三角函数线课件

三角函数线2021/6/271初中锐角三角函数是如何定义的？OMPα

sinα=cosα=tanα=当OP=1时，sinα=MP

cosα=OM┍复习引入2021/6/272设P（x,y)是α终边上任一点,线段0P的长度为r复习：任意角三角函数的定义①比值叫做的正弦，记作，即．②比值叫做的余弦，记作，即．③比值叫做的正切，记作，即．xOP(x,y)y.

角α的终边2021/6/2731.设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），角α的三角函数是怎样定义的？2.三角函数在各象限的函数值符号分别如何？一全正，二正弦，三正切，四余弦.3.公式，， ().其数学意义如何？终边相同的角的同名三角函数值相等.4.角是一个几何概念，同时角的大小也具有数量特征.我们从数的观点定义了三角函数，如果能从图形上找出三角函数的几何意义，就能实现数与形的完美统一.可以用何种几何元素表示任意角三角函数值？

2021/6/274新课讲授一、单位圆：

1、定义：一般地，我们把半径为1的圆称为单位圆。oyxPMNα2、单位圆与x轴的交点：单位圆与y轴的交点：

（1，0）和（-1，0）（0，1）和（0，-1）3、正射影：过P作PM垂直X轴于点M，

PN垂直Y轴于点N，则点M、N分别是点P在X轴、Y轴上的正射影

AT2021/6/275正弦线和余弦线

问题1：如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则，都是正数，你能分别用一条线段表示角α的正弦值和余弦值吗？P（x，y）OxyM2021/6/276问题2：若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则，都是负数，此时角α的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示？P（x，y）OxyM正弦线和余弦线

2021/6/277为了简化上述表示，我们设想将线段的两个端点规定一个为始点，另一个为终点，使得线段具有方向性，带有正负值符号.根据实际需要，我们规定线段从始点到终点与坐标轴同向时为正方向，反向时为负方向.规定了始点和终点，带有方向的线段，叫做有向线段.由上分析可知，当角α为第一、三象限角时，sinα、cosα可分别用有向线段MP、OM表示，即MP=sinα，OM=cosα，那么当角α为第二、四象限角时，你能检验这个表示正确吗？

P（x，y）OxyMP（x，y）OxyM2021/6/278思考：设角α的终边与单位圆的交点为P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，称有向线段MP，OM分别为角α的正弦线和余弦线.当角α的终边在坐标轴上时，角α的正弦线和余弦线的含义如何？POxyMOxyPP2021/6/279思考：设α为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明sinα＋cosα>1吗？POxyMMP＋OM>OP=12021/6/2710正切线AT问题1：如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则是正数，用哪条有向线段表示角α的正切值最合适？POxyM2021/6/2711AT问题2：若角α为第四象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则是负数，此时用哪条有向线段表示角α的正切值最合适？POxyM正切线2021/6/2712ATATPOxyM思考：若角α为第二象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则是负数，此时用哪条有向线段表示角α的正切值最合适？2021/6/2713思考：若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则是正数，此时用哪条有向线段表示角α的正切值最合适？POxyMATAT2021/6/2714思考：根据上述分析，你能描述正切线的几何特征吗？过点A（1，0）作单位圆的切线，与角α的终边或其反向延长线相交于点T，则AT=tanα.ATOxyPATOxyP2021/6/2715思考：当角α的终边在坐标轴上时，角α的正切线的含义如何？OxyPP当角α的终边在x轴上时，角α的正切线是一个点；当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在.2021/6/2716思考：观察下列不等式：你有什么一般猜想？

2021/6/2717思考：对于不等式（其中α为锐角），你能用数形结合思想证明吗？POxyMAT2021/6/2718例练讲解例1、分别作出2π/3和-3π/4的正弦线、余弦线和正切线yOX解：在直角坐标系中做单位圆P2T2M2N2P1以OX轴为始边作2π/3的终边与单位圆交于P1点作P1M1⊥OX轴，垂足为M1，由单位圆与OX正方向的交点A作OX轴的垂线与OP的反向延长线交于T1点T1M1N1AY’则Sin(2π/3)=M1P1=ON1,Cos(2π/3)=OM1,Tan(2π/3)=AT12021/6/2719例2设α是任意角，作α的正弦线、余弦线、正切线，

由图证明下列各等式:（1）sin²α＋cos²α＝1；AoyαPMTxN证明：（1）若角α终边落在象限内，由

图可知sin²α＋cos²α=ON²+OM²=PM²+OM²=OP²=1若角α的终边落在轴上则|sinα|和|cosα|必有一个为1，另一个为0，sin²α＋cos²α＝1象限角轴角2021/6/2720AoyαPMTxN证明：tanα=MP/OM=sinα/cosα（2）tanα=sinα/cosα；（α是锐角）（3）|sinα|+|cosα|≥1证明：若角α终边落在象限内，

由图可知，∆OPM中|MP|+|OM|〉|OP|=1(三角形两边之和大于第三边）若角α终边落在轴上，|MP|和|OM|必有一个为1，另一个为0|MP|+|OM|=1而|MP|=|ON|=|sinα|，|OM|=|cosα|故|sinα|+|cosα|≥1象限角（2）象限角（3）轴角（3）2021/6/2721返回目录

例3在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合:(1)sinα≥;(2)cosα≤-.

【分析】作出满足sinα=,cosα=-的角的终边,然后根据已知条件确定角α终边的范围.

2021/6/2722【解析】(1)如图,作直线y=

交单位圆于A,B两点,连结OA,OB,则OA与OB围成的区域即为角α的终边的范围,故满足条件的角α的集合为返回目录

2021/6/2723返回目录

(2)作直线x=-交单位圆于C,D两点,连结OC,OD,则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围.故满足条件的角α的集合为

【评析】本题的实质是解三角不等式的问题：（1）可以运用单位圆及三角函数线;（2）也可以用三角函数图象.

体现了数形结合的数学思想方法.2021/6/2724例3在0～内，求使成立的α的取值范围.OxyPMP1P22021/6/2725例4求函数的定义域.OxyP2MP1P2021/6/27261.三角函数线是三角函数的一种几何表示，即用有向线段表示三角函数值，是今后进一步研究三角函数