统考版2025版高考数学一轮复习微专题小练习专练26平面向量基本定理及坐标表示理

专练26平面对量基本定理及坐标表示命题范围：平面对量基本定理及坐标表示，用坐标表示平面对量的加法、减法与数乘运算，用坐标表示的平面对量共线的条件．[基础强化]一、选择题1．假如e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内全部向量的一组基底的是()A．e1与e1＋e2B．e1－2e2与e1＋2e2C．e1＋e2与e1－e2D．e1＋3e2与6e2＋2e12．已知平面对量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则向量eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b＝()A．(－2，－1)B．(－2，1)C．(－1，0)D．(－1，2)3．已知a＝(2，1)，b＝(1，x)，c＝(－1，1).若(a＋b)∥(b－c)，且c＝ma＋nb，则m＋n等于()A．eq\f(1,4)B．1C．－eq\f(1,3)D．－eq\f(1,2)4．设eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(a，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－b，0)，a＞0，b＞0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值是()A.2B．4C．6D．85．已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若eq\o(MN,\s\up6(→))＝－3a，则点N的坐标为()A.(2，0)B．(－3，6)C．(6，2)D．(－2，0)6．已知向量m＝(sinA，eq\f(1,2))与向量n＝(3，sinA＋eq\r(3)cosA)共线，其中A是△ABC的内角，则角A的大小为()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,3)D．eq\f(π,2)7．已知向量a＝(1，－2)，b＝(x，3y－5)，且a∥b，若x，y均为正数，则xy的最大值是()A．2eq\r(6)B．eq\f(25,12)C．eq\f(25,24)D．eq\f(25,6)8．设向量a＝(－3，4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向量b的坐标为()A．(－eq\f(6,5)，eq\f(8,5))B．(－6，8)C．(eq\f(6,5)，－eq\f(8,5))D．(6，－8)9．[2024·安徽省蚌埠市质检]如图，在梯形ABCD中，AB∥DC且AB＝2DC，点E为线段BC靠近点C的一个四等分点，点F为线段AD的中点，AE与BF交于点O，且eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(BC,\s\up6(→))，则x＋y的值为()A．1B．eq\f(5,7)C．eq\f(14,17)D．eq\f(5,6)二、填空题10．[2024·全国甲卷]已知向量a＝(3，1)，b＝(1，0)，c＝a＋kb.若a⊥c，则k＝________．11．[2024·安徽省滁州市质检]已知a＝(1，3)，a＋b＝(－1，2)，则|a－b|＋a·b＝________．12．已知△ABC和点M满意eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，若存在实数m，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))成立，则m＝________．[实力提升]13．已知在Rt△ABC中，A＝eq\f(π,2)，AB＝3，AC＝4，P为BC上随意一点(含B，C)，以P为圆心，1为半径作圆，Q为圆上随意一点，设eq\o(AQ,\s\up6(→))＝aeq\o(AB,\s\up6(→))＋beq\o(AC,\s\up6(→))，则a＋b的最大值为()A．eq\f(13,12)B．eq\f(5,4)C．eq\f(17,12)D．eq\f(19,12)14．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若eq\o(CA,\s\up6(→))＝λeq\o(CE,\s\up6(→))＋μeq\o(DB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为()A．eq\f(6,5)B．eq\f(8,5)C．2D．eq\f(8,3)15．[2024·东北三省三校模拟]在正六边形ABCDEF中，点G为线段DF(含端点)上的动点，若eq\o(CG,\s\up6(→))＝λeq\o(CB,\s\up6(→))＋μeq\o(CD,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是________．16．如图，已知平面内有三个向量eq\o(OA,\s\up6(→))、eq\o(OB,\s\up6(→))、eq\o(OC,\s\up6(→))，其中eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))的夹角为120°，eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OC,\s\up6(→))的夹角为30°，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3).若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．专练26平面对量基本定理及坐标表示1．D选项A中，设e1＋e2＝λe1，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝λ，,1＝0))无解；选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝λ，,－2＝2λ))无解；选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝λ，,1＝－λ))无解；选项D中，e1＋3e2＝eq\f(1,2)(6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量，不能作为平面内全部向量的一组基底．2．Deq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b＝(eq\f(1,2)，eq\f(1,2))－(eq\f(3,2)，－eq\f(3,2))＝(－1，2).3．C∵a＋b＝(3，1＋x)，b－c＝(2，x－1)，∵(a＋b)∥(b－c)，∴3(x－1)＝2(x＋1)，得x＝5，∴b＝(1，5)，又c＝ma＋nb，∴(－1，1)＝m(2，1)＋n(1，5)∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m＋n＝－1，,m＋5n＝1，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－\f(2,3)，,n＝\f(1,3)，))∴m＋n＝－eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)＝－eq\f(1,3).4．D∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(a－1，1)，eq\o(CB,\s\up6(→))＝(a＋b，－1)，∵A，B，C三点共线，∴(a－1)×(－1)＝1×(a＋b)，∴2a＋b＝1，又a＞0，b＞0，∴eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝(eq\f(1,a)＋eq\f(2,b))(2a＋b)＝4＋eq\f(b,a)＋eq\f(4a,b)≥4＋2eq\r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝8(当且仅当eq\f(b,a)＝eq\f(4a,b)即a＝eq\f(1,4)，b＝eq\f(1,2)时等号成立)5．