有两直线平行无法得出a//β，所以充分性不成立.

所以“AA1=BB1”是“a//β”的必要不充分条件.

故答案为：B．

【分析】在前提条件下，设p：α//β，q：AA1=BB1，然后p⇒q和q⇒p是否成立即可.5．【答案】A【解析】【解答】由题意Sn+1=3Sn，+2，n∈N*，所以Sn+2=3Sn+1+2，n∈N*，两式相减得an+2=3an+1，

又数列{an}是等比数列，所以它的公比q=an+2an+1=3，在Sn+1=3Sn+2，n∈N*中，令n=1得，

a1+3a1=3a1+2，解得S1=a1=2，又Sn+1+1=3(Sn+1)，n∈N*，所以{Sn+1}是首项为S1+1=3，

公比为3的等比数列，所以Sn+1=3n，所以S4=34-1=80.

故答案为：A．

【分析】由Sn，an的关系结合数列{an}是等比数列，先得出q=an+2an+16．【答案】C【解析】【解答】由题意，在边长为2的正六边形中，建立如图所示坐标系，

则A1(0，0)，A2(2，0)，A3(3，3)，A4(2，23)，A5(0，23)，A6(-1，3)，

则A1A4→=2，23，A2A1→=-2，0，A2A3→=7．【答案】D【解析】【解答】当x∈(0，π4)时，ωx+π6∈(π6，πω4+π6)，

由函数f(x)=cos(ωx+π6)在(0，π4)有最小值，没有最大值，得π<πω48．【答案】D【解析】【解答】∵曲线E：y=ex与y轴交于点A，∴A(0，1)，

设直线l与曲线E相切于点(x0，ex0)，

∵曲线E：y=ex，∴y'=ex，∴切线l的斜率k=ex0，

∴切线l的方程为y-ex0=ex0x-x0，

又∵切线l过原点，∴-ex0=ex0-x0，∴x0=1，

∴切线l的斜率k=e，∵直线AB//l，∴kAB=e，

∵A(0，1)，B(m，em)，∴em-1m=e，即em-em-1=0，

则m是方程em-em-1=0的不等于0的根，9．【答案】A,D【解析】【解答】如图所示：

在正方体中BD⊥AC，BD⊥AA1，又AC∩AA1=A，AC⊂平面AA1C1C，AA1⊂平面AA1C1C，

则BD⊥平面AA1C1C，又AC1⊂平面AA1C1C，则BD⊥AC1，同理BA1⊥AC1，

又BD∩BA1=B，BD⊂平面BDA1，BA1⊂平面BDA1，所以AC1⊥平面BDA1，同理AC1⊥平面CB1D1，

由直线与平面垂直的性质得：与平面BDA1和平面CB1D1平行的平面，都与AC1垂直，

由图象知：在平面BDA1和平面CB1D1之间的平面，与正方体所得截面的形状为六边形；

在平面BDA1和平面CB1D1之外的平面，与正方体所得截面的形状为三角形.

故答案为：AD．

【分析】先证明AC1⊥平面BCA1，AC1⊥平面CB1D1，再平移平面BCA1和平面CB1D1判断.10．【答案】B,C【解析】【解答】由l1⊥l2，故1x2b+(a-2)x1=0，即a+2b=2，且a，b∈R+，

A、2ab≤a+2b22=1，即ab≤12，A错误；

B、由a+2b=2，故a=2-2b，且有2-2b>0b>0，即0<b<1，a2+b2=(2-2b)2+b2=5b2-8b+4=5b-45+45，故当b=45时，a2+b2有最小值45，B正确；

C、2a+4b11．【答案】A,B【解析】【解答】Γ：(x−2k)2+(y−k+1)2=1，则圆心为(2k，k-1)，半径r=1，

A、假设圆Γ：(x−2k)2+(y−k+1)2=1过点(1，1)，则(1-2k)2+(1-k+1)2=1，

化简整理可得，5k2-8k+5=0，△=(-8)2-4x5x5<0，k无解，故所有圆Γ均不经过点(1，1)，A正确；

B、Γ关于l对称，则直线|过圆心(2k，k-1)，即2k=k-1，解得k=-1，B正确；

C、l与Γ相交于AB且AB=2，则2k-k+1112．【答案】A,B,D【解析】【解答】A、由2f(3-x)-f(x)=x2-12x+18，有2f(3-x)=f(x)+x2-12x+18，

则2f(3+x-3)=f(-x+3)+(-x+3)2-12(-x+3)+18，即2f(x)=f(3-x)+x2+6x-9，

则2fx=fx+x2-12x+182+x2+6x-9，整理得f(x)=x2，有f'(x)=2x，

则f(0)=0，f'(0)=0，即f(0)+f'(0)=0，，A正确；

B、f(1)=1，f'(1)=2x1=2，故切线方程：y=2(x-1)+1，化简得2x-y-1=0，B正确；

C、f(x)-f'(x)=x2-2x≥m在R上恒成立，由x2-2x=(x-1)2-1≥-1，故m≤-1，C错误；

D、fx-f'x-7ex=x2-2x-7ex≥-4e，令13．【答案】-10【解析】【解答】在(x+2)5(1−y)的展开式中，x414．【答案】69【解析】【解答】因为线性回归方程y=bx+17经过样本点(2，15)，所以15=2b^+17⇒b^=-1，

