辽宁省沈阳市2024-2025学年高三数学上学期联合考试

Page18一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则的子集个数为（）A.16 B.8 C.7 D.4【答案】B【解析】【分析】先求得，由此推断出的子集个数.【详解】，所以，共个元素，所以的子集个数为个.故选：B2.已知复数z满意，则“a＝1”是z为纯虚数的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不充要条件【答案】C【解析】【分析】依据纯虚数的概念列方程，解得即可推断.【详解】，解得，所以“”是为纯虚数的充要条件.故选：C.3.函数的大致图象为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据函数的奇偶性可解除A,C,依据特别点处的函数值可解除B,进而可求解.【详解】的定义域为，关于原点对称，又因为，所以是定义域内的偶函数，故可解除A,C，又，故可解除B，故选：D4.高斯是德国闻名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿被世界公认为数学三大天才，用表示不超过x的最大整数，我们称为高斯函数，例如，．则关于函数，下列说法错误的是（）A.在区间上单调递增 B.函数的值域为C.最小正周期为1 D.的值域为【答案】B【解析】【分析】依据的图像推断即可【详解】解：作出的部分图像如下所示：A．由图像易知区间上单调递增，故本选项不符合题意；B．的值域为，故本选项符合题意；C．的最小正周期为1，故本选项不符合题意；D．依据高斯函数的定义及的值域为，易知的值域为，故本选项不符合题意．故选：B．5.已知，，则（）A. B. C.2 D.－2【答案】B【解析】【分析】依据同角关系可得，由正切的二倍角公式以及诱导公式即可求解.【详解】因为所以由得，因此，由二倍角公式可得，故选：B6.设函数的定义域为R，则函数与函数的图象关于（）A.直线x＝－1对称 B.直线x＝－2对称 C.直线x＝2对称 D.直线x＝1对称【答案】C【解析】【分析】依据函数图象的平移关系，结合与的对称性，即可求解.【详解】是函数的图象向右平移1个单位，由于与的图象关于轴对称，所以与的图象关于对称，是函数向右平移2个单位，所以函数与函数的图象关于直线x＝2对称，故选：C7.已知函数若关于的方程有4个不同的实根，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】画出的图象，依据并探讨t探讨其实根的分布状况，将问题化为在内有两个不同的零点，结合二次函数性质求参数范围.【详解】如图，画出的图象，设结合图象知：当或时有且仅有1个实根；当时有2个实根；问题转化为在内有两个不同的零点，从而，解得.故选：D8.已知直线与曲线，分别交于点，则的最小值为（）A B. C.1 D.e【答案】B【解析】【分析】设与直线垂直，且与相切的直线为，切点为，设与直线垂直，且与相切的直线为，切点为，进而依据导数的几何意义求得坐标得，即可得直线与直线重合时最小，再求距离即可.【详解】解：设与直线垂直，且与相切的直线为，设与直线垂直，且与相切的直线为，所以，，设直线与的切点为，因为，所以，解得，，即，设直线与的切点为，因为，所以，解得，，即，此时，所以，当直线与直线重合时，最小，最小值为.故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知函数，则下列说法正确的是（）A.函数的图象可以由的图象向右平移个长度单位得到B.，则C.是偶函数D.在区间上单调递增【答案】AD【解析】【分析】依据函数平移可推断A,依据最值点的与周期的关系可推断B,依据偶函数的特征可推断C,整体代入验证法可推断D.【详解】对于A,的图象向右平移个长度单位得到，故A正确，对于B，因为，由可知为最值，又故,故B错误，对于C,为奇函数，故错误，对于D,，故在区间上单调递增，正确，故选：AD10.已知，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】对作商比较，再通过构造函数，利用导数推断其单调性，可比较的大小，从而可得结论.【详解】因为，所以，令，则，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，所以，所以，所以，即，综上，故选：AC11.已知函数，关于函数说法正确的是（）A.函数为偶函数 B.函数的定义域为C.函数的值域为 D.函数为周期函数【答案】ACD【解析】【分析】结合函数的定义域、奇偶性、值域、周期性的学问求得正确答案.【详解】依题意，由于，所以，故的定义域为（），B选项错误.，为偶函数，A选项正确.当时，，，所以函数的值域为，C选项正确.由于，是周期函数，D选项正确.故选：ACD12.已知定义R上的函数满意，又的图象关于点对称，且，则（）A.函数的周期为12 B.C.关于点对称 D.关于点对称【答案】ABD【解析】【分析】结合函数的对称性、奇偶性、周期性确定正确答案.【详解】由，令，得，所以，关于直线对称由于的图象关于点对称，所以的图象关于对称，所以是奇函数.所以，所以的周期为，A选项正确.，B选项正确.结合上述分析可知，关于点（）对称，所以关于点（）对称，所以关于点（）对称，所以关于点（）对称，令，得关于点对称，D选项正确，C选项错误.故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.复数的共轭复数的虚部是______．【答案】1【解析】【分析】首先依据复数代数形式的除法法则化简复数，再得到其共轭复数，从而推断其虚部．【详解】解：，所以复数的共轭复数为，其虚部为；故答案为：．14.