湖南省长沙市2024-2025学年高三数学上学期第二次月考试卷

Page10湖南省长沙市2024-2025学年高三数学上学期其次次月考试卷时量：120分钟 重量：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.2.函数的图象大致为（）A. B.C. D.3.已知等比数列的前n项和为，且，，，成等差数列，则（）A. B. C.3 D.44.已知正方形ABCD的对角线，点P在另一对角线BD上，则的值为（）A. B.2 C.1 D.45.直线与椭圆相交于A，B两点，设O为坐标原点，“”是“的面积为”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.古希腊的数学家毕达哥拉斯通过探讨正五边形和正十边形的作图，发觉了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示.若实数n满意，则（）A. B. C. D.7.设函数，若，，，则（）A. B. C. D.8.在正方体中，，点E是线段AB上靠近点A的三等分点，在三角形内有一动点P（包括边界），则的最小值是（）A.2 B. C.3 D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.9.在中，内角A，B，C所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（）A.B.若，则C.D.若，且，则为等边三角形10.已知定义域为R的函数满意，函数，若函数为奇函数，则的值可以为（）A. B. C. D.11.已知点P是的中线BD上一点（不包含端点）且，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.12.若函数存在两个极值点，，则（）A.函数至少有一个零点 B.或C. D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知是关于x的方程的根，则实数______.14.双曲线的渐近线方程为，则______.15.已知平面对量，，均为单位向量，且，则的最大值为______.16.公比为q的等比数列满意：，记，则当q最小时，使成立的最小n值是______.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知数列满意，，且.（1）当成等差数列时，求k的值；（2）当且，时，求及的通项公式.18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，平面，E为PD中点.（1）若，求证：平面PCD；（2）当直线PC与平面ACE所成角最大时，求三棱锥的体积.19.（本小题满分12分）某景区内有一项“投球”嬉戏，嬉戏规则如下：游客投球目标为由近及远设置的A，B，C三个空桶，每次投一个球，投进桶内即胜利，游客每投一个球交费10元，投进A桶，嘉奖游客面值20元的景区消费券；投进B桶，嘉奖游客面值60元的景区消费券；投进C桶，嘉奖游客面值90元的景区消费券；投不进则没有嘉奖.游客各次投球是否投进相互独立.（1）向A桶投球3次，每次投进的概率为p，记投进2次的概率为，求的极大值点；（2）游客甲投进A，B，C三桶的概率分别为，，，若他投球一次，他应当选择向哪个桶投球更有利？说明理由.20.（本小题满分12分）如图，在中，D为AC的中点，且（1）证明：；（2）若，求.21.（本小题满分12分）已知抛物线与直线交于M，N两点，且线段MN的中点为.（1）求抛物线C的方程；（2）过点P作直线m交抛物线于点A，B，是否存在定点M，使得以弦AB为直径的圆恒过点M.若存在，恳求出点M坐标；若不存在，请说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数.（1）求函数的最大值；（2）证明：长沙市周南中学2024届高三其次次月考数学试题时量：120分钟 重量：150分 命题人：王立象 审题人：陈秀丽一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【详解】由题意可知，，又因为，所以．选B2.【详解】函数的定义域为，，所以，函数为奇函数，解除B选项；当时，，则，解除D选项；∵，，则，所以，函数在上不是减函数，解除A选项．故选：C.3.答案B4.答案B5.答案A6.答案A7.【解析】函数为偶函数且为其一条对称轴，故，明显，故.因为，，，所以，所以.故选：D.8.解：以D为坐标原点，，，为x，y，z轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，设A关于平面的对称点为，则，平面的法向量是又A与到平面的距离，又，设∴而∴ ∴（当且仅当，P，E三点共线时取等号），即的最小值为3.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.9.【详解】A：由，依据等比的性质有，正确；B：当，时，有，错误；C：，而，即，由正弦定理易得，正确；D：如下图，，是单位向量，则，即、，则且AG平分，，的夹角为，易知为等边三角形，正确.故选：ACD10.【解析】因为，所以关于点对称，要使为奇函数，因为关于点对称，为奇函数，所以只需使为偶函数即可，所以，，故符合题意的有B、D；故选：BD.11.答案AC12.【详解】对于A，，∴是的一个零点，故A正确；对于B，∵存在两个极值点，，∴有两个不相等的实数根，即有两个变号零点，∴，即，∴或又，，∴，解得综上，，故B错误；对于C，由B选项可得，，∴，∴，∴故C正确；对于D，将，代入上式令有在上单调递增，∴，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.答案14.答案15.【详解】∵，∴，∴，，，∵，，∴，即∴的最大值为.16.解：构造函数，此时；∴ 答案15.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.解：（1）因为成等差数列，所以，所以，又，所以.（2）因为，所以，，所以，所以，因为，又由，所以是首项为，公比为2的等比数列，所以，所以，∴所以.18.【详解】（1）证明：∵平面ABCD，平面ABCD∴∵四边形ABCD为矩形，∴又，AD，平面PAD∴平面PAD，∴平面PAD，∴在中，，E为PD中点，∴又，PD，平面PCD，∴平面PCD.（2）以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，，，∴，，，设平面ACE的一个法向量为，则，∴，令，解得.∴.设直线PC与平面ACE所成角为，则，当且仅当时，等号成立.∴三棱锥的体积.19.解：（1）3次向A桶投球投进2次的概率..令，得.当时，；当时，.∴在上单调递增，在单调递减，∴所以的极大值点.（2）由（1）得游客甲投进A，B，C三桶的概率分别为，，.设投进A箱的纯收入为X元，；设投进B精的纯收入为Y元。；设投进C箱的纯收入为Z元，；因为所以游客甲选择向B桶投球更有利.20.解：（1）因为D为AC的中点，故∴又，于是.（2）设则，∴，.在中，∴.21.解析