A设点N的坐标为(x，y)，则eq\o(MN,\s\up6(→))＝(x－5，y＋6)又eq\o(MN,\s\up6(→))＝－3a＝(－3，6)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－5＝－3，,y＋6＝6，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝0.))6．C∵m∥n，∴sinA(sinA＋eq\r(3)cosA)－eq\f(3,2)＝0，∴2sin2A＋2eq\r(3)sinAcosA＝3.可化为1－cos2A＋eq\r(3)sin2A＝3，∴sin(2A－eq\f(π,6))＝1.∵A∈(0，π)，∴(2A－eq\f(π,6))∈(－eq\f(π,6)，eq\f(11π,6)).因此2A－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，解得A＝eq\f(π,3).故选C.7．C∵a∥b，∴3y－5＝－2x，∴2x＋3y＝5，又x，y均为正数，∴5＝2x＋3y≥2eq\r(2x·3y)＝2eq\r(6xy)，(当且仅当2x＝3y，即：x＝eq\f(5,4)，y＝eq\f(5,6)时等号成立)，∴xy≤eq\f(25,24)，故选C.8．D由题意不妨设b＝(－3m，4m)(m<0)，则|b|＝eq\r(（－3m）2＋（4m）2)＝10，解得m＝－2或m＝2(舍去)，所以b＝(6，－8)，故选D.9．C依据向量的线性运算法则，可得eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(BC,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋y(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))－yeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))＝(x－y)eq\o(AB,\s\up6(→))＋y·(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝(x－y)eq\o(AB,\s\up6(→))＋y·(2eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→)))＝(x－y)eq\o(AB,\s\up6(→))＋2yeq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)yeq\o(AB,\s\up6(→))＝(x－eq\f(y,2))eq\o(AB,\s\up6(→))＋2yeq\o(AF,\s\up6(→))，因为B，O，F三点共线，可得x－eq\f(y,2)＋2y＝1，即2x＋3y－2＝0；又由eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))－xeq\o(BA,\s\up6(→))＋y·eq\f(4,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＝(1－x)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(4y,3)eq\o(BE,\s\up6(→))，因为A，O，E三点共线，可得1－x＋eq\f(4y,3)＝1，即3x－4y＝0，联立方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y－2＝0,3x－4y＝0))，解得x＝eq\f(8,17)，y＝eq\f(6,17)，所以x＋y＝eq\f(14,17).10．－eq\f(10,3)解析：c＝(3，1)＋(k，0)＝(3＋k，1)，a·c＝3(3＋k)＋1×1＝10＋3k＝0，得k＝－eq\f(10,3).11．0解析：a＝(1，3)，a＋b＝(－1，2)，b＝(－1，2)－(1，3)＝(－2，－1)，a－b＝(3，4)，|a－b|＋a·b＝eq\r(9＋16)＋(－2－3)＝0.12．3解析：∵eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，∴M为△ABC的重心，则eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝3eq\o(AM,\s\up6(→))，∴m＝3.13．C依据题设条件建立如图所示的平面直角坐标系，则C(0，4)，B(3，0)，易知点Q运动的区域为图中的两条线段DE，GF与两个半圆围成的区域(含边界)，由eq\o(AQ,\s\up6(→))＝aeq\o(AB,\s\up6(→))＋beq\o(AC,\s\up6(→))＝(3a，4b)，设z＝a＋b，则b＝z－a，所以eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(3a，4z－4a).设Q(x，y)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3a，,y＝4z－4a，))消去a，得y＝－eq\f(4,3)x＋4z，则当点P运动时，直线y＝－eq\f(4,3)x＋4z与圆相切时，直线的纵截距最大，即z取得最大值，不妨作AQ⊥BC于Q，并延长交每个圆的公切线于点R，则|AQ|＝eq\f(12,5)，|AR|＝eq\f(17,5)，所以点A到直线y＝－eq\f(4,3)x＋4z，即4x＋3y－12z＝0的距离为eq\f(17,5)，所以eq\f(|－12z|,\r(32＋42))＝eq\f(17,5)，解得z＝eq\f(17,12)，即a＋b的最大值为eq\f(17,12).14．B建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0).不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，所以C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，∴eq\o(CA,\s\up6(→))＝(－2，2)，eq\o(CE,\s\up6(→))＝(－2，1)，eq\o(DB,\s\up6(→))＝(1，2)，∵eq\o(CA,\s\up6(→))＝λeq\o(CE,\s\up6(→))＋μeq\o(DB,\s\up6(→))，∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2λ＋μ＝－2，,λ＋2μ＝2，))解得λ＝eq\f(6,5)，μ＝eq\f(2,5)，则λ＋μ＝eq\f(8,5).故选B.15．[1，4]解析：依据题意，不妨设正六边形ABCDEF的边长为2eq\r(3)，以中心O为原点建立平面直角坐标系，如图所示：则可得F(－2eq\r(3)，0)，D(eq\r(3)，3)，C(2eq\r(3)，0)，B(eq\r(3)，－3)，设点G的坐标为(m，n)，则eq\o(CG,\s\up6(→))＝(m－2eq\r(3)，n)，eq\o(CB,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)，－3)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)，3)，由eq\o(CG,\s\up6(→))＝λeq\o(CB,\s\up6(→))＋μeq\o(CD,\s\up6(→))可得：m－2eq\r(3)＝－eq\r(3)λ－eq\r(3)μ，即λ＋μ＝－eq\f(\r(3),3)m＋2