已知两个非零平面对量，满意：对随意恒有：，且，则______；______．【答案】①.2②.##【解析】【分析】对不等式两边平方并进行向量的数量积的运算便可以得到，依据题意知该不等式对于随意恒成立，依据判别式即可得出的值，进而由夹角公式即可求解角.【详解】由得：，且；；整理得，，该不等式对随意的恒成立；；；．，由于，所以，故答案为：2，15.设函数，已知在上有且仅有2024个极值点，则的取值范围是___________【答案】【解析】【分析】通过三角恒等变换公式及协助角公式化简，得到，所以令，并求出，画出在的图像，又因为在上有且仅有2024个极值点，且每个周期有两个极值点，所以推出，从而求出的取值范围【详解】当时，，令，则，作出函数的图象如图所示：由于函数在上有且仅有2024个极值点，则，解得.故答案为：16.已知函数是定义在R上的奇函数，记为函数的导函数，且满意，则不等式的解集为______．【答案】【解析】【分析】利用奇函数的导数必为偶函数，可求得，再代入不等式构造函数即可求解.【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，故，又，所以，即，所以是定义在上的偶函数；又因为，所以，即，两式相减，再整理得：，所以由得，令，则，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，又因为，所以在上，由，解得；又当时，，即，故，即，综上：的解集为，故的解集为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知是定义在R的偶函数，且，．（1）求的解析式；（2）设，若存在，对随意的，都有，求实数t的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由求得，从而求得.（2）求得在区间上的最小值，对进行分类探讨，求得在区间上的最小值，依据求得的取值范围.【小问1详解】是定义在R的偶函数，所以，，，此时，满意题意，所以，【小问2详解】依题意存在，对随意的，都有，，在区间上递增，在区间上的最小值为.，开口向上，对称轴为，当时，在上递增，最小值为，依题意可知，则.当时，的最小值为，依题意可知，则.当时，在上递减，最小值为，依题意可知，不符合.综上所述，取值范围是.【点睛】利用函数的奇偶性求参数，可以利用特别点代入法进行求解.求解二次函数在闭区间上的最值，当函数含有参数时，要对参数进行分类探讨.18.如图所示，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E是线段上靠近A的一个三等分点，过点E的直线与边AB，AC分别交于点P，Q．设，，其中，（1）求证：为定值，并求此定值；（2）设△APQ的面积为，△ABC的面积为，求的最小值．【答案】（1）4，证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）由向量线性运算得，由共线得，整理即可；（2）由三角形面积公式可得，结合参数范围及为定值，消元求函数最小值即可【小问1详解】证明：由题意得，，由共线得，得证，定值为4；【小问2详解】设，则，，故，∵，故，由二次函数性质得时，取得最大值9，故的最小值为19.已知函数的部分图象如图，．（1）求函数的解析式；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由可得，依据周期以及可得，进而得的解析式，（2）利用函数的对称关系求出与之间的关系式，然后通过求出，进而即可求出．【小问1详解】结合题意可知，，，，又由图象可知，，又由，即，即，取从而，故，【小问2详解】令，从而的对称轴为，，由图象可知，与关于对称，即，且，因为，所以．20.已知向量，，函数．（1）求函数的最小正周期；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠ACB的角平分线交AB于点D，若恰好为函数的最大值，且此时，求3a＋4b的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依据三角恒等变换化简函数解析式，结合最小正周期计算公式，可得答案；（2）依据正弦函数的性质，求得最值以及自变量的取值，利用角平分线的性质以及等面积法，建立方程，整理等式，结合基本不等式“1”的妙用，可得答案.【小问1详解】，则函数的最小正周期.【小问2详解】由（1）可知，当，即时，取得最大值为，则，，因为平分，所以，则点分别到的距离，由，则，即，整理可得，，当且仅当，即时，等号成立，故最小值为.21.已知函数．（1）若，探讨函数的单调性；（2）若，证明：有唯一零点，且．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求，然后对进行分类探讨，由此求得的单调区间.（2）对进行分类探讨，（1）的结论以及零点存在性定理证得结论成立.【小问1详解】的定义域为，，其中，当时，在区间递增；在区间递减.当时，，在上递增.当时，在递增；在区间递减.综上，当时，在区间递增，在区间递减.当时，在上递增；当时，在递增，在区间递减.【小问2详解】当时，，由（1）得在上递增，，所以存在唯一零点，且，也即.当时，由（1）得在递增；在区间递减.，则，，所以存在唯一零点，且.22.已知函数．（1）若函数存在微小值，且微小值为2a，求实数a的值（2）若存在直线l：y＝m与函数的图像相交于，，且，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】依据导数求解极值，即可依据微小值为求解.求导，构造函数，进而依据的单调性可得，进而结合基本不等式即可求解.【小问1详解】，由于存在微小值，所以，故存在，使得，即故当，，当，故在上单调递减，在，单调递增，故，