湖南省长沙市2024-2025学年高二数学上学期期中试卷

Page8湖南省长沙市2024-2025学年高二数学上学期期中试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页．时量120分钟．满分100分．第Ⅰ卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知向量，则向量的模为（）A．1 B．2 C． D．2．数列为等差数列，若，则（）A．1 B．2 C．3 D．43．双曲线的离心率是（）A．1 B． C．2 D．4．直线在轴上的截距为（）A．2 B． C． D．35．已知圆锥的轴截面是边长为8的等边三角形，则该圆锥的侧面积是（）A． B． C． D．6．在平面直角坐标系中，已知点，，动点M满意，则的最大值为（）A． B．0 C．1 D．27．如图所示，在正方体中，点E是棱BC的中点，点G是棱的中点，则异面直线GB与所成的角为（）A．120° B．90° C．60° D．30°8．对任一实数序列，定义序列，它的第项为．假定序列的全部项都为1，且，则（）A．1000 B．2000 C．2003 D．4006二、多项选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对得2分）9．数列满意，对随意，都有，数列前n项和为，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．10．已知直线，A（1，2），B（3，3），则下列结论正确的是（）A．当时，直线的倾斜角为45° B当时，直线的斜率不存在C．直线恒过定点 D．当时，直线与直线垂直11．若函数的图象与直线有公共点，则实数的可能取值为（）A． B．1 C． D．012．已知抛物线C：（）的焦点为，直线的斜率为，且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若，则以下结论正确的是（）A． B．F为AD中点C． D．第Ⅱ卷三、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）13．已知是椭圆上的一点，则点到两焦点的距离之和是．14．正四棱锥的底面边长和高都等于2，则该四棱锥的体积为．15．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种质量单位）．这个问题中，戊所得为钱．16．2024年11月，我国用长征五号遥五运载火箭胜利放射探月工程嫦娥五号探测器，探测器在进入近圆形的环月轨道后，将实施着陆器和上升器组合体与轨道器和返回器组合体分别．我们模拟以下情景：如图，假设月心位于坐标原点，探测器在处以12km/s的速度匀速直线飞向距月心2000km的圆形轨道上的某一点P，在点P处分别出着陆器和上升器组合体后，轨道器和返回器组合体马上以18km/s的速度匀速直线飞至，这一过程最少用时s．四、解答题（本题共6小题，每小题8分，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（6分）已知三个顶点是，，．（1）求BC边上的垂直平分线的直线方程；（2）求点A到BC边所在直线的距离．18．（8分）已知双曲线C与椭圆有公共焦点，且它的一条渐近线为．（1）求椭圆的焦点坐标；（2）求双曲线的标准方程．19．（8分）已知数列的前项和为，点在直线上．（1）求数列的前项和，以及数列通项公式；（2）若数列满意：，设数列的前项和为，求的最小值．20．（8分）已知，直线和圆．（1）求直线斜率的取值范围；（2）直线能否将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？21．（8分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，．（1）求证：平面；（2）若直线与底面所成的角的正切值为，求二面角的正切值．22．（10分）设抛物线（）的焦点为F，点M在抛物线C上，O为坐标原点，已知，．（1）求抛物线的方程；（2）过焦点作直线交于，两点，为上异于，的随意一点，直线，分别与的准线相交于，两点，证明：以线段为直径的圆经过轴上的两个定点．长郡中学2024—2024学年度高二第一学期期中考试数学参考答案题号123456789101112答案CBDBCCBDADCDABCDABC一、单项选择题1.C2.B3.D4.B5.C6.C易知的轨迹为椭圆，其方程为，设，则，∴，因为，所以，即，∴.故选C.7.B8.D【解析】依题意知是公差为1的等差数列，设其首项为，通项为，则，于是.由于，即，解得，.故.故选D.二、多项选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对得2分）9.AD10.CD11.ABCD12.ABC【解析】如图，，直线的斜率为，则直线方程为，联立，得.解得，，由，得.∴抛物线方程为.，则；，∴，，则为中点.∴运算结论正确的是A、B、C.故选：ABC.三、填空题13.614.【解析】：∵正四棱锥的底面边长和高都等于2，∴该四棱锥的体积.15.【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，，，则依据题意有，解得，所以戊所得为.16.【解析】设，，飞行过程所用时间，令，即，设点在圆形轨道内，取点坐标为，而，由得，，即，设动点，当时，即，化简整理得，即满意的动点的轨迹就是给定的圆形轨道，所以距月心2000km的圆形轨道上的随意点均有成立，如图，连，于是有，当且仅当为线段与圆形轨道交点时取“＝”，即有，所以这一过程最少用时.四、解答题17.【解析】（1）∵，，∴，则所求直线的斜率为：.又的中点的坐标为，所以边上的中垂线所在的直线方程为：.（2）直线的方程为：，则点到直线的距离为：.18.【解析】（1）椭圆的焦点坐标为.（2）设的方程为，即，依题意，解得，所以的标准方程为：.19.【解析】（1）由题意知：，则，当时，；当时，；而，∴，.（2），当时，当时，故.20.【解析】（1）∵，∴（*），（求出斜率表达式给2分）∵，∴当时，，解得且，又当时，，方程（*）有解，综上所述，.（2）假设直线能将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧.设直线与圆交于、两点，则.∵圆，∴圆心到的距离为1.故有，整理得∵，∴无实数解.因此直线不行能将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧.21.【解析】（1）证明：在四边形中，，，，所以，都为等腰直角三角形，即，又因为平面平面，，平面平面，所以直线平面，又平面，所以，又，所以平面.（2）以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图，，则，，因为直线与底面所成角的正切值为，所以在中，，∴.设平面和平面法向量分别为，，易知可取，，因为，，所以，即，令，解得.设所求二面角为，所以，∴.22.【解析】