《材料力学 第2版》课件 第5章 弯曲强度

第5章弯曲强度12目录§5.1纯弯曲及其变形§5.2纯弯曲时梁截面上的正应力§5.3横力弯曲时梁截面上的正应力弯曲正应力

强度条件§5.4横力弯曲时梁截面上的切应力弯曲切应力

强度条件§5.7提高梁弯曲强度的主要措施§5.6弯曲中心35.1纯弯曲及其变形一.概念:FQFQ

0FQ=0M=C纯弯曲mmMM=m=C4横力弯曲F

aMFQFFFFaa5.1纯弯曲及其变形已知是横截面上的正应力组成了M（切应力组成FQ），但如何分布、大小都是未知，所以求解应力的问题属超静定问题。首先研究纯弯曲时横截面上的应力问题5.1纯弯曲及其变形51.实验观察二.变形协调方程-几何方程5.1纯弯曲及其变形6横向线—偏转—夹角d

纵向线—弯曲缩短

<0伸长

>0中性层

=075.1纯弯曲及其变形中性层曲率—1/

中性轴—中性层与横截面的交线(z轴)y轴—纵向对称轴中性轴中性层zy纵向对称面

85.1纯弯曲及其变形95.1纯弯曲及其变形2.推理假设1）平面假设---变形前为平面的横截面变形后仍为平面,且垂直于变形后的轴线γ=0得

=0

2）纵向纤维互不挤压(纵向纤维间无

)等截面直梁在纯弯时,横截面上只产生正应力

.结论中性轴z5.2纯弯曲时梁横截面上的正应力一.变形几何关系（应变-位移）

纵向纤维的线应变与它到中性轴的距离成正比,沿y轴线性分布。omymnndxobbo

mmnno

b

b

y

CxyMM10结论115.2纯弯曲时梁横截面上的正应力设

pEt=Ec=E

二.物理关系(

)横截面上

沿y轴线性分布，中性轴上

=

0.结论yzz

dAyMMxyMM把代入胡克定律三.静力关系

将平行力系

dA向形心简化,得到FN

,My,Mz

将

代入（a）

得yzz

dAyMM125.2纯弯曲时梁横截面上的正应力135.2纯弯曲时梁横截面上的正应力令Sz

为A对z轴的静矩；故因为得又可表示为z轴（中性轴）过横截面形心。结论yzz

dAyMM14将代入（b)

令为A对y,z轴的惯性积

显然若y,z轴中有一个为对称轴则Iyz

=0自然满足。结论yzz

dAyMM5.2纯弯曲时梁横截面上的正应力将代入（c)

令Iz

为A对z轴的惯性矩于是得代入

得xyzMMyzz

dAyMM155.2纯弯曲时梁横截面上的正应力165.2纯弯曲时梁横截面上的正应力常用图形

y、Iz同理：1.矩形bczyhydyb1czyh1h2b2同理：

2.圆形oyzd由定义知：dA

yzdDyz175.2纯弯曲时梁横截面上的正应力适用条件:1.平面弯曲；2.纯弯曲；3.

p,Et=Ec；4.等截面直梁；5.截面形状任意.yzz

dAyMM185.2纯弯曲时梁横截面上的正应力195.3横力弯曲时梁横截面上的正应力

弯曲正应力强度条件一.横力弯曲FQ

——M——横截面翘曲当FQ=C¸各横截面翘曲相同用公式计算仍是完全正确的FQxMx结论205.3横力弯曲时梁横截面上的正应力

弯曲正应力强度条件当FQC各横截面翘曲不相同理论分析与实验表明当

l/h

5

用公式计算,其影响小于1.7

，工程上是完全允许的。q结论215.3横力弯曲时梁横截面上的正应力

弯曲正应力强度条件纯弯曲等截面直梁条件放松公式推广横力弯曲变截面梁折梁曲梁结论225.3横力弯曲时梁横截面上的正应力

弯曲正应力强度条件

1.塑性材料二.弯曲正应力强度条件(1.塑性2.脆性)当梁为变截面梁时,

max

并不一定发生在|M|max所在面上.注意等截面梁令Iz/ymax=Wz

Wz

—抗弯截面系数xyzMM235.3横力弯曲时梁横截面上的正应力

弯曲正应力强度条件bczyh常用图形Wzb1czyh1h2b2Wz=Iz/ymax245.3横力弯曲时梁横截面上的正应力

弯曲正应力强度条件yzddA

yzdDzy255.3横力弯曲时梁横截面上的正应力

弯曲正应力强度条件2.脆性材料

因为:

