浙江省温州十校联合体2024-2025学年高二数学下学期期中联考试题含解析

浙江省温州十校联合体2024-2025学年高二数学下学期期中联考试题考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.全部答案必需写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、选择题（本题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合，则（）A.{2，3} B.{1，2，3，5} C.{1，2，5} D.{1，5}【答案】B【解析】【分析】依据并集的定义去求即可解决.【详解】故选：B2.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由推不出，反之，由可以推出，即可得答案.【详解】由推不出，反之，由可以推出所以“”是“”的必要不充分条件故选：B【点睛】本题考查的是充分条件和必要条件的推断，较简洁.3.已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（，），则的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式化简所求的表达式，通过三角函数的定义求解即可．【详解】解：因为角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点，所以，，所以，故选：D.4.设a，b，c是空间不同的三条直线，α，β是不同的平面，则下列推导正确的个数是（）①②③④⑤A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】依据平行公理可知①推断正确；依据线面平行判定定理否定②；依据线面垂直性质定理可知③推断正确；依据面面平行判定定理否定④；依据面面平行判定定理可知⑤推断正确.【详解】①.推断正确；②或.推断错误；③.推断正确；④或或与相交.推断错误；⑤.推断正确；综上，推导正确的3个故选：C5.一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，假如当水轮上点P从水中出现时（图中点）起先计时，则点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的一个函数解析式为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依据题给条件去求一个函数解析式即可解决.【详解】设点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的一个函数解析式为由，可得，由，可得由t=0时h=0，可得，则，又，则则点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的一个函数解析式为故选：A6.下表是某饮料专卖店一天卖出奶茶的杯数y与当天气温x（单位：°C）的对比表，已知表中数据计算得到y关于x的线性回来方程为，则据此模型预料时卖出奶茶的杯数为（）气温x/℃510152025杯数y2620161414A.9 B.10 C.11 D.12【答案】A【解析】【分析】先求得的值，再据此模型计算出时卖出奶茶的杯数.【详解】，由，可得，则则据此模型预料时卖出奶茶的杯数为9故选：A7.如图，在平面四边形ABCD中，△BCD是边长为7的等边三角形，，则△ABC的面积为（）A.5 B.7 C.10 D.20【答案】C【解析】【分析】先利用余弦定理求得AB的长度，再去求的值，进而可求得△ABC的面积.【详解】由，可得，解之得或（舍）则，又，则则则△ABC的面积为故选：C8.如图，在直角梯形ABCD中，，，，，M是AD的中点，P是梯形ABCD内一点（含边界），若，且，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立直角坐标系，写出对应的点的坐标与向量的坐标，代入数量积公式计算.【详解】建立如图所示的直角坐标系，设，则，所以，因为，所以，将代入上式，可得，所以，又，所以，当时，的最小值为.故选：C【点睛】计算向量的数量积时，假如不能干脆利用定义求解，可通过建立直角坐标系，利用数量积的坐标表示计算.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9.下列计算正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】依据指对数的运算可得答案.【详解】，，，，故选：ABD10.如图是一个正方体的表面绽开图，还原成正方体后，下列推断正确的是（）

A.AC∥FHB.BG与FH所成的角为C.二面角G—AB—C的大小为D.B，D，E，G恰好是一个正四面体的四个顶点【答案】BCD【解析】【分析】将表面绽开图还原为正方体，然后逐项分析即可得出答案.【详解】还原为正方体如图：易得与为异面直线，故A错误；连接，因为，，所以四边形为平行四边形，故，故或其补角为异面直线的夹角，设正方体的棱长为，则，所以，所以异面直线与的角为，故B正确；因为平面平面，由于平面，所以，故为二面角的平面角，由于，且，所以，因此二面角的大小为，故C正确；因为，所以恰好是一个正四面体的四个顶点，故D正确.故选：BCD.11.下列结论正确的是（）A.若随机变量，则B.已知随机变量X，Y满意，若，则C.某中学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，现从这10名同学中随机选取3名同学去参与某公益活动（每位同学被选到的可能性相同）.则至少选到2名女同学的概率是0.3D.三批同种规格的产品，第一批占20%，其次批占30%，第三批占50%，次品率依次为6%、5%、4%，将三批产品混合，从混合产品中任取1件，则这件产品是合格品的概率是0.953【答案】AD【解析】【分析】A选项，B选项分别利用正态分布，二项分布的性质处理，C选项利用古典概型的概率公式计算，D选项利用条件概率解决.【详解】，则正态曲线关于对称，而是关于对称的两个区间，于是，A选项正确；由二项分布的期望方差公式，

