机械振动习题解答 (一)

第十五章机械振动

一选择题

1.对一个作简谐振动的物体，下面哪种说法是正确的（）

A.物体在运动正方向的端点时，速度和加速度都到达最大值；

B.物体位于平衡位置且向负方向运动时，速度和加速度都为零；

C.物体位于平衡位置且向正方向运动时，速度最大，加速度为零；

D.物体处负方向的端点时，速度最大，加速度为零。

解：根据简谐振动的速度和加速度公式分析。

答案选C。

2.以下四种运动（忽略阻力）中哪一种不是简谐振动（）

A.小球在地面上作完全弹性的上下跳动；

B.竖直悬挂的弹簧振子的运动；

C.放在光滑斜面上弹簧振子的运动；

D.浮在水里的一均匀球形木块，将它局部按入水中，然后松开，使木块上下浮动。

解：A中小球没有受到回复力的作用。

答案选A。

3.一个轻质弹簧竖直悬挂，当一物体系于弹簧的下端时，弹簧伸长了/而平衡。

则此系统作简谐振动时振动的角频率为（）

解由kl=mg可得k=mg〃,系统作简谐振动时振动的固有角频率为口二

故此题答案为B。

4.一质点作简谐振动（用余弦函数表达），假设将振动速度处于正最大值的某时刻取

作/=0,则振动初相。为（）

A.--B.OC.-D.n

22

解由x=ACOS（G/+0）可得振动速度为o=H=-cMsin（Gf+9）。速度正最大时

d/

有cos（<y/+°）=0,sin（5+°）=-1,假设r=0,则夕=一二<>

故此题答案为A。

5.如以以下图，质量为血的物体，由劲度系数为右和幻的两个轻弹簧连接，在光

滑导轨上作微小振动，其振动频率为（）

kik?__

八AA/4〃?

选择题5图

解：设当，〃离开平衡位置的位移为x,时，劲度系数为卜和心的两个轻弹簧的伸长

量分别为处和迫，显然有关系

此时两个弹簧之间、第二个弹簧与和物体之间的作用力相等。因此有

由前面二式解出内=—X,将加代入第三式，得到

攵।十七

将此式与简谐振动的动力学方程对比，并令&2=,即得振动频率

〃啥+k2）

v=_LI卜1七。

2兀yin（k1+k2）

所以答案选D。

6.如题图所示，质量为机的物体由劲度系数为自和幻的两个轻弹簧连接，在光滑

导轨上作微小振动，则该系统的振动频率为（）

h——.k?

个A\A/_同

选择题6图

解：设质点离开平衡位置的位移是M假设x>0,则第一个弹簧被拉长］，而第二个

弹簧被压缩-作用在质点上的回复力为-公r）。因此简谐振动的动力学方程

令&2=勺¥1,即y="L反耳

m2兀Vm

所以答案选Bo

7.弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动时，弹性力在半个周期内所作的功为（）

A.kA2B.（1⑵乂2C.（1/4）M2D.0

解：每经过半个周期，弹簧的弹性势能前后相等，弹性力的功为0,故答案选D。

8.一弹簧振子作简谐振动，总能量为与假设振幅增加为原来的2倍，振子的质量

增加为原来的4倍，则它的总能量为（）

A.2EB.4EC.ED.16E

解：因为£所以答案选B.

2

9.有同方向的两简谐振动，它们的振动表达式分别为

则合振动的振幅为()

A.J^TcmB.VFTcmC.11cmD.61cm

解A=J精+宙+2A〕A?cos(^2-)

所以答案选A。

10.一振子的两个分振动方程为©=4cos3f,X2=2cos(3r+n)，则其合振动方

程应为：()

A.x=4cos(3r+Ji)B.x=4cos(3t-n)