[

t

]

<[

c

]所以分别建立强度条件当截面中性轴不对称时，最大正弯矩和最大负弯矩所在截面，都是危险截面。注意265.3横力弯曲时梁横截面上的正应力

弯曲正应力强度条件3.强度计算（[σ]）3.确载1.校核2.设计强度条件解决三类问题步骤三.计算塑性材料1.求外力、内力（画M图,确定危险截面

）2.应力计算（危险点）275.3横力弯曲时梁横截面上的正应力

弯曲正应力强度条件

例1已知

F=50kN,G1=6.5kN,q为梁自重,

l=10m,

[

]=140MPa，试选择工字钢截面.MF+G1x解：

先按F+G1选截面1.画M图—

Mmax2.应用强度条件计算F+G1l/2

l/2

q

查表

检验283.查表40a工字钢满足强度条件MF+G1xMqx4.检验q=676N/m.40a工字钢

Wz=1090cm3

5.3横力弯曲时梁横截面上的正应力

弯曲正应力强度条件F+G1l/2

l/2

q5.3横力弯曲时梁横截面上的正应力

弯曲正应力强度条件

例2可动载荷F作用于18号I钢梁，[

]=160MPa,a,b多长时梁的强度最好？并确定许可载荷。解:得

a=b=2mMmax最合理zcNo.18ABa12mbFFaMxFbMxMx当Fa=Fb=时Mmax=2F

用

确定许可载荷[F]=14.8kN

画弯矩图305.3横力弯曲时梁横截面上的正应力

弯曲正应力强度条件ABCD1m1m1mF1=9kNF2=4kN例3已知[

t]=30MPa,[

c]=160MPa,Iz=763cm4,

y1=52mm.试校核梁的强度.解:

FAy=2.5kNFBy=10.5kN1.求内力（画M

图）2.5kN.mM4kN.mCBy2y180zy2y112020y危险截面：B,C

2.画

分布，确定危险点FAy

FByMC=2.5kNm

MB=

4kNm315.3横力弯曲时梁横截面上的正应力

弯曲正应力强度条件B截面3.强度计算2.5kN.mM4kN.mCy1y2B80zy2y112020y

y2=120+20

52=88mmC截面:故此梁满足强度条件ABCD1m1m1mF1=9kNF2=4kN

y1=52mmIz=763cm4,325.3横力弯曲时梁横截面上的正应力

弯曲正应力强度条件

例4已知3a=150mm,[

]=140MPa.求[F]B工件C2aaAFABCa20

14z

30335.3横力弯曲时梁横截面上的正应力

弯曲正应力强度条件Mmax=MB=F·aFaMx2.应用强度条件计算

1420z

30[F]=3kNFABC501.画M图—

Mmax解：345.3横力弯曲时梁横截面上的正应力

弯曲正应力强度条件

例5已知q=2kN/m,l=2m,分别采用截面面积相等的实心和空心圆截面，D1=40mm,d2/D2=3/5,求（1)

实，

空（2)(

空-

实)/

实解：1.画M图Mqx实心圆截面2.应力计算D1d2D2qlBA355.3横力弯曲时梁横截面上的正应力

弯曲正应力强度条件空心圆截面空心圆截面梁更合理D1d2D2qlBA365.4横力弯曲时梁横截面上的切应力弯曲切应力强度条件一.矩形截面1.假设

的分布:且方向同FQ,τ沿b均布τy2h2hFQF(h>b,h=2c)375.4横力弯曲时梁横截面上的切应力弯曲切应力强度条件x2.