，，而，于是，，B选项错误；由选项可得，所求的概率为：，C选项错误；依据选项可得，合格品的概率为：，D选项正确.故选：AD12.已知，且，则（）A.ab的最大值为 B.的最小值为C.的最小值为 D.的最大值为3【答案】ABC【解析】【分析】利用基本不等式求解推断【详解】因为，且，A.，当且仅当时，等号成立，故正确；B.，当且仅当，即时，等号成立，故正确；C.，当且仅当时，等号成立，故正确；D.，当且仅当，即时，等号成立，故错误；故选：ABC非选择题部分三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.若复数z满意（i是虚数单位），则___________.【答案】【解析】【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得结果.详解】由已知可得，因此，.故答案为：.14.在的绽开式中的系数为___________.【答案】280【解析】【分析】依据给定条件，求出二项式绽开式的通项即可计算指定项的系数.【详解】二项式的绽开式通项为，由解得，，所以绽开式中的系数为280.故答案：28015.从2，4，6，8中任取3个数字，从1，3，5，7，9中任取2个数字，一共可以组成______个没有重复数字的五位偶数（用数字作答）.【答案】2880【解析】【分析】利用分步乘法计数原理，结合排列组合，按位置分析法列式计算作答.【详解】先按给定条件取出偶数和奇数，有种方法，再从3个偶数中取1个放在个位，余下4个数字作全排列，有种方法，由分步乘法计数原理得：，所以一共可以组成2880个没有重复数字的五位偶数.故答案为：288016.已知函数对随意和随意都有恒成立，则实数a的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】将化为关于的二次式子，利用判别式可将不等式化为对随意恒成立，令，可化为或，即可求出.【详解】，因为对随意和随意都有恒成立，所以对随意恒成立，整理可得对随意恒成立，即或，对随意恒成立，即或对随意恒成立，令，则，则或对随意恒成立，所以或，因为，当且仅当，即时等号成立，所以，又在单调递减，所以，所以或.故答案为：.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在平面直角坐标系中，已知向量（1）若，求x的值；（2）若与夹角为，求x的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依据，由求解；（2）依据与夹角为，得到求解.【小问1详解】解：因为，所以，∴.又，∴；【小问2详解】因为，∴，，则，又，∴，∴.18.为激活国内消费市场，挽回疫情造成的损失，国家出台一系列的促进国内消费的实惠政策.某机构从某一电商的线上交易大数据中来跟踪调查消费者的购买力，现从电商平台消费人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组，记第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65），得到如下频率分布直方图：（1）求出频率分布直方图中的a值和这200人的年龄的众数、中位数及平均数；（2）从第1，2组中用分层抽样的方法抽取10人，并再从这10人中随机抽取2人进行电话回访，求这两人恰好属于同一组别的概率；【答案】（1）；众数40、中位数42.1，平均数41.5（2）【解析】【分析】（1）依据频率分布直方图的性质去求a值和众数、中位数及平均数；（2）依据古典概型去求这两人恰好属于同一组别的概率.【小问1详解】由题意得：，所以；众数为最高小矩形底边中点的横坐标，即40；设中位数为x，则平均数为：则可以估计这200人的年龄的众数为40、中位数为及平均数为【小问2详解】利用分层抽样的方法从第一组抽取4人，从其次组抽取6人，依题意，所求的概率为19.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.

（1）求△ABC各内角的大小；（2）若D，E是边BC上的两点，，，设，△ADE的面积为f（a），求函数f（a）的最小值.【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理求出，由正弦定理求出，由三角形内角和求出；（2）先用正弦定理求得，，利用面积公式表达出，结合的范围，求出最小值.【小问1详解】∵∴，∴，∴∵∴由正弦定理得：其中∴∵，∴∴∴∴.【小问2详解】由（1）得，△ABC为等腰三角形，∴在△ABD中，∴同理∴，因为，所以当时，20.如图，在四面体ABCD中，，，M是棱AD的中点.（1）求四面体ABCD的表面积和体积；（2）求直线CM与底面BCD所成的角的正弦值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）依据题意得都是边长为的正三角形，都是等腰三角形，进而求其面积；法一：利用线面角定义即得；法二：利用向量法线面角公式即得.【小问1详解】（1）连结BM，由已知得，∵∴AD⊥面BCM.在△BCM中:∴∴【小问2详解】（2）令M到面BCD的距离为h，直线CM与底面BCD所成的角为.∵向量法：表面积求法同上.以BC中点O原点，BC，OD方向为x，y轴正方向，建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），C（-1，0，0），D（0，，0）设A（x，y，z）则.即∴到平面BCD的距离为，∴设平面BCD的一个法向量为令直线CM与底面BCD所成的角为θ.21.某中学为了解中学生的课外阅读时间，确定在该中学抽取20名学生，对他们的课外阅读A类（不参与课外阅读），B类（参与课外阅读，但平均每周参与课外阅读的时间不超过3小时），C类（参与课外阅读，且平均每周参与课外阅读的时间超过3小时）.调查结果如下表：A类B类C类男生354女生134（1）依据表中的统计数据，完成下面的列联表，并推断是否有90%的把握认为“参与课外阅读与否”与性别有关；男生女生总计不参与课外阅读参与课外阅读总计（2）从抽出女生中再随机抽取3人进一步了解状况，记X为抽取的这3名女生中B类人数和C类人数差的肯定值，求随机变量X的分布列和均值（数学期望）.附：，其中a0.10.050.010.0050001x02.7063.8416.6357.89710.828【答案】（1）表格见解析，无把握（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）依据要求填表，并计算出值后，再推断是否有90%的把握认为“参与课外阅读与否”与性别有关；（2）依据分布列的要求去完成分布列，并依据公式求出随机变量X的均值.【小问1详解】男生女生总计不参与课外阅读314参与课外阅读9716总计12820说明我们没有90%的把握认为“参与课外阅读与否”与性别有关；【小问2详解】随机变量X的可能取值为0,1,2,3,，，随机变量X的分布列X0123P则22.已知函数，（1）推断的奇偶性并证明；（2）若，求最小值和最大值；（3）定义，设.若在内恰有三个不同的零点，求a的取值集合.【答案】（1）偶函数，证明见解析.（2），（3）【解析】【分析】（1）结合奇偶性的定义干脆证明即可；（2）将看作整体，结合二次函数的性质即可求出最值；（3）由于，则转化为或，然后分类探讨即可求出结果.【小问1详解】是偶函数证：因为的定义域为,且∴f（x）是偶函数【小问2详解】当，则又∴当时，当时，【小问3详解】因为都是偶函数.所以在上是偶函数，因为恰有3个零点，所以，则有：或，①当时，即且时，因为当，令，因为，解得或，所以恰有3个零点，即满意条件：.②当时，即且时，此时，当时，只有1个零点，且，所以恰有3个