统考版2025届高考数学二轮专项分层特训卷一客观题专练2集合与常用逻辑用语不等式复数理

集合与常用逻辑用语、不等式、复数(2)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2024·全国甲卷(理)]设全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，则∁U(M∪N)＝()A．{x|x＝3k，k∈Z}B．{x|x＝3k－1，k∈Z}C．{x|x＝3k－2，k∈Z}D．∅2．[2024·全国甲卷(理)]设a∈R，(a＋i)(1－ai)＝2，则a＝()A．－2B．－1C．1D．23．[2024·四川省通江中学高二期中]设x、y都是实数，则“x>2且y>3”是“x＋y>5且xy>6”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．[2024·天津静海一中高三阶段练习]对于随意实数x，不等式(a－1)x2－2(a－1)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，3)B．(－∞，3]C．(－3，1)D．(－3，1]5．[2024·北京市育英学校期中]函数f(x)＝eq\f(x,x2＋1)()A．有最大值，没有最小值B．有最小值，没有最大值C．有最大值，也有最小值D．没有最大值，也没有最小值6．[2024·湖南雅礼中学一模]已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为()A．77B．49C．45D．307．[2024·黑龙江齐齐哈尔二模]若命题“∃a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a<0”为假命题，则实数x的取值范围为()A．[－1，4]B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5,3)))C．[－1，0]∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，4))D．[－1，0)∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，4))8．[2024·山东潍坊二模]已知正实数a，b满意a2＋2ab＋4b2＝6，则a＋2b的最大值为()A．2eq\r(5)B．2eq\r(2)C．eq\r(5)D．29．[2024·广东二模]已知复数z的共轭复数是eq\o(z,\s\up6(－))，(1－i)z＝1＋i，i是虚数单位，则下列结论错误的是()A．z2024＝4B．z·eq\o(z,\s\up6(－))的虚部是0C．|z·eq\o(z,\s\up6(－))＋2z|＝eq\r(5)D．z·eq\o(z,\s\up6(－))＋2z在复平面内对应的点在第一象限10．[2024·重庆市育才中学模拟预料]已知a，b∈R，则下列叙述中正确的是()A．若a>b，则eq\f(1,a)<eq\f(1,b)B．若a－|b|>0，则a＋b>0C．“a>1”是“a2>a”的充要条件D．命题“∀a≥1，a2－1≥0”的否定是“∃a<1，a2－1<0”11．[2024·全国高三专题练习]若∃x0∈[eq\f(1,2)，2]，使得2xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－λx0＋1<0成立是假命题，则实数λ不行能的取值是()A．eq\f(3,2)B．2C．2eq\r(2)D．eq\f(9,2)12．[2024·山西省吕梁市兴县、岚县期中]在实数集R中定义一种运算“*”，对随意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：①对随意a∈R，a*0＝a；②对随意a，b∈R，a*b＝ab＋(a*0)＋(b*0).则eq\r(x)*eq\f(1,\r(x))的最小值为()A．2B．3C．6D．8[答题区]题号123456789101112答案二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2024·河北邢台阶段练习]若复数m－4＋(m2－16)i≥0，则实数m的值为________．14．[2024·全国高三专题练习]某中学的学生主动参与体育熬炼，其中有75%的学生喜爱足球或游泳，56%的学生喜爱足球，38%的学生喜爱游泳，则该中学既喜爱足球又喜爱游泳的学生数占该校学生总数的比例是________．15．[2024·湖北武汉期中]若不等式|x|<a的一个充分条件为－2<x<0，则实数a的最小值是________．16．[2024·全国高三专题练习]某工厂须要建立一个仓库，依据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元．集合与常用逻辑用语、不等式、复数（2）1．A方法一M＝{…，－2，1，4，7，10，…}，N＝{…，－1，2，5，8，11，…}，所以M∪N＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以∁U（M∪N）＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍数，即∁U（M∪N）＝{x|x＝3k，k∈Z}，故选A.方法二集合M∪N表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集，故选A.2．C∵（a＋i）（1－ai）＝a＋i－a2i－ai2＝2a＋（1－a2）i＝2，∴2a＝2且1－a2＝0，解得a＝1，故选C.3．A由x>2且y>3，必有x＋y>5且xy>6，当x＋y>5且xy>6时，如x＝1，y＝7不满意x>2，故不肯定有x>2且y>3.所以“x>2且y>3”是“x＋y>5且xy>6”的充分不必要条件，故选A.4．