福建省厦门市2025届高三数学下学期3月二模试题

2024届高考适应性考试高三数学试题留意事项:1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、座号、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的签案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.严禁在考场内运用计算器、电子存储器、手机等违反数学考试纪律的一切设备。4.考试范围为:高考全部内容。本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。5.考试结束后，只需将答题卡交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则的元素个数为A．1 B．2 C．3 D．42．若虚数z使得z2+z是实数，则z满意A．实部是 B．实部是 C．虚部是0 D．虚部是3．平面对量，若，则A．6 B．5 C． D．4．设公差不为零的等差数列的前n项和为，，则A． B．-1 C．1 D．5．截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角而得到．如图，将棱长为6的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面截角得到全部棱长均为2的截角四面体，则该截角四面体的体积为A． B． C． D．6．已知函数的部分图象如图所示，其中.在已知的条件下，则下列选项中可以确定其值的量为 B． C． D．7．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的离心率为A． B． C． D．8．已知函数，若成立，则实数a的取值范围为A． B．C． D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多个符合题目要求。全不选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知圆M：，直线l：，直线l与圆M交于A，C两点，则下列说法正确的是A．直线l恒过定点 B．的最小值为4C．的取值范围为 D．当最小时，其余弦值为10．如图，在棱长为4的正方体中，E，F，G分别为棱，，的中点，点P为线段上的动点，则A．两条异面直线和所成的角为 B．存在点P，使得平面C．对随意点P，平面平面 D．点到直线的距离为411．在一次全市视力达标测试后，该市甲乙两所学校统计本校理科和文科学生视力达标率结果得到下表：甲校理科生甲校文科生乙校理科生乙校文科生达标率60%70%65%75%定义总达标率为理科与文科学生达标人数之和与文理科学生总人数的比，则下列说法中正确的有A．乙校的理科生达标率和文科生达标率都分别高于甲校B．两校的文科生达标率都分别高于其理科生达标率C．若甲校理科生和文科生达标人数相同，则甲校总达标率为65%D．甲校的总达标率可能高于乙校的总达标率12．已知函数，将的全部极值点依据由小到大的依次排列，得到数列，对于正整数n，则下列说法中正确的有A． B．C．为递减数列 D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，，则在方向上的投影向量的坐标为▲．14．若两条直线与圆的四个交点能构成矩形，则▲．15．函数，若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围为▲．16．设F为双曲线的右焦点，A，B分别为双曲线E的左右顶点，点P为双曲线E上异于A，B的动点，直线l：x＝t使得过F作直线AP的垂线交直线l于点Q时总有B，P，Q三点共线，则的最大值为▲．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）设数列的前n项和为．已知，，．（1）求证：数列是等差数列；（2）设数列的前n项和为，且，令，求数列的前n项和．18．（12分）如图，四棱台的上下底面分别是边2和4的正方形，侧棱上点满意.（1）证明：直线平面；（2）若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值.19．（12分）如图，在平面四边形中，，，.（1）当，时，求的面积；（2）当，时，求.20．（12分）某市实行聘请考试，共有4000人参与，分为初试和复试，初试通过后参与复试．为了解考生的考试状况，随机抽取了100名考生的初试成果，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示．（1）依据频率分布直方图，试求样本平均数的估计值；（2）若全部考生的初试成果X近似听从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，试估计初试成果不低于88分的人数；（3）复试共三道题，第一题考生答对得5分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得10分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成果．已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响．记该考生的复试成果为Y，求Y的分布列及均值．附：若随机变量X听从正态分布，则：，，．21．（12分）已知椭圆的右顶点为A，左焦点为F，过点F作斜率不为零的直线l交椭圆于两点，连接，分别交直线于两点，过点F且垂直于的直线交直线于点R．（1）求证：点R为线段的中点；（2）记，，的面积分别为，，，摸索究：是否存在实数使得？若存在，恳求出实数的值；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知关于的方程有两个不相等的正实根和，且.（1）求实数的取值范围；（2）设为常数，当改变时，若有最小值，求常数的值.2024届高考适应性考试数学试题参考答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．B2．A3．B4．C5．C6．B7．A8．C二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。9．AB10．BCD11．AC12．ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（3,3）14．815．16．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）（1）①，当时，②，①－②得：,即，所以，且，所以是以1为公差的等差数列．（2）由（1）得，．当时，；当时，；又满意上式，所以．所以，记数列的前n项和为．方法一：（两次错位相减），①，②①－②得，③则，④③－④得，所以．方法二：（裂项）因为，所以．18．（12分）（1）证明：延长和交于点，连接交于点，连接，由，故，所以，所以，所以，所以为中点，又且，且，所以且，故四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）解：以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系.则.所以.设平面的法向量，由，得，取，故所求角的正弦值为，所以直线与平面所成角的正弦值为.19．（12分）（1）当时，在中，由余弦定理得，即，解得，，因为，则，又，所以的面积是.（2）在中，由正弦定理得，即，在中，由正弦定理得，即，则，整理得，而，为锐角，所以.20．（12分）（1）样本平均数的估计值为．（2）因为学生初试成果X听从正态分布，其中，，则，所以，所以估计初试成果不低于88分的人数为人．（3）Y的取值分别为0，5，10，15，20，25，则，，，，，，故Y的分布列为：Y0510152025P所以数学期望为．21．（12分）（1）证明：由题意知，，设，，，联立，得，，则，，直线的方程为，令，得，所以，同理，．所以,直线，令得，所以，则，故点R为线段的中点．（2）由（1）知，，又，所以．由（1）知点R为线段的中点，故，所以．故存在，使得．22．（12分）（1）由且，可得.设，则，令，解得.当时，，单调递增；当时，，单调递减；函数的图象如下：又趋向于0时趋向，趋向于时趋向0；要使图象与直线有两个交点，则，故a的取值范围是.（2）因为，由（1）得，则，设，则，即，由有最小值，即有最小值.设

，记，由于，若，则，可得单调递增，此时，即单调递