C.x=2cos(3r-n)D.x=2cos3t

解：x=x\+X2=4cos3f+2cos(3f+力)=4cos3r-2cos3r=2cos3r

所以答案选D。

11.为测定某音叉C的频率，可选定两个频率的音叉A和B；先使频率为800Hz

的音叉A和音叉C同时振动，每秒钟听到两次强音；再使频率为797Hz音叉B和C同

时振动，每秒钟听到一次强音，则音叉C的频率应为：()

A.800HzB.799HzC.798HzD.797Hz

解：拍的频率是两个分振动频率之差。由题意可知：音叉A和音叉C同时振动时，

拍的频率是2Hz,音叉B和音叉C同时振动时，拍的频率是1Hz,显然音叉C的频率

应为798Hzo

所以答案选C。

二填空题

1.一质量为团的质点在力尸二-冗2工作用下沿/轴运动，其运动的周期为。

解：7=2爬=2冗后=2而。

2.如图，一水平弹簧简谐振子振动曲线如以以下图，振子处在位移为零，速度为-

必1、加速度为零和弹性力为零的状态，对应曲线上的点，振子处在位移的绝对值为A、

速度为零、加速度为-人和弹性力为的状态，则对于曲线上的点。

解：h；a、eo

填空题2图填空题3图

，()-一质点作简谐振动'振幅为4当它离开平衡位置的位移为时'其动能

反和势能弓的比值”=

Ep

解势能丸」辰2,江，总机械能为七」江，动能七为储。故*=3。

P2828Ep

11.两个同方向同频率简谐振动的表达式分别为

(=6.0x10-2cos(与r+：)(SI),X?=4.0x10-2cos(半，一；)(SI),则其合振动的表

达式为(SI)0

解此题为个同方向同频率简谐振动的合成。

(1)解析法合振动为工=2+工2，

其中0=11.3。

(2)旋转矢量法如以以下图，用旋转矢量A和A2分别表示两个简谐振动不和足，

合振动为和A2的合矢置4,按矢量合成的平行I四边形法则

A=10-2XA/62+42=7.2xl0-2m,A/、

A,sin69.+Asin(p1一，c/

tane=————...??——a?=-,^=11.3°------/

x

Aicos(p、+A2COS(p25久

故合振动的表达式为x=7.2x1O_2cos(yr+11.3°)

三计算题

1.一个简谐振动的振幅A=2cm,圆频率3=4JIS-I,以余弦函数表达运动规律时

的初相位方兀/2。试画出位移和时间的关系曲线(振动曲线)。

解：圆频率3=4JIS」，故周期丁=2冗/3=24n=0.5s,又知初相位涔Ji/2,故

位移和时间的关系为x=().02cos(4H/+K/2)m,振动曲线如以以以下图所示。

x(m)

0.02....

\(159/r(s)

-0.02、J

2.一质量为0.02kg的质点作简谐振动，其运动方程为x=0.60cos(51-n/2)m。

求：(1)质点的初速度；(2)质点在正向最大位移一半处所受的力。

解：(1)z；=—=-3.Osin(5r--)

dr2

vQ=-3.0sin(——)=3.0m/s

(2)F=ma=-mco2x

mV2=0.3m时，F=-O.O2x52x0.3=-0.15No

3.一立方形木块浮于静水中，其浸入局部高度为〃o今用手指沿竖直方向将其慢

慢压下，使其浸入水中局部的高度为b,然后放手让其运动。试证明：假设不计水对

木块的粘滞阻力，木块的运动是简谐振动并求出周期及振幅。

证明：选如图坐标系:，静止时：mg=pgaS------(1)

任意位置时的动力学方程为：—=——(2)

dx2

将(1)代入(2)得一/gS(x-a)二m—r

dr

.d2xd2y,仁dv2

令y=x-a,则一-=—彳，上式化为：_pgSy=my

d厂dtdr-

令心=。照得:^_十&2),=0...(3)

tndr

上式是简谐振动的微分方程，它的通解为:y=Acos(血+%)

所以木块的运动是简谐振动.

