安徽省宿州市埇桥区宿城第一初级中学 2023-2024学年九年级上学期第三次月考数学试题（解析版）-A4

第页宿城第一初级中学2023—2024学年度九年级数学学科综合素质评价（三）时间：120分钟满分：150分一、选择题：（共10小题，每题4分，共40分）1.下列各组线段中是成比例线段的是（）A.1cm，2cm，3cm，4cm B.1cm，2cm，2cm，4cmC.3cm，5cm，9cm，13cm D.1cm，2cm，2cm，3cm【答案】B【解析】【详解】A选项中，∵，∴本选项中这组线段不是成比例线段；B选项中，∵，∴本选项中的这组线段是成比例线段；C选项中，∵，∴本选项中的这组线段不是成比例线段；D选项中，∵，∴本选项中的这组线段不是成比例线段；故选：B．2.在中，，，，下列四个选项，正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用勾股定理求出BC的长，根据锐角三角函数的定义判断即可．【详解】解：如图，根据勾股定理得：BC＝，∴，，，，∴C正确，A、B、D错误，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，掌握正弦、余弦、正切的定义是解题的关键．3.榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，下图是某个部件“卯”的实物图，它的主视图是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据主视图是从前向后观察到的图形，进行判断即可．【详解】解：由题意，得：“卯”的主视图为：故选C．【点睛】本题考查三视图，熟练掌握三视图的画法，是解题的关键．4.电影（长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约亿元，三天后票房收入累计达亿元，若把增长率记作（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据该队第一天票房及以后每天票房的增长率，即可得出该地第二天票房约亿元，第三天票房约亿元，结合该地三天后票房收入累计达亿元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．【详解】解：某地第一天票房约亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，该地第二天票房约亿元，第三天票房约亿元，三天后票房收入累计达亿元，根据题意可列方程．故选：．5.公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了“杠杆原理”：杠杆平衡时，阻力×阻力臂=动力×动力臂，当用撬棍撬动一块石头时，发现阻力和阻力臂分别为和，关于动力F和动力臂l，下列说法错误的是（）A.F与l的积为定值B.F随l的增大而减小C.当l为时，撬动石头至少需要的力D.F关于l的函数图象位于第一、第三象限【答案】D【解析】【分析】根据题意求出动力F和动力臂l的函数关系式，再逐项判断即可．【详解】解：A．∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，已知阻力和阻力臂分别是和，∴动力(单位：)关于动力臂(单位：)的函数解析式为：，故A项正确，不符合题意；B．由，可知：F随l的增大而减小，故B正确，不符合题意；C．当时，，故C项正确，不符合题意；D．∵动力F和动力臂l均是正数的物理量，∴的函数图象在第一象限，故D项错误，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数的应用，弄清题意，正确分析各量间的关系是解题的关键．6.人类既能欣赏美，更能创造美，即使是五角星，也蕴含着“黄金分割”，如图，C为的黄金分割点（），则下列结论中正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查“黄金分割”，根据“黄金分割”的定义“把一条线段分割为两部分，使较大部分与整体之比等于较小部分与较大部分之比，比值为”即可求解，掌握“黄金分割”的定义是解题的关键．【详解】解：，，故A选项错误；C为的黄金分割点（），，故D选项正确；，故B，C选项错误；故选D．7.如图，在中，，在边上，，，若面积等于9，则的面积为（）A.4 B.2 C.3 D.6【答案】A【解析】【分析】过点作于，过点作于，首先根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质，可证得，再根据三角形的面积公式，可求得，根据相似三角形的性质，可求得，据此即可求得．【详解】解：过点作于，过点作于，，，，，，．，的面积等于9，，，，．的面积为：，故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式，作出辅助线是解决本题的关键．8.在同一直角坐标系中，函数与的大致图象可能为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据一次函数和反比例函数的图象和性质，即可解答．【详解】解：①当时，，一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限；②当时，，一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数经过第一、三象限；故选：D．【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数图象的性质，解题的关键是掌握一次函数，当时，经过一、三象限；当时，经过二、四象限；反比例函数，当时，经过一、三象限；当时，经过二、四象限．9.已知三个实数a，b，c满足，则下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】D【解析】【分析】根据相等关系，代入消元，运用解一元二次方程的相关知识，判断各选项即可．【详解】A．若，则，即，代入第二个等式得，所以A错误；B．若，则，代入后得到，于是解得，所以B选项错误；C．若，则，代入后得到，于是解得；所以C选项错误；D．若，则，，所以D选项正确．故选D【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握因式分解法解方程是解题的关键．10.如图，在中，，，点D为边上一动点（不与点B、C重合），垂直交于点E，垂足为点H，连接并延长交于点F，则以下结论错误的是（）A.当时， B.当时，C.当时， D.的最小值为【答案】D【解析】【分析】根据勾股定理求得，再利用三角形的等面积法求解可判断A；根据三角形的中位线性质证得，再证明，，，然后根据直角三角形的性质和相似三角形的性质可判断B；设，则，，过点B作交的延长线于点N，结合题意以及直角三角形的性质，利用全等三角形的判定证明得到，再证明，进而利用相似三角形的性质可判断C；当最短时，点F为的中点，进而求解即可判断D．【详解】解：当时，∵，∴，∵，，∴，∵垂直，∴，∴，∴，故A正确，不符合题意；如图，过点D作交于点M，当时，∴是的中位线，∴，∵，垂直，∴，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，即，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故B正确，不符合题意；当时，设，则，∴，过点B作交的延长线于点N，∴，∴，∵，∴，∴，又，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故C正确，不符合题意；∵，∴点H在以为直径圆上，当最短时，点F为的中点，∴，∴，∴的最小值为，故D错误，符合题意；故选：D．【点睛】本题是三角形综合题，考查了勾股定理、三角形面积公式、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线的性质、圆的基本知识等知识，熟练掌握勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．二、填空题：（共4小题，每题5分，共20分）11.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为__________．【答案】【解析】【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解．【详解】解：由题意得：，解得：故答案为：12.如图所示，平地上一棵树高为5米，两次观察地面上的影子，第一次是当阳光与地面成时，第二次是阳光与地面成时，第二次观察到的影子比第一次长________

