上海市金山区2024届高三上学期一模试题 数学 含解析

2023学年第一学期质量监控高三数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1已知集合，，则________．2.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数=________.3.不等式的解集为_________．4.双曲线的离心率为____．5.已知角，的终边关于原点O对称，则______．6.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，则图中的值______．7.设圆台的上底面和下底面的半径分别为和，母线长为，则该该圆台的高为_________.8.从1，2，3，4，5这五个数中随机抽取两个不同数，则所抽到的两个数的和大于6的概率为__________（结果用数值表示）．9.已知函数()在区间上是严格增函数，且其图像关于点对称，则的值为________．10.若，则________．11.若函数的图像关于直线对称，且该函数有且仅有7个零点，则的值为________．12.已知平面向量、、满足，且，则的取值范围是________．二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.对于实数，“”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件14.已知事件A和B相互独立，且，则（）A B. C. D.15.如图，在正方体中，E、F为正方体内（含边界）不重合的两个动点，下列结论错误的是（）．A.若，，则B.若，，则平面平面C.若，，则面D.若，，则16.设集合，、均为的非空子集（允许）．中的最大元素与中的最小元素分别记为，则满足的有序集合对的个数为（）．A. B. C. D.三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为中点，为与的交点．（1）证明：//平面；（2）求三棱锥体积．18.已知数列满足，且．（1）求的值；（2）若数列为严格增数列，其中是常数，求的取值范围．19.网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务．小金正在配送客户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图．图1图2（1）为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾斜角不能超过，且底面至少有两个顶点与地面接触．外包装看作长方体，如图1所示，记长方体的纵截面为矩形，，，而客户家门高度为米，其他过道高度足够．若以倾斜角的方式进客户家门，小金能否将冰箱运送入客户家中？计算并说明理由．（2）由于客户选择以旧换新服务，小金需要将客户长方体形状的旧冰箱进行回收．为了省力，小金选择将冰箱水平推运(冰箱背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于冰箱背面）．推运过程中遇到一处直角过道，如图2所示，过道宽为米．记此冰箱水平截面为矩形，．设，当冰箱被卡住时(即点、分别在射线、上，点在线段上），尝试用表示冰箱高度的长，并求出的最小值，最后请帮助小金得出结论：按此种方式推运的旧冰箱，其高度的最大值是多少？（结果精确到）20.已知三条直线（）分别与抛物线交于点、，为轴上一定点，且，记点到直线的距离为，△的面积为．（1）若直线的倾斜角为，且过抛物线的焦点，求直线的方程；（2）若，且，证明：直线过定点；（3）当时，是否存在点，使得，，成等比数列，，，也成等比数列？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．21.设函数的定义域为，给定区间，若存在，使得，则称函数为区间上的“均值函数”，为函数的“均值点”．（1）试判断函数是否为区间上的“均值函数”，如果是，请求出其“均值点”；如果不是，请说明理由；（2）已知函数是区间上的“均值函数”，求实数的取值范围；（3）若函数（常数）是区间上的“均值函数”，且为其“均值点”．将区间任意划分成（）份，设分点的横坐标从小到大依次为，记，，．再将区间等分成（）份，设等分点的横坐标从小到大依次为，记．求使得的最小整数的值．2023学年第一学期质量监控高三数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.已知集合，，则________．【答案】【解析】分析】根据交集直接计算即可.【详解】由题可知：，，所以故答案为：2.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数=________.【答案】##

【解析】【分析】根据复数的几何意义可得，结合共轭复数的概念即可求解.【详解】由题意知，该复数为，则.故答案为：.3.不等式的解集为_________．【答案】或【解析】【分析】将分式不等式转化成整式不等式，再利用一元二次不等式解法即可求得结果.【详解】根据分式不等式解法可知等价于，由一元二次不等式解法可得或；所以不等式的解集为或.故答案为：或4.双曲线的离心率为____．【答案】【解析】【详解】试题分析：由题意得：考点：双曲线离心率5.已知角，的终边关于原点O对称，则______．【答案】【解析】【分析】根据角，的终边关于原点O对称得，即可得到的值.【详解】角，的终边关于原点O对称，，.故答案为：.6.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，则图中的值______．【答案】【解析】【分析】根据茎叶图可求得两组数据的中位数，进而构造方程求得的值.【详解】由茎叶图可知：乙组数据的中位数为，甲、乙两组数据的中位数相同，甲组数据的中位数为，即，解得：.