D当a＝1时，不等式为－4<0恒成立，故满意要求；当a≠1时，要满意：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－1<0,Δ<0))，解得－3<a<1，综上所述，实数a的取值范围是（－3，1].故选D.5．C当x＝0时，f（x）＝0；当x≠0时，f（x）＝eq\f(x,x2＋1)＝eq\f(1,x＋\f(1,x))，当x>0时，x＋eq\f(1,x)≥2，所以0<f（x）≤eq\f(1,2)，当x<0时，x＋eq\f(1,x)＝－[（－x）＋（－eq\f(1,x)）]≤－2，所以－eq\f(1,2)≤f（x）<0.综上，－eq\f(1,2)≤f（x）≤eq\f(1,2)，即f（x）min＝－eq\f(1,2)，f（x）max＝eq\f(1,2)，故选C.6．C因为集合A＝{（x，y）|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，所以集合A中有5个元素（即5个点），即图中圆中的整点，集合B＝{（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}中有25个元素（即25个点）：即图中正方形ABCD中的整点，集合A⊕B＝{（x1＋x2，y1＋y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}的元素可看作正方形A1B1C1D1中的整点（除去四个顶点），即7×7－4＝45个.7．C命题“∃a∈[－1，3]，ax2－（2a－1）x＋3－a<0”为假命题，其否定为真命题，即“∀a∈[－1，3]，ax2－（2a－1）x＋3－a≥0”为真命题．令g（a）＝ax2－2ax＋x＋3－a＝（x2－2x－1）a＋x＋3≥0，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(g（－1）≥0,g（3）≥0))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋3x＋4≥0,3x2－5x≥0))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤4,x≥\f(5,3)或x≤0))，所以实数x的取值范围为[－1，0]∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，4)).8．B因为（eq\f(a＋2b,2)）2－2ab＝（eq\f(a－2b,2)）2≥0，所以2ab≤（eq\f(a＋2b,2)）2，当且仅当a＝2b时等号成立，因为a2＋2ab＋4b2＝6，所以（a＋2b）2－2ab＝6，即（a＋2b）2－6＝2ab，所以（a＋2b）2－6≤（eq\f(a＋2b,2)）2，即（a＋2b）2≤8，因为a，b为正实数，所以a＋2b>0，因此0<a＋2b≤2eq\r(2)，故a＋2b的最大值为2eq\r(2)，此时eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\r(2),b＝\f(\r(2),2)))，故选B.9．A由题意z＝eq\f(1＋i,1－i)＝eq\f(（1＋i）2,（1－i）（1＋i）)＝eq\f(2i,2)＝i，eq\o(z,\s\up6(－))＝－i，z2024＝i2024＝－1，A错；z·eq\o(z,\s\up6(－))＝1，虚部是0，B正确；|z·eq\o(z,\s\up6(－))＋2z|＝|1＋2i|＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，C正确；z·eq\o(z,\s\up6(－))＋2z＝1＋2i，对应点为（1，2），在第一象限，D正确；故选A.10．B对A，当a＝1，b＝－1时，eq\f(1,a)<eq\f(1,b)不成立，故A错误；对B，因为a－|b|>0，即a>|b|，所以－a<b<a，所以0<a＋b<2a，故B正确；对C，当a>1时，a2－a＝a（a－1）>0，所以a2>a，故充分性成立；当a2>a，即a<0或a>1，故a>1不肯定成立，故必要性不成立，所以“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件，故C错误；对D，命题“∀a≥1，a2－1≥0”的否定是“∃a≥1，a2－1<0”，故D错误．故选B.11．D由条件可知∀x∈[eq\f(1,2)，2]，2x2－λx＋1≥0是真命题，即λ≤eq\f(2x2＋1,x)＝2x＋eq\f(1,x)，即λ≤（2x＋eq\f(1,x)）min，x∈[eq\f(1,2)，2]，设f（x）＝2x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(2x·\f(1,x))＝2eq\r(2)，x∈[eq\f(1,2)，2]，等号成立的条件是2x＝eq\f(1,x)⇒x＝eq\f(\r(2),2)∈[eq\f(1,2)，2]，所以f（x）的最小值是2eq\r(2)，即λ≤2eq\r(2)，满意条件的有ABC.故选D.12．B依题意可得eq\r(x)*eq\f(1,\r(x))＝eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x))＋1≥2eq\r(\r(x)·\f(1,\r(x)))＋1＝3，当且仅当x＝1时等号成立，所以eq\r(x)*eq\f(1,\r(x))的最小值为3.故选B.13．答案：4解析：由题意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－4≥0,m2－16＝0))，可得m＝4.14．答案：19%解析：设有x%的学生既喜爱足球又喜爱游泳，则有（56－x）%只喜爱足球，有（38－x）%只喜爱游泳，由题意可得（56－x）%＋x%＋（38－x）%＝75%，解得x＝19.15．答案：2解析：由不等式|x|<a，当a≤0时，不等式|x|<a的解集为空集，明显不成立；当a>0时，不等式|x|<a，可得－a<x<a，要使得不等式|x|<a的一个充分条件为－2<x<0，则满意{x|－2<x<0}⊆{x|－a<x<a}，所以－2≥－a，即a