的公式推导FQM切dx段，MM+dM22dx11FQ1FQ2F(h>b,h=2c)dx1122FQxFMFl385.4横力弯曲时梁横截面上的切应力弯曲切应力强度条件F(h>b,h=2c)dx1122MM+dM22dx11FQ1FQ2FQM

122dx1395.4横力弯曲时梁横截面上的切应力弯曲切应力强度条件为求出横截面上任意点的

，在距中性轴y处取出r,p,m,n122dx1yrp

mn

'=

rn

pm

FN2FN1

'=

rn

pm

F405.4横力弯曲时梁横截面上的切应力弯曲切应力强度条件å=0Fx令S*为A*

对z轴的静矩122dx1yrp

mnFN2FN1

'=

rn

pm

A*F415.4横力弯曲时梁横截面上的切应力弯曲切应力强度条件

沿y轴抛物线分布

当y

=0时

随Sz*变

max2h2hFQ

yA*425.4横力弯曲时梁横截面上的切应力弯曲切应力强度条件切应力的分布FQ435.4横力弯曲时梁横截面上的切应力弯曲切应力强度条件切应力互等定理445.4横力弯曲时梁横截面上的切应力弯曲切应力强度条件

二.工字形截面455.4横力弯曲时梁横截面上的切应力弯曲切应力强度条件τminτmax465.4横力弯曲时梁横截面上的切应力弯曲切应力强度条件FQηzB475.4横力弯曲时梁横截面上的切应力弯曲切应力强度条件三.弯曲切应力强度条件

对于等直梁

四.需要对切应力进行强度校核的情况1.短梁和集中力靠近支座2.木梁3.焊,铆或胶合而成的梁4.薄壁截面梁485.4横力弯曲时梁横截面上的切应力弯曲切应力强度条件解:作FQ,M图例5已知F,b,h,l.

求发生在固定端上边缘发生在任意截面的中性轴上FxFQFlxMzhlbFy495.4横力弯曲时梁横截面上的切应力弯曲切应力强度条件zhlbFy当l/h≥5时，σmax/τmax≥20此情况下，弯曲切应力是次要的。505.4横力弯曲时梁横截面上的切应力弯曲切应力强度条件例6:(1)两个相同材料的矩形截面叠梁.设两梁间无摩檫,求

max解:每梁的变形相同，各梁在自由端处所受外力均为F/2，Mmax=Fl/2h/2h/2blF

maxlF515.4横力弯曲时梁横截面上的切应力弯曲切应力强度条件(2)在自由端有一直径为d的螺栓,求

max及螺栓截面的FQ1解:1.两梁作为一整体,故lFdMmax

=Fl加螺栓后，强度提高。

maxF525.4横力弯曲时梁横截面上的切应力弯曲切应力强度条件lFd由切应力互等定理知,中性层面有均匀分布的

max在中性轴处有垂直中性轴

max其合力与FQ1平衡,即2.求螺栓截面的剪力FQ1

lbτmax53例7

悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为1m。胶合面的许可切应力为0.34MPa，木材的〔σ〕=10MPa，[τ]=1MPa，求许可载荷。5.4横力弯曲时梁横截面上的切应力弯曲切应力强度条件541.画梁的剪力图和弯矩图2.按正应力强度条件计算许可载荷

解：5.4横力弯曲时梁横截面上的切应力弯曲切应力强度条件553.按切应力强度条件计算许可载荷

5.4横力弯曲时梁横截面上的切应力弯曲切应力强度条件564.按胶合面强度条件计算许可载荷综上5.4横力弯曲时梁横截面上的切应力弯曲切应力强度条件5.6弯曲中心一.什么叫弯曲中心截面上切应力合力的作用点叫弯心,也称剪心注意

弯心只与截面的形状和尺寸有关,是一个几何点,是截面的几何性质.二.只弯不扭的条件

当横向力F通过弯心时,则梁只弯而不扭,弯心也称为扭心.57三.产生平面弯曲的条件充分条件:梁截面有纵向对称轴,梁有纵向对称面,所有载荷包括支反力都作用在纵向对称面内,则梁一定产生平面弯曲.充要条件:横向力过弯心且平行主形心惯性轴.585.6弯曲中心595.6弯曲中心605.6弯曲中心615.6弯曲中心5.6弯曲中心

⒊有几支组成,则在支

的交点上.•⒈有两个对称轴,形心即是;四.常见截面弯心的大致位置•••⒉有一个对称轴,则一定

在对称轴上;62•••63

弯曲强度主要取决于

max

一.合理安排梁的受力情况⒈合理设计和布置支座qxql2/2M5.7提高弯曲强度的主要措施Mmax==0.025ql2