故答案为：.7.设圆台的上底面和下底面的半径分别为和，母线长为，则该该圆台的高为_________.【答案】【解析】【分析】作出圆台轴截面，求出轴截面的高，即得答案.【详解】作出圆台的轴截面，如图示为等腰梯形，梯形的高即为圆台的高，即高为，故答案为：8.从1，2，3，4，5这五个数中随机抽取两个不同的数，则所抽到的两个数的和大于6的概率为__________（结果用数值表示）．【答案】##0.4【解析】【分析】求出所有的基本事件个数以及符合题意的基本事件个数，利用古典概型求概率即可.【详解】根据题意，从1，2，3，4，5这五个数中随机抽取两个不同的数共有，所抽到两个数的和大于6共有，，，共4种，所以所抽到的两个数的和大于6的概率为.故答案为：9.已知函数()在区间上是严格增函数，且其图像关于点对称，则的值为________．【答案】或【解析】【分析】根据增函数和对称中心特征，求出范围，进而得到答案.【详解】因为，则，函数()在区间上是严格增函数，所以，即；又因为的图像关于点对称，则（），则（），所以（），解得（），结合，所以或.故答案为：或.10.若，则________．【答案】【解析】【分析】采用赋值法，令即可求得结果.【详解】令，则，所以，故答案为：.11.若函数的图像关于直线对称，且该函数有且仅有7个零点，则的值为________．【答案】【解析】【分析】根据题意，求得的图形过点，得到的图象过点，结合，，联立方程组，求得的值，得出，再根据题意，得到必为函数的一个零点，结合，求得的值，即可求解.【详解】由函数，则函数的图形过点，因为函数的图象关于对称，则函数的图象过点，可得，且，可得，又由，且，可得，联立方程组，解得，所以，因为函数图像关于直线对称，且该函数有且仅有7个零点，则必为函数的一个零点，即，可得，解得，所以.故答案为：.12.已知平面向量、、满足，且，则的取值范围是________．【答案】.【解析】【分析】利用平面向量坐标表示与数量积计算，结合双曲线的定义与性质计算即可.【详解】根据题意不妨设，为坐标原点，则，即点到的距离比到点的距离大2，根据双曲线的定义可知的轨迹为双曲线的一支，以2为长轴，4为焦距，则，又，易知C点轨迹为，显然C点轨迹为点轨迹双曲线的渐近线，如上图所示，由图形的对称性不妨设，则，由题意，当时，此时点横坐标最小，由点到直线的距离公式可知，而双曲线在渐近线下方，则，与双曲线方程联立，即，则，联立，即，由双曲线的性质可知满足的点横坐标无上限，故的取值范围是.故答案为：【点睛】难点点睛：本题难点在于利用平面向量的坐标表示及数量积的运算判定向量终点轨迹，再利用双曲线的性质结合点到直线的距离计算即可.二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.对于实数，“”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【详解】试题分析：由于不等式的基本性质，“a＞b”⇒“ac＞bc”必须有c＞0这一条件．解：主要考查不等式的性质．当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边．故选B考点：不等式的性质点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件．14.已知事件A和B相互独立，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由相互独立事件的概率乘法公式可得答案.【详解】依题意可．故选：A15.如图，在正方体中，E、F为正方体内（含边界）不重合的两个动点，下列结论错误的是（）．A.若，，则B.若，，则平面平面C.若，，则面D.若，，则【答案】D【解析】【分析】根据正方体特征及线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定可判定A、B选项；利用正方体的特征及面面平行的判定与性质可判定C、D选项.【详解】如图所示，对于选项A，易知，底面，底面，所以，又平面，所以平面，平面，所以，故A正确；对于选项B，易知，所以平面，因为平面，所以平面平面，显然平面即平面，故B正确；如上图所示，对于C项，由正方体的特征可知，因为平面，平面，所以平面，同理平面，平面，所以平面，显然平面，所以平面平面，由平面可得平面，故C正确；对于D项，显然时，与不平行，故D不正确.故选：D16.设集合，、均为的非空子集（允许）．中的最大元素与中的最小元素分别记为，则满足的有序集合对的个数为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据子集的个数，先求解的有序集合对的个数，然后用总个数减去即可求解.