米．【答案】【解析】【分析】本题考查的是解直角三角形的应用．利用所给角的正切值分别求出两次影子的长，然后作差即可．【详解】解：如图，，，则第一次观察到的影子长（米）；第二次观察到的影子长（米）．两次观察到的影子长的差（米）．故答案为：．13.如图，Rt△BOC的一条直角边在x轴正半轴上，双曲线过的斜边的中点，与另一直角边相交于点，若的面积是6，则k的值是_______．【答案】4

【解析】【分析】设点C的坐标为，则，先根据三角形的面积公式可得，从而可得点B的坐标为，再根据线段中点的定义可得点A的坐标为，然后将点A的坐标代入双曲线的解析式即可得．【详解】解：设点C的坐标为，则，，，解得，，点是OB的中点，，即，又点在双曲线上，，故答案为：4．【点睛】本题考查了反比例函数的几何应用，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．14.如图，中，，，为内部一点，且．（1）__________；（2）若，则到边距离为__________．【答案】①.2②.【解析】【分析】（1）由题意得，，如图，将绕点顺时针旋转到，则，，，，设，由勾股定理得，，，然后计算求解即可；（2）由（1）可知，，，，由勾股定理得，，，则，计算求解即可．【详解】（1）解：∵，∴，如图，将绕点顺时针旋转到，∴，，∴，∴，，∴，设，由勾股定理得，，，∴，故答案为：2；（2）解：∵，由（1）可知，，，，由勾股定理得，，，∵，∴，即，解得，，∴到边距离为．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，三角形内角和定理，勾股定理等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，三角形内角和定理，勾股定理是解题的关键．三、（共2大题，每题8分，共16分）15.计算：°+°【答案】【解析】【分析】根据二次根式的化简，特殊角的三角函数值，绝对值，负整数指数幂计算即可．【详解】原式==，=．【点睛】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，掌握（a≠0）是解题的关键．16.如图，的顶点都在网格点上，点B的坐标．（1）以点O为位似中心，把按放大在y轴的左侧，画出放大后的；（2）点A对应点D的坐标是；（3）．【答案】（1）见解析（2）（3）【解析】【分析】本题主要考查位似的知识，掌握位似的定义，性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．（1）位似中心为点O，根据位似比，连接并反向延长一倍，在y轴的左侧，即可求解；（2）根据题意求出点A的坐标，再根据位似比，即可求解；（3）由题意可知相似比为，可求出，进而得出，即可求解．【小问1详解】如图所示，即所求；【小问2详解】点的对应点的坐标是，故答案为：；【小问3详解】由题可得，，又∵位似比为，，，故答案为:．四、（共2大题，每题8分，共16分）17.观察下图中用小黑点摆成的三角形，并根据图中规律回答相关问题．（1）第4个图形对应的等式为______；（2）若第n个图形对应的黑点总数为个，求n的值．【答案】（1）（2）10【解析】【分析】（1）根据图形规律第四个图形多一行5个的点，直接列式即可得到答案；（2）根据题意找到图形点数规律列式求解即可得到答案；【小问1详解】解：由题意可得，第四个图形总点数可列为：，故答案为：；【小问2详解】解：由题意可得，每一个图形的行数比个数多1，每行的数字从1开始逐渐加1，∴第n个图形的点数为：，∴，整理得，解得，（舍去），∴n的值为；【点睛】本题考查图形规律问题及解一元二次方程，解题的关键是根据题意找到图形规律．18.如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面的坡度，斜面的坡度，根据图中数据，求：（1）斜坡的长（结果保留小数点后一位）；（2）梯形的周长（结果保留小数点后一位）．（参考数据：，，）【答案】（1）斜坡的长约为；（2）梯形的周长为．【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用：（1）直接利用坡度的定义得出的长，再利用勾股定理得出答案；（2）直接利用坡度的定义得出的长，再利用勾股定理得出，进而得出答案．【小问1详解】解：斜面的坡度，，，，，，答：斜坡的长约为；【小问2详解】解：斜面的坡度，，，解得：，，梯形的周长为：，答：梯形的周长为．