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PAGEPAGE1时间月日星期课题§4.2换元积分法教学目的使学生掌握不定积分的第一换元积分法以及第二换元积分法教学重点第一换元积分法以及第二换元积分法的应用教学难点第二换元积分法的应用课型专业基础课教学媒体教法选择讲授教学过程教法运用及板书要点一、第一类换元法（凑微分法）设f(u)有原函数F(u)u(x)且(x)可微那么根据复合函数微分法有dF[(x)]dF(u)F(u)duF[(x)]d(x)F[(x)](x)dx所以F[(x)](x)dxF[(x)]d(x)F(u)dudF(u)dF[(x)]因此即[F(u)C]u(x)F[(x)]C定理1设f(u)具有原函数u(x)可导则有换元公式被积表达式中的dx可当作变量x的微分来对待从而微分等式(x)dxdu可以应用到被积表达式中在求积分时如果函数g(x)可以化为g(x)f[(x)](x)的形式那么【例1】sin2xC【例2】此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页【例3.】【例4】【例5】ln|cosx|C即类似地可得熟练之后变量代换就不必再写出了【例6】即【例7】当a0时,即【例8】即【例9】【例10】含三角函数的积分【例11】【例12】【例13】【例14】【例15】【例16】ln|cscxcotx|C即ln|cscxcotx|C【例17】ln|secxtanx|C即ln|secxtanx|C练习：

1、。2、3、4、5、二、第二类换元法第一类换元法，是选择恰当的，将积分变换成，在找的原函数，即可计算出积分。反过来，对积分，也可以令，则，于是如果容易求得，且的反函数存在，即可求得原积分。这种方法就是第二类换元法。定理2设在严格单调且可导，，又设具有原函数，则换元公式其中是的反函数。证明：【例18】。解：，代入原积分，得【例19】求(a>0)解:设xasint那么dxacostdt于是因为,所以【例20】求(a>0)解法一设xatant那么asectdxasec2tdt于是ln|secttant|C因为所以ln|secttant|C其中C1Clna解法二:设xasht那么其中C1Clna提示:achtdxachtdt【例21】求(a>0)解:当x>a时设xasect()那么atant于是ln|secttant|C因为所以ln|secttant|C其中C1Clna当x<a时令xu则u>a于是其中C1C2lna综合起来有例12,13,14所作的代换称为三角代换。一般地有或者或者或者

【例22】求

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