振动周期：7=0=2%国二=2兀口

①7PgsNg_______

f=0时，x0=b,yQ=b-a,%=0振幅:4=/：+乌=b-a

4.在一轻弹簧下悬挂％=100#的物体时，弹簧伸长8cm。现在这根弹簧下端悬挂

〃『250g的物体，构成弹簧振子。将物体从平衡位置向下拉动4cm,并给以向上的21cm/s

的初速度(令这时尸0).选x轴向下，求振动方程

解：在平衡位置为原点建设坐标，由初始条件得出特征参量。

弹簧的劲度系数&="?(送/加。

当该弹簧与物体机构成弹簧振子，起振后将作匿谐振动，可设其振动方程为:

x=4cos回+如

角频率为3=4kTm代入数据后求得①=7rad

以平衡位置为原点建设坐标，有：

x0=0.04m,%=-0.21ms

2

据4=+(vQ/co)得：A=0.05m

据夕=±cos-1.得S=±0.64rad,由于。0<0,应取(p=0.64rad

A

于是，所求方程为：x=0,05C6>5(7r+0.64)m

据夕=±cos-包得夕=±兀/2,由于为<0,应取*=兀/2

A

于是，其振动方程为:

x2=0.06cos(1Or+it/2)m

5.某质点作简谐运动，振动曲线如题图所示，试根据图中数据，求(1)振动表达式,

(2)与P点状态对应的相位，(3)与P点状态相应的时刻。

解(1)设振动表达式为

x=Acos(①t+e)

由题图可见，A=0.1m,当，=0时,有，

%=().1cos°=().05m,这样得到*=±］。由振

动曲线可以看到，在/=()时刻曲线的斜率大于

零，故/=()时刻的速度大于零，由振动表达式

可得

。0=-2<wsin(ff>0

即sin(fX0,由此得到初相位夕=-方o

类似地，从振动曲线可以看到，当/=4s时有

1

联立以上两式解得々0-凡=二，则3=2■兀rad-s-因此得到振动表达式

3224

5Tt

x=0.10cos(—兀，一］)m

57T一一S7T

(2〕在。点，x=0.10cos(—nr--)=0.1,因此相位(二m--)=0o

243243

⑶liI(—7tr--)=(),解出与P点状态相应的时刻，=1.6s。

243

6.两个质点在同方向径同频率、同振幅的简谐振动。在振动过程中，每当它们经过

振幅一半的地方时相遇，而运动方向相反。求它们的相位差，并画出相遇处的旋转矢量

图。

解：因为万=Acos(0(+0])=Acos(&f+02)，所以

,71,71

+=i—,69/+夕2=±—，

故△。二。或曰，取△°=等。

旋转矢量图如左。

7.如图，有一水平弹簧振子，弹簧的劲度系数A=24N/in,重物的质量〃z=6kg,

重物静止在平衡位置上，设以一水平恒力厂二10N向左作用于物体(不计摩擦)，使之

由平衡位置向左运动了0.05m,此时撤去力F,当重物运

动到左方最远位置时开场计时，求物体的运动方程。—^/\/\/\/JLF

解：设物体振动方程为：X=ACOS(31+0),恒外------------1--------＞

力所做的功即为弹簧振子的能量E：°cX

E=Fx0.05=0,5J计算颍7图

当物体运动到左方最远位置时，弹簧的最大弹性势能即为弹簧振子的能量E：

kA1/2=0.5

由此球出振幅A=0.204mo

根据/=%/〃?=24/6=4(rad/s)2,求出3=2rad/s。

按题中所述时刻计时，初相位为行兀。所以物体运动方程为

x=0.204cos(2r+n)m

8.一水平放置的弹簧系一小球在光滑的水平面作简谐振动。球经平衡位置向右运

动时，v=100cms-',周期T=1.0s,求再经过1/3秒时间，小球的动能是原来的多少倍

弹簧的质量不计。

解：设小球的速度方程为：

v=vmcos(2nz/T+夕)