五、（共2大题，每题10分，共20分）19.如图，中，，平分，过点分别作，，垂足分别为点，．（1）求证：四边形为正方形；（2）若，，求四边形的边长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查了正方形的判定、相似三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识点，掌握相关几何结合是进行推理的关键．（1）根据证四边形为矩形，由角平分线的性质得即可求证；（2）证，设正方形的边长为，则；根据即可求解．【小问1详解】解：∵，，∴∵，∴四边形为矩形∵平分，，，∴∴四边形为正方形【小问2详解】解：设正方形的边长为，则，∵∴∴∴即：解得：20.如图，一次函数y1=kx+b与反比例函数（x＞0）的图象交于A（1，6）、B（3，n）两点，与x轴交于点C．（1）求k、b、m的值；（2）根据图象，直接写出当y1＞y2时x的取值范围；（3）点P在x轴上，且△APC的面积为12，求点P的坐标．【答案】（1）k=-2，b=8，m=6（2）1＜x＜3（3）点P的坐标为（8，0）或（0，0）【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）观察函数图象即可求解；（3）设P（t，0），根据△APC的面积为12，列出关于t的方程，即可求得点P的坐标．【小问1详解】把A（1，6）代入得：m=6，即反比例函数的表达式为y=（x＞0），把B（3，n）代入y=得：n=2，即B的坐标为（3，2），把A、B的坐标代入y=kx+b得：，解得，即一次函数的表达式为y=-2x+8；【小问2详解】观察函数图象知，y1＞y2时x的取值范围为1＜x＜3．【小问3详解】设P（t，0），∵一次函数y=-2x+8与x轴交于点C，将y=0代入得：x=4，∴C（4，0），∵A（1，6），点P在x轴上，且△APC的面积为12，∴，∴，解得：t=8或t=0，∴P（8，0）或（0，0）；【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、函数与不等式的关系以及三角形的面积公式，本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点在函数图象上求出点的坐标是关键．六、（本题12分）21.国家航天局消息：2023年6月4日6时33分，神舟十五号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，航天员费俊龙、邓清明、张陆全部安全顺利出舱，神舟十五号载人飞行任务取得圆满成功．某中学科技兴趣小组为了解本校学生对航天科技的关注程度，在该校内进行了随机调查统计，将调查结果分为：不关注、关注、比较关注、非常关注四类，回收、整理好全部调查问卷后，得到下列不完整的统计图．部分学生对航天科技关注程度的条形统计图部分学生对航天科技关注程度的扇形统计图根据以上信息解答下列问题：（1）此次调查中接受调查的人数为人；补全条形统计图；（2）该校共有1000人，根据调查结果估计该校“关注”、“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数共多少人？（3）某班有4名同学（分别记为A，B，C，D，其中A为小明）非常关注航天科技，班主任要从中随机选择两名给班内同学做一次航天知识分享课．请利用列表法或画树状图法，求小明被选中的概率．【答案】（1）50，图见解析（2）920人（3）【解析】【分析】（1）利用不关注，关注和比较关注的人数总和除以所占的百分比，求总数，利用总数乘以非常关注的人数所占的百分比求出非常关注的人数，补全条形图即可；（2）利用样本估计总体的思想进行求解即可；（3）列表法求概率即可．【小问1详解】解：（人）；非常关注的人数为：（人）；补全图形如图：【小问2详解】（人）；【小问3详解】列表如下：

ABCDA

A，BA，CA，DBB，A

B，CB，DCC，AC，B

C，DDD，AD，BD，C

共12种等可能的结果，其中小明被选中的结果有6种，∴．【点睛】本题考查统计图的综合应用．从统计图中有效的获取信息，是解题的关键．七、（本题12分）22.苹果和梨中含有大量的维生素和微量元素，每天吃点水果，能够补充身体对维生素的需求，使身体更健康．水果超市3月上旬购进苹果和梨共1000千克，进价均为每千克16元，然后梨以30元/千克、苹果以24元/千克的价格很快售完．（1）若超市3月上旬售完所有苹果和梨获利不低于11600元，