因为x15．【答案】−【解析】【解答】

设准线与y轴交于点P，则3|FQ|=4|FO|=2|FP|，在△FPQ中，sin∠FQP=FPFQ=32，

所以∠FQP=π3，∠PFQ=π6，易知PF//EQ，所以∠EQF=∠PFQ=π6，

在△EFQ中，因为|EQ|=|EF|，所以∠EFQ=∠EQF=π6，所以∠EFO=π3，

直线EF的倾斜角为5π616．【答案】32π【解析】【解答】将正方形ABCD延对角线BD折起，如图：

设正方形ABCD边长为a，则OA=OB=OC=OD=22a，则点O为三棱锥A-BCD外接球的球心，半径

为22a，

在三角形AOC中，作AM⊥OC，设AM=h，由于ABCD为正方形，则OA⊥BD，OC⊥BD，OA∩OC=O，

则BD⊥平面AOC，则BD⊥AM，又AM⊥OC，BD∩OC=O，则AM⊥平面BCD，

在△AOC中，

根据面积相等有：12×23×22a2-32=12×22a，又三棱锥A-BCD的体积为4317．【答案】（1）解：解法一、由an+1=n+1由累乘法得an解法二、由an+1=n+1则数列{ann}是各项为1的常数列，所以（2）解：由（1）得1a所以Sn【解析】【分析】（1）解法一：对递推式变形为an+1an=n+1n，利用累乘法求解通项公式；18．【答案】（1）证明：方法一、在线段CD上取点F，使得CF=2DF，连接EF、BF，

因为PC=4PM，E为PC的中点，所以CE=2ME，所以又EF⊂平面DMN，DM⊆平面DMN，所以EF∥在平行四边形ABCD中，因为AN=2NB，CF=2DF，所以DF=NB，且所以四边形DFBN是平行四边形，所以DN∥FB，又BF⊂平面DMN，DN⊆平面DMN，所以BF∥又BF，EF⊂平面EFB，且BF∩EF=F，所以平面EFB∥平面又BE⊆平面EFB，所以BE∥平面DMN．方法二、延长CB、DN交于点G，连接MG，

在平行四边形ABCD中，因为AN=2NB，由三角形相似，易证BC=2GB，因为PC=4PM，E为PC的中点，所以CE=2ME，所以又BE⊂平面DMN，MG⊆平面DMN，所以BE∥（2）解：连接BD交AC于点O，连接PO，

因为正四棱锥P−ABCD的底面ABCD是正方形，所以PO⊥平面ABCD，且OA⊥OB，故以O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线依次为所以，AC设平面DMN的一个法向量为n=由DM→⋅n取x=5，则y=−1，z=设直线AC与平面DMN的夹角为θ，则sinθ=|【解析】【分析】（1）方法一：构造面面平行，再证线面平行；

方法二：构造线线平行，再证线面平行；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求线面角的正弦值.19．【答案】（1）解：选①，方法一（射影定理），因为b由射影定理c=acosB+ccosA得因为0<C<π，所以C=π方法二（边化角）因为bcos由正弦定理得sinB即sin(A+B因为A+B+C=π，所以A+B=π−C，所以sin(A+B因为0<C<π，所以sinC>0，cosC=方法三（角化边）因为bcosb⋅b2+所以cosC=因为0<C<π，所以C=π选②，方法一（角化边）因为2ccosA+a=2b，由余弦定理得即a2+b因为0<C<π，所以C=π方法二（边化角）因为2ccosA+a=2b，由正弦定理得因为A+B+C=π，所以B=π−(所以2sin因为sinA>0，所以cos因为0<C<π，所以C=π选③，因为4S=3(a2+由余弦定理得，sinC=3⋅因为0<C<π，所以C=π（2）解：在△ABC，∠CBA=60°，C=π在△ACD中，由余弦定理可得AC由于DA=1，DC=3，代入上式可得所以四边形ABCD的面积y=S因为0<D<π，所以−π所以当D=5π6时，四边形ABCD的面积取最大值，最大值为【解析】【分析】(1)结合恒等变换和正余弦定理进行公式带入即可求解；

(2)由题可知△ABC为等边三角形，在△ACD中，由余弦定理可得AC2=AD2+CD2-2AD·CDcosD，得到△ABC的边长与角D的关系，在列出四边形的面积公式，利用三角函数求解最值即可.20．【答案】（1）解：Y的分布列为：Y0123p2754368E(（2）解：采用方法1，3个样本需要试验次数为3次，或采用方法2，以实验次数为随机变量X，则X的可能取值为1或4，且p(所以E(因为E(（3）解：采用方法2，设3个样本完成化验筛查的实验次数为随机变量X，则X的可能取值为1或4，且p(由已知得(解之得，0<p<1−3所以p的取值范围为0<p<1−3【解析】【分析】(1)根据题意分析可知随机变量Y~B(3，