辽宁省2024-2025学年高二数学上学期第二次阶段测试

Page24辽宁省2024届高二其次次阶段测试数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若向量，，且，则实数值是（）A.0 B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知利用数量积为零列式计算即可.【详解】解：因为，，所以，因为，所以，解得．故选：C．2.已知点，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依据题意知A、B两点在直线的异侧或在直线上，得出不等式（2k﹣2﹣1）×（﹣k﹣3﹣1）≤0，求出解集即可．【详解】依据题意，若直线l：kx﹣y﹣1＝0与线段AB相交，则A、B在直线的异侧或在直线上，则有（2k﹣2﹣1）×（﹣k﹣3﹣1）≤0，即（2k﹣3）（k+4）≥0，解得k≤﹣4或k≥，即k的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）．故选C．【点睛】本题考查直线与线段AB相交的应用问题，考查了转化思想，是基础题．3.若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求得圆心坐标为，依据斜率公式求得，再由依据圆的弦的性质，得到，结合直线点斜式方程，即可求解.【详解】由题意，圆，可得，所以圆心坐标为，半径为，又由斜率公式，可得，依据圆的弦的性质，可得，所以，所以弦所在直线方程为，即，所以弦所在直线方程为.故选：D.【点睛】本题主要考查了直线方程的求解，以及圆的弦的性质，其中解答中娴熟应用圆的弦的性质是解答的关键，着重考查推理与运算实力.4.已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.【详解】因为，由双曲线的定义可得，所以，；因,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故选：A【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.5.空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线l的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线l的方程为，则直线l与平面的位置关系为（）A.相交但不垂直 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题可知，平面的一个法向量和直线的一个方向向量，由和的位置关系，推断直线与平面的位置关系．【详解】平面的方程为，平面的一个法向量为，经过的直线l的方程为，直线的一个方向向量为，，∴，又点在直线l上但不在平面内，所以.故选：C．6.四面体ABCD的每条棱长均为2，点E､F､G分别是棱AB､AD､DC中点，则（）A.1 B.-1 C.4 D.-4【答案】A【解析】【分析】求出EG、EF、GF的长，从而求出，再由，能求出结果．【详解】∵四面体ABCD的每条棱长都等于2，点E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，∴，，

∴，又∴，

．

故选：A．7.已知平面的法向量为，点在平面内，点到平面的距离为，则（）A.-1 B.-11 C.-1或-11 D.-21【答案】C【解析】【分析】依据点到平面距离的向量法公式求解即可.【详解】，而，即，解得或－11.故选：C8.已知过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且，抛物线的准线l与x轴交于点C，于点，若四边形的面积为，则准线l的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】方法一：已知，求得，在利用直线方程和抛物线方程联立得到，解得，，再依据梯形面积公式即可求解出p，进而得到准线l的方程；方法二：依据抛物线焦半径公式，，已知，解得，求出高为，再依据梯形面积公式即可求解出p，进而得到准线l的方程.【详解】解：方法一：由题意知，准线的方程为，设，，则，由，得，即①由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，代人抛物线方程，消去，得,所以②联立①②，得，解得或（舍去），所以，因为，将的值代人，解得，所以准线的方程为，故选：D.方法二：设，，，则，，因为，所以，解得，则因为四边形是直角梯形，其中，，高为，所以四边形的面积为，解得，所以抛物线的准线方程为，故选：D.二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知A､B两点的坐标分别是，，直线AP､BP相交于点P，且两直线的斜率之积为m，则下列结论正确的是（）A.当时，点P的所在的曲线是焦点在x轴上的双曲线B.当时，点P的所在的曲线是焦点在y轴上的双曲线C.当时，点P的所在的曲线是焦点在y轴上的椭圆D.当时，点P的所在的曲线是圆【答案】AD【解析】【分析】设出点的坐标，利用斜率乘积转化为求解轨迹方程，通过的范围，推断选项的正误即可.【详解】设点的坐标为，则直线的斜率为，直线的斜率为，由已知可得，，化简得点的轨迹方程为，当时，点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的交点)，所以A正确；当时，点P的轨迹是焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的交点)，所以B错误；当时，点P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆(除去与x轴的交点)，所以C错误；当时，点P的轨迹为圆(除去与x轴的交点)，所以D正确.