2025年高考数学二轮复习课时精讲精练学案必刷小题3　基本初等函数（含详解）

第第页必刷小题3基本初等函数一、单项选择题1．已知函数f(x)＝log3x与g(x)的图象关于y＝x对称，则g(－1)等于()A．3B.eq\f(1,3)C．1D．－1答案B解析由题意知g(x)是f(x)＝log3x的反函数，所以g(x)＝3x，所以g(－1)＝3－1＝eq\f(1,3).2．已知幂函数f(x)满足eq\f(f6,f2)＝4，则f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))的值为()A．2B.eq\f(1,4)C．－eq\f(1,4)D．－2答案B解析依题意，设f(x)＝xα，则eq\f(f6,f2)＝eq\f(6α,2α)＝3α＝4，所以f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))α＝eq\f(1,3α)＝eq\f(1,4).3．函数y＝log0.5(2－x－x2)的单调递增区间为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))答案D解析由2－x－x2>0，解得－2<x<1，故函数的定义域是(－2,1)，因为函数u＝2－x－x2在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2)))上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))上单调递减，且函数y＝log0.5u在定义域上是减函数，根据复合函数单调性之间的关系可知，函数y＝log0.5(2－x－x2)的单调递增区间是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1)).4．在同一平面直角坐标系中，函数y＝a－x，y＝logax＋a(a>0且a≠1)的图象可能是()答案A解析对于A，B，若y＝a－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))x的图象正确，则0<a<1，∴y＝logax＋a单调递减，又当x＝1时，y＝loga1＋a＝a>0，故A正确，B错误；对于C，D，若y＝a－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))x的图象正确，则a>1，∴y＝logax＋a单调递增，故C，D错误．5．函数f(x)＝lg(4x－2x＋1＋11)的最小值是()A．10B．1C．11D．lg11答案B解析设t＝4x－2x＋1＋11，则y＝lgt，因为t＝4x－2x＋1＋11＝(2x)2－2·2x＋11＝(2x－1)2＋10≥10，所以y＝lgt≥lg10＝1，所以f(x)＝lg(4x－2x＋1＋11)的最小值为1.6．若实数m，n，p满足SKIPIF1<0，p＝eq\f(18,e2)，则()A．p<m<n B．p<n<mC．m<p<n D．n<p<m答案A解析∵实数m，n，p满足SKIPIF1<0，p＝eq\f(18,e2)，∴eq\f(m,n)＝SKIPIF1<0<1，∴m<n；又eq\f(m,p)＝SKIPIF1<0>1，∴m>p，∴p<m<n.7．已知函数f(x)＝loga(x2＋ax＋3)(a>0且a≠1)，若f(x)>1恒成立，则实数a的取值范围是()A．(1,2)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))D．(2，＋∞)答案A解析令g(x)＝x2＋ax＋3，可得函数g(x)的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x＝－eq\f(a,2)，所以g(x)≥geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))＝3－eq\f(a2,4)，因为f(x)>1恒成立，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1，,3－\f(a2,4)>a，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1，,a2＋4a－12<0，))解得1<a<2，即实数a的取值范围是(1,2)．8．净水机常采用分级过滤，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的PP棉滤芯(聚丙烯熔喷滤芯)构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质．假设每一层PP棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，过滤前水中大颗粒杂质含量为25mg/L，若要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2.5mg/L，则PP棉滤芯层数最少为(参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48)()A．5B．6C．7D．8答案B解析设过滤后水中大颗粒杂质含量为ymg/L，则经过x层过滤后，满足y＝25×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))x＝25×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x，x∈N*，若要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2.5mg/L，则25×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x≤2.5，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x≤eq\f(1,10)，∵y＝lgx在区间(0，＋∞)上单调递增，∴lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x≤lgeq\f(1,10)，∴xlgeq\f(2,3)≤－1，∴x(lg2－lg3)≤－1，∵lg2－lg3<0，∴x≥eq\f(－1,lg2－lg3)≈eq\f(1,0.18)≈5.6，∵x∈N*，∴x的最小值为6，∴PP棉滤芯层数最少为6.二、多项选择题9．在下列四个图形中，二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))x的图象可能是()答案ABD解析当a>b>0时，A正确；当b>a>0时，B正确；当0>a>b时，D正确；当0>b>a时，无此选项．10．若0<a<1，则下列关系成立的是()A．loga(1－a)>loga(1＋a)B．loga(1＋a)<0C．SKIPIF1<0D．