以经过平衡位置的时刻为r=(),根据题意/=()时。=%=10()cmsL且。＞0。所以

vm=如(p=0

此时小球的动能Eko=mVo2/2o

经过1/3秒后，速度为。=acos[2兀/(3T)]=-Po/2。其动能

Ek=mv2/2=mv(?/8

所以耳/氏=1/4,即动能是原来的1/4倍。

9.一质点作简谐振动，其振动方程为:x=6.0X10-2cos(n//3-n/4)m。

(1)当x值为多大时，系统的势能为总能量的一半

(2)质点从平衡位置移动到此位置所需最短时间为多少

ft?：(1)势能多二正/2，总能量E=。2/2。根据题意，^/2=M2/4,得到

X=+A141=±4.24x1CT?m,此时系统的势能为总能量的一半。

(2)简谐振动的周期T=2H/＜，=6s,根据简谐振动的旋转矢量图，易知从平衡位

置运动到广士A/行的最短时间，为778,所以

1=6/8=0.75s

10.如以以下图，劲度系数为七质量为根。的

弹簧振子静止地放置在光滑的水平面上，一质量为

〃i的子弹以水平速度q射入加。中，与之一起运动。

选〃?、〃%开场共同运动的时刻为t=0,求振动的

固有角频率、振幅和初相位。计算题1（）图

解：碰后振子的质量为"2+,故角频率

设碰撞后系统的速度为。°,碰撞过程中动量守恒，故得到口。系统的初

"%+m

始动能为'（〃％+，〃）说，在最大位移处全部转换为弹性势能即振幅令振动方程

22

为工=Acos（6y/+0）,则速度一=-rMsin（6yt+（p）

dzo

当/=0时，Acos=A=0,r=Asin<0,可解出初相位°

11.一个劲度系数为〃的弹簧所系物体质量为〃粒物体在光滑的水平面上作振幅为

A的简谐振动时，一质量为机的粘土从高度〃处自由下落，正好在（a）物体通过平衡

位置时，（b）物体在最大位移处时，落在物体〃%上。分别求：（1）振动的周期有何变

化（2）振幅有何变化

解：（1）物体的原有周期为〃=2兀而”，粘土附上后，振动周期变为

7=2兀5（加0+〃?）/%,显然周期增大。不管粘土是在何时落在物体上的，这一结论都正

确。

（2）设物体通过平衡位置时落下粘土，此时物体的速度从如变为根据动量守

恒定律，得到

又设粘土附上前后物体的振幅由八o变为八，则有

由以上三式解出A=,口即振幅减小。

\m0+m

物体在最大位移处时落下粘土，-^=-M2,此时振幅不变。

22

12.如题图所示，一劲度系数为攵的轻弹簧，一端固定在墙上，另一端连结一质量为

他的物体，放在光滑的水平面上。将一质量为吗的物体跨过一质量为m,半径为R的

定滑轮与他相连，求其系统的振动圆频率。

解方法一：以弹簧的固有长度的端点为坐标原点.，向右为正建设坐标So对叫和

团2应用牛顿第二定律、对〃？应用刚体定轴转动定律，得到加速度和角加速度之间具有

关系

解上面的方程组得令x=S-侬，上式简化为标准的振动方程

k

系统的振动圆频率方法二：在该系统的振动过程中，只有重力和弹簧的弹性力做功，因

此该系统的机械能守恒。将切=卫和4='/山?2代入，得到

R2

将上式对时间求一阶导数，得到

上式和解法一的结果一样C同样，圆频率为+。=,-------------

、m2+〃?/2

13.一物体同时参与两个同方向的简谐振动:x\=0.04cos(2nr+Ji/2)m；X2=0.03

cos(2nr+Ji)m。求此物体的振动方程。

解：这是两个同方向同频率的简谐振动的合成，合成后的振动仍为同频率的简谐振动。

设合成运动的振动方程为：

x=Acos(W+e)

则

A2=AI2+A22+2A\Az—(pi)

式中二Ji-n/2=n/2o代入上式得

A="2+32=