【详解】对于给定的,集合是集合的任意一个子集与的并，故有种不同的取法，又,所以的任意一个非空子集，共有种取法，因此，满足的有序集合对的个数为，由于有序对有个，因此满足的有序集合对的个数为故选：B三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为的中点，为与的交点．（1）证明：//平面；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由中位线定理证明，再由判定证明即可；（2）求出点到平面的距离，再由体积公式求解.【小问1详解】证明：四边形为正方形，为与的交点，是的中点，又是的中点，，又平面平面，//平面．【小问2详解】平面是的中点，到平面的距离，四边形是正方形，，三棱锥的体积．18.已知数列满足，且．（1）求的值；（2）若数列为严格增数列，其中是常数，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据对数运算性质可得，即可判断为等比数列，即可根据等比数列的通项求解，（2）利用作差法可得对正整数恒成立，即可求解.小问1详解】由，得，故，即.又，故数列是以为首项，为公比的等比数列.从而，.所以.【小问2详解】设数列满足，因为数列为严格增数列，故对正整数恒成立，即对正整数恒成立，当时，取到最小值.所以.19.网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务．小金正在配送客户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图．图1图2（1）为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾斜角不能超过，且底面至少有两个顶点与地面接触．外包装看作长方体，如图1所示，记长方体的纵截面为矩形，，，而客户家门高度为米，其他过道高度足够．若以倾斜角的方式进客户家门，小金能否将冰箱运送入客户家中？计算并说明理由．（2）由于客户选择以旧换新服务，小金需要将客户长方体形状的旧冰箱进行回收．为了省力，小金选择将冰箱水平推运(冰箱背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于冰箱背面）．推运过程中遇到一处直角过道，如图2所示，过道宽为米．记此冰箱水平截面为矩形，．设，当冰箱被卡住时(即点、分别在射线、上，点在线段上），尝试用表示冰箱高度的长，并求出的最小值，最后请帮助小金得出结论：按此种方式推运的旧冰箱，其高度的最大值是多少？（结果精确到）【答案】19.冰箱能够按要求运送入客户家中，理由见解析；20.最小值为米，此情况下能推运冰箱高度的最大值为米.【解析】【分析】（1）过A，D作水平线，作，由可得；（2）延长与直角走廊的边相交于、，由表示出，设进行换元，利用单调性即可求解.【小问1详解】过A，D作水平线，作如图，当倾斜角时，冰箱倾斜后实际高度（即冰箱最高点到地面的距离），故冰箱能够按要求运送入客户家中．【小问2详解】延长与直角走廊的边相交于、，则，，，又，则，．设，因为，所以，所以，则，再令，则，易知，在上单调递增，所以单调递减，故当，即，时，取得最小值.由实际意义需向下取，此情况下能顺利通过过道的冰箱高度的最大值为米．20.已知三条直线（）分别与抛物线交于点、，为轴上一定点，且，记点到直线的距离为，△的面积为．（1）若直线的倾斜角为，且过抛物线的焦点，求直线的方程；（2）若，且，证明：直线过定点；（3）当时，是否存在点，使得，，成等比数列，，，也成等比数列？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）证明见解析（3）存在点满足题意【解析】【分析】（1）根据抛物线交点，结合直线的点斜式即可求解，（2）联立直线与抛物线方程得韦达定理，即可根据数量积的坐标运算求解，（3）联立直线与椭圆方程，根据弦长公式求解，根据点到直线距离求解，进而根据等比中项即可代入化简求解.【小问1详解】焦点，斜率，故直线的方程为．【小问2详解】联立消去，整理，得．易，即，设、，则，.由，即，得，由于，所以，直线，故直线过定点.【小问3详解】当时，．由于，所以，设，则.由，得，即．①联立消去，整理，得.由，得．于是．由，，且，得，从而，即，化简，得．②①②相减，整理，得．而，即，故，即．又当时，比如取，，满足题意，故存在点满足题意．.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为,则直线过定点;若直线方程为(为定值),则直线过定点21.设函数的定义域为，给定区间，若存在，使得，则称函数为区间上的“均值函数”，为函数的“均值点”．（1）试判断函数是否为区间上的“均值函数”，如果是，请求出其“均值点”；如果不是，请说明理由；（2）已知函数是区间上的“均值函数”，求实数的取值范围；（3）若函数（常数）是区间上的“均值函数”，且为其“均值点”．将区间任意划分成（）份，设分点的横坐标从小