故选：AD.10.如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面ABCD，则（）A.B.PB与平面ABCD所成角为C.异面直线AB与PC所成角的余弦值D.平面PAB与平面ABCD所成二面角为45°【答案】AC【解析】【分析】设，先证，建立空间直角坐标系，结合空间向量的应用逐一推断即可得解.【详解】设，因为，，由余弦定理可得，即，从而，即，由底面ABCD，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，故，，，，，所以，所以，即，故A正确；易知面的一个法向量为，所以PB与平面ABCD所成角满意，即PB与平面ABCD所成角为，故B错误；异面直线AB与PC所成角满意，故C正确；设面的一个法向量为，所以，令，则，即，由于，故D错误；故选：AC.11.在平面直角坐标系xOy中，设曲线C的方程是，下列结论正确的是（）A.曲线C上的点与定点距离的最小值是B.曲线C上的点和定点的距离与到定直线l：的距离的比是C.曲线C绕原点顺时针旋转45°，所得曲线方程是D.曲线C的切线与坐标轴围成的三角形的面积是2【答案】ABD【解析】【分析】A选项，设出曲线随意一点的坐标，依据两点间的距离公式以及基本不等式求得“最小值”；B选项，结合点到直线的距离公式求得正确答案，C选项，通过求实半轴来进行推断；D选项，通过求切线方程来进行推断.【详解】曲线C的方程是，则，所以曲线是反比例函数对应的图象，即曲线是双曲线.A选项，设是曲线上的随意一点，，令，则，当时，，当且仅当时，等号成立，当时，，当且仅当时，等号成立，所以.所以，，所以当时，取得最小值为，A选项正确.B选项，到直线的距离为，所以曲线C上的点和定点的距离与到定直线l：的距离的比是，B选项正确.C选项，由上述分析可知曲线是双曲线，由于曲线的图象关于对称，所以是双曲线实轴所在直线，由解得或，点与点的距离是，所以双曲线的实轴长，而双曲线的实半轴，所以C选项错误.D选项，，所以在曲线上随意一点处的切线方程为，令得；令得，所以曲线C的切线与坐标轴围成的三角形的面积是，D选项正确.故选：ABD12.已知正方体的棱长为2，M为的中点，N为正方形ABCD所在平面内一动点，则下列命题正确的有（）A.若，则MN的中点的轨迹所围成图形的面积为B.若MN与平面ABCD所成的角为，则N的轨迹为圆C.若N到直线与直线DC的距离相等，则N的轨迹为抛物线D.若与AB所成的角为，则N的轨迹为双曲线【答案】BCD【解析】【分析】设MN中点为H，DM中点为Q，连接PQ，计算出PQ可知P的轨迹为圆可推断A；依据已知算出DN，可推断B；依据抛物线定义可推断C；以DA、DC、所在直线分别为x轴、y轴、z轴，利用向量的夹角公式计算可推断D.【详解】对于A，设MN中点为H，DM中点为Q，连接HQ，则，且，如图，若，则所以，，则，所以点H的轨迹是以Q为圆心，半径为的圆，面积，故A错误；对于B，，，则，所以N的轨迹是以D为圆心，半径为的圆，故B正确；对于C，点N到直线的距离为BN，所以点N到定点B和直线DC的距离相等，且B点不在直线DC上，由抛物线定义可知，N的轨迹是抛物线，故C正确；对于D，如图，以DA、DC、所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设，，，，所以，，，化简得，即，所以的轨迹为双曲线，故D正确；故选：BCD.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若三个点，，中恰有两个点在双曲线C：上，则双曲线C的渐近线方程为___________.【答案】【解析】【分析】利用双曲线的图象关于原点对称,得到点，在双曲线上，即可求出，进而求出双曲线的渐近线方程.【详解】因为三个点，，中恰有两个点在双曲线上，又双曲线的图象关于原点对称,所以点，双曲线上，所以，解得，所以其渐近线方程为：.故答案为：.14.历史上第一个探讨圆锥曲线的是梅纳库莫斯（公元前375年-325年），大约100年后，阿波罗尼奥更详尽､系统地探讨了圆锥曲线，并且他还进一步探讨了这些圆锥曲线的光学性质，比如：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的光线，经抛物线反射后，反射光线经过抛物线的交点.设抛物线C：，一束平行于抛物线对称轴的光线经过，被抛物线反射后，又射到抛物线上的Q点，则Q点的横坐标为___________.【答案】##0.0625【解析】【分析】依据题意，求得抛物线焦点的坐标及反射点的坐标，即可求得到反射光线所在直线方程，联立其与抛物线方程，求得点的坐标.【详解】因为经过点一束平行于C对称轴的光线交抛物线于点，故对，令，则可得，也即的坐标为，又抛物线的焦点的坐标为，故可得直线方程为，联立抛物线方程可得：，解得或，将代入，可得，即的坐标为，故答案为:.15.正方体的校长为1，点P是内不包括边界的动点，若，则线段AP长度的最小值为___________.【答案】##【解析】【分析】依据平面确定平面，进而在上，故当时，最小，计算线段长度利用等面积法计算得到答案.【详解】与相交于，连接，，，，，，故平面，，故平面，P是内不包括边界的动点，故在上，当时，最小中，，，依据等面积法：.故答案为：16.在平面直角坐标系xOy中，圆O：，，若圆O上存在两点A､B满意下列条件：M为弦AB的中点，，则实数m的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】由几何关系得，再由三角比列不等式求解，【详解】由M为弦AB的中点，，得，，点在圆外，设过点与圆相切的两条直线切点分别为，由题意得，，则，解得故答案为：四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.