a1－a<1答案ABD解析因为0<a<1，所以0<1－a<1＋a，因此loga(1－a)>loga(1＋a)，故A正确；因为0<a<1，所以1<1＋a<2，因此loga(1＋a)<loga1＝0，故B正确；因为0<a<1，所以0<1－a<1，因此SKIPIF1<0，故C不正确；因为0<a<1，所以0<1－a<1，因此a1－a<a0＝1，故D正确．11．已知函数f(x)＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|＋b的图象经过原点，且无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是()A．a＋b＝0B．若f(x)＝f(y)，且x≠y，则x＋y＝0C．若x<y<0，则f(x)<f(y)D．f(x)的值域为[0,2)答案ABD解析∵函数f(x)＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|＋b的图象过原点，∴a＋b＝0，故A正确；即b＝－a，f(x)＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|－a，∵函数f(x)的图象无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，∴b＝2，即a＝－2，f(x)＝－2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|＋2.由于f(x)为偶函数，故若f(x)＝f(y)，且x≠y，则x＝－y，即x＋y＝0，故B正确；由于f(x)＝－2·2x＋2在(－∞，0)上单调递减，故若x<y<0，则f(x)>f(y)，故C错误；由于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|∈(0,1]，∴f(x)＝－2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|＋2∈[0,2)，故D正确．12．已知正实数x，y，z满足2x＝3y＝6z，则()A.eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(1,z) B．2x>3y>6zC．xy<4z2 D．x＋y>4z答案AD解析令2x＝3y＝6z＝t，则t>1，可得x＝log2t，y＝log3t，z＝log6t.对于A，eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(1,log2t)＋eq\f(1,log3t)＝eq\f(lg2,lgt)＋eq\f(lg3,lgt)＝eq\f(lg6,lgt)＝logt6＝eq\f(1,z)，故A正确；对于B，因为t>1，所以lgt>0，2x－3y＝2log2t－3log3t＝eq\f(2lgt,lg2)－eq\f(3lgt,lg3)＝eq\f(lgtlg32－lg23,lg2·lg3)＝eq\f(lgt·lg\f(9,8),lg2·lg3)>0，即2x>3y；3y－6z＝3log3t－6log6t＝eq\f(3lgt,lg3)－eq\f(6lgt,lg6)＝eq\f(3lgtlg6－lg32,lg3·lg6)＝eq\f(3lgt·lg\f(2,3),lg3·lg6)<0，即3y<6z，故B错误；对于C，xy＝log2t·log3t＝eq\f(lgt,lg2)·eq\f(lgt,lg3)＝eq\f(lgt2,lg2·lg3)，4z2＝4(log6t)2＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lgt,lg6)))2＝eq\f(4lgt2,lg62)，lgt>0，因为0<lg2·lg3<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2＋lg3,2)))2＝eq\f(lg62,4)，所以eq\f(1,lg2·lg3)>eq\f(4,lg62)，则eq\f(lgt2,lg2·lg3)>eq\f(4lgt2,lg62)，即xy>4z2，故C错误；对于D，x＋y＝log2t＋log3t＝eq\f(lgt,lg2)＋eq\f(lgt,lg3)＝eq\f(lg6·lgt,lg2·lg3)，4z＝4log6t＝eq\f(4lgt,lg6)，lgt>0，由C的分析可知eq\f(1,lg2·lg3)>eq\f(4,lg62)，则eq\f(lg6·lgt,lg2·lg3)>eq\f(4lg6·lgt,lg62)＝eq\f(4lgt,lg6)，即x＋y>4z，故D正确．三、填空题13．计算：SKIPIF1<0＋πlg1＋log2eq\f(2,3)－log4eq\f(16,9)＝________.答案eq\f(4,9)解析SKIPIF1<0＋πlg1＋log2eq\f(2,3)－log4eq\f(16,9)＝SKIPIF1<0＋π0＋log2eq\f(2,3)－log2eq\f(4,3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＋1＋log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)×\f(3,4)))＝eq\f(4,9)＋1－1＝eq\f(4,9).14．方程logx10＋SKIPIF1<0＝6的解为________．答案x＝eq\r(4,10)解析由题意得logx10＋SKIPIF1<0＝eq\f(lg10,lgx)＋eq\f(lg10,lgx2)＝eq\f(2＋1,2lgx)＝eq\f(3,2lgx)＝6，即lgx＝eq\f(1,4)，解得x＝eq\r(4,10).15．已知函数f(x)＝lg(|x|＋1)，则使不等式f(2x＋1)<f(3x)成立的x的取值范围是________．答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－\f(1,5)或x>1))))解析f(x)＝lg(|x|＋1)的定义域为R，因为f(－x)＝lg(|－x|＋1)＝lg(|x|＋1)＝f(x)，所以f(x)是偶函数，因为当x>0时，f(x)＝lg(|x|＋1)＝lg(x＋1)单调递增，所以当x<0时，f(x)＝lg(|x|＋1)单调递减，由f(2x＋1)<f(3x)可得|2x＋1|<|3x|，解得x<－eq\f(1,5)或x>1，所以x的取值范围是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－\f(1,5)或x>1)))).16．若关于x的不等式kex＋(k－1)e－x＋2k＋1<0在(0，＋∞)上恒成立，则实数k的取值范围是________．答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(k\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(k<－\f(1,8)))))解析因为ex>0，