过椭圆内一点引一条直线与椭圆相交于A､B两点.（1）若M是线段AB的中点，求直线AB的方程；（2）若直线AB的斜率为2，求线段AB的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设出两交点坐标及直线的表达式，通过与中点的关系，作差，求出斜率，进而得出直线AB的方程.（2）写出直线的表达式，与椭圆方程联立，得出交点坐标，求出两点之间的距离.【小问1详解】由题意，在椭圆中，过的直线与椭圆相交于A､B两点，M是线段AB的中点∴设，，直线解得：∴∴，即【小问2详解】由题意及（1）得在椭圆中，过的直线与椭圆相交于A､B两点，直线AB的斜率为2，∴，即解得：或∴A､B两点坐标分别为，，∴18.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：及其上一点.（1）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且，求直线l的方程；（2）设点满意：存在圆M上的两点P和Q，使得，求实数t的取值范围.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）确定圆心和半径，依据平行得到直线方程为，依据弦长公式结合圆心到直线的距离得到答案.（2），，即在圆的内部，代入计算得到答案.【小问1详解】，即，故圆心，，，设直线方程，，故圆心到直线的距离为，即，解得或，故直线方程为或.【小问2详解】，即，，故在圆的内部，即，解得，即实数的取值范围是19.如图，四棱锥的底面为正方形，底面，设平面PAD与平面PBC的交线为l.（1）证明：平面PDC；（2）已知，Q为l上的点，且，求PB与平面QCD所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由，可推得，又易证平面，从而得平面；（2）建系，利用向量的坐标运算，求解与平面所成角的正弦值即可．【小问1详解】证明：，平面，平面，平面，又平面，且平面平面，，又底面，底面，，又正方形，，，平面平面，又，平面；【小问2详解】解：因为底面，面，所以，又正方形中，建立如图的空间直角坐标系，依据题意可得：，，，，，由于Q为l上的点，且，则，则，，，设平面的法向量为，则，令，则，，，，与平面所成角的正弦值为．20.已知圆M：与抛物线E：相交于四点A､B､C､D，且在四边形ABCD中，.（1）求实数m的取值范围；（2）设AC与BD相交于点G，面积为，求点G的坐标及m的值.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）设，，，，联立圆与抛物线方程，可得关于的一元二次方程，由判别式大于0及方程根的状况求得的范围；（2）由对称性，点在轴上，可设，由，结合根与系数的关系求得值，即可得到的坐标．再由，结合根与系数的关系即可求解．【小问1详解】依据圆与抛物线的对称性，四边形是以轴为对称轴的等腰梯形，不妨设，，在第一象限，，，，，则，，联立，得．上述方程有互异两正根，则，解得．【小问2详解】由对称性，点在轴上，可设，由，得，化简得，由，，，在抛物线上，且均为正数，所以，将其代入得：，由于，所以，由（1）知则，即．，化简得，解得或，由（1）知，故或均符合，故或，【点睛】结论点睛：一般对于解析几何的大题，常涉及到面积，弦长，定值，定点类问题.一般从两个基本环节进行求解：翻译转化；将题目中的几何关系恰当转化成数学代数式（等式或者不等式），消元求值；对所列出的不等式或者方程，进行变形，化简消元.21.如图，四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AD∥BC，AD＝2BC＝2，BC⊥DC，∠BAD＝60°，平面PAD⊥底面ABCD，E为AD的中点，△PAD为正三角形，M是棱PC上的一点(异于端点)．（1）若M为PC的中点，求证：PA∥平面BME；（2）是否存在点M，使二面角M­BE­D的大小为30°.若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理由．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）连接AC交BE于点F，依据平面几何学问可得ABCE为平行四边形，即得MF∥PA.再依据线面平行判定定理得结论；（2）先依据空间直角坐标系，再设立各点坐标，依据方程组解得平面法向量，依据向量数量积求向量夹角，最终依据二面角与向量夹角相等或互补关系列方程解得M坐标，即得点M的位置．【小问1详解】证明：如图，连接AC交BE于点F，连接CE.由题意知BC∥AE，且，故四边形ABCE为平行四边形，∴F为AC的中点，在△PAC中，又由M为PC的中点，得MF∥PA.又MF⊂平面BME，PA⊄平面BME，∴PA∥平面BME.【小问2详解】连接PE，则由题意知PE⊥平面ABCD.故以E为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系E－xyz，则E(0,0,0)，，，．设，，则，解得，，，取平面DBE的法向量，设平面BME的法向量，则，即，令，则，故平面BME的一个法向量，又由，则，解得，即，故存在点满意要求，且M为棱PC上靠近端点C的四等分点．22.已知抛物线C：，点.（1）设斜率为1的直线l与抛物线C交于A，B两点，若的面积为，求直线l的方程；（2）是否存在定圆M：，使得过曲线C上随意一点Q作圆M的两条切线，与曲线C交