2022年新教材高中数学课时检测16复数的几何意义（含解析）

复数的几何意义(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.已知复数z在复平面上对应的点为(1,1),则()A.z=1+i B.z=1+iC.z+i是实数 D.z+i是纯虚数【解析】选C.因为复数z在复平面上对应的点为(1,1),所以z=1i.所以z+i=1i+i=1,所以z+i是实数.2.已知z1=5+3i,z2=5+4i,下列选项中正确的是 ()A.z1>z2 B.z1<z2C.|z1|>|z2| D.|z1|<|z2|【解析】选D.因为复数不能比较大小,所以A,B不正确,又|z1|==,|z2|==,所以|z1|<|z2|,故C不正确,D正确.3.向量对应的复数为z1=3+2i,对应的复数为z2=1i,则|+|为 ()A. B. C.2 D.【解析】选A.因为z1=3+2i,z2=1i,所以=(3,2),=(1,1),则+=(2,1),所以|+|==.4.若i为虚数单位,图中网格纸的小正方形的边长是1,复平面内点Z表示复数z,则等于()A.2+I B.2iC.2+i D.2i【解析】选B.点Z(2,1)对应复数z=2+i,与z互为共轭复数,对应的两点关于实轴对称,所以=2i.5.在复平面内,对应的复数是2+i,对应的复数是13i,则对应的复数为()A.12i B.1+2iC.3+4i D.34i【解析】选D.由题意知=(2,1),=(1,3).=+=(1,3)+(2,1)=(3,4),所以对应的复数为34i.6.(多选题)下列关于复数z=a+bi,a,b∈R的说法正确的是 ()A.=abiB.若=z,则b=0C.若|z|=0,则z=0D.若|z|≠0,则ab≠0【解析】选ABC.由复数z=a+bi,a,b∈R,得=abi,选项A正确;若=z,则a+bi=abi,b=b,所以b=0,选项B正确;若|z|=0,则a2+b2=0,所以a=b=0,z=0,选项C正确;若|z|≠0,则a2+b2≠0,所以a,b至少有一个不为0,选项D不正确.二、填空题(每小题5分,共10分)7.已知复平面内,点(2cos300°,2sin300°)对应的复数为z,则z=________,|z|=________.

【解析】由点的坐标(2cos300°,2sin300°),得(1,),对应的复数为z=1i,|z|=2.答案:1i28.复平面上,实轴上的点A(3,0)与虚轴上的点B(0,4),则向量对应的复数的实部为________,虚部为________.

【解析】复平面上,实轴上的点A(3,0)与虚轴上的点B(0,4),则=(3,4),对应的复数z=34i的实部为3,虚部为4.答案:34三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知z=x+yi,x,y∈R,若2x1+(y+1)i=xy+(xy)i.(1)求实数x,y的值;(2)求.【解析】(1)因为x,y为实数,所以2x1,y+1,xy,xy都为实数,由复数相等的充要条件得解得(2)=xyi=3+2i.10.已知复数z满足|z+1i|=1,求|z|的最大值和最小值.【解析】设复数z对应向量,复数z1=1+i对应向量,由|z+1i|=|z(1+i)|=1,得||=||=1,所以动点Z的轨迹是以C(1,1)为圆心,半径为1的圆,所以复数z对应的点的轨迹是以1+i对应的点C为圆心,以1为半径的圆,画出方程|z+1i|=1表示的轨迹,如图,而|z|则表示该圆上的点到原点O的距离,由平面几何知识可知,使圆上的点到原点距离取最大(最小)值的点在直线OC与圆的交点处.所以|z|最大值为|OC|+r=+1,最小值为|OC|r=1.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.(多选题)设复数z=(2t2+5t3)+(t2+2t+2)i,t∈R,则以下结论中正确的是()A.复数z对应的点在第一象限B.复数z可能是纯虚数C.复数z对应的点在实轴上方D.复数z一定是实数【解析】选BC.因为z的虚部t2+2t+2=(t+1)2+1恒为正,所以z对应的点在实轴上方,且z一定是虚数,排除D.又z的实部2t2+5t3=(t+3)(2t1)可为正、为零、为负,所以选项A不正确.当t=3或时B正确.2.欧拉公式eix=cosx+isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”,根据欧拉公式可知,e2i表示的复数在复平面中位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选C.e2i=cos(2)+isin(2),对应点为(cos(2),sin(2)),由于π<2<,因此cos(2)<0,sin(2)<0,所以点(cos(2),sin(2))在第三象限.3.(多选题)复平面内,下列关于复数的叙述正确的是 ()A.原点对应的复数是0B.纯虚数对应的点在虚轴上C.实轴上的点对应的复数是实数D.虚轴上的点对应的复数是虚数【解析】选ABC.复平面内,原点对应的复数是0,选项A正确.纯虚数对应的点在虚轴上,选项B正确.实轴上的点对应的复数是实数,选项C正确.虚轴上除原点以外的点对应的复数是虚数,选项D错误.4.设复数z=m(3+i)(2+i)(m∈R,i为虚数单位).在复平面内对应的点不可能位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选B.复数z=(3m2)+(m1)i在复平面内的对应点P(3m2,m1).当m>1时P在第一象限;当m<时P在第三象限;当<m<1时P在第四象限;当m=时P在y轴上;当m=1时P在x轴上.【补偿训练】设A,B为锐角三角形的两个内角,则复数z=(cosBtanA)+itanB对应的点位于复平面的 ()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选B.因为A,B为锐角三角形的两个内角,所以A+B>,即A>B,sinA>cosB.cosBtanA=cosB<cosBsinA<0,又tanB>0,所以点(cosBtanA,tanB)在第二象限.二、填空题(每小题5分,共20分)5.复平面内,点(2,3)对应的复数的共轭复数为______.

【解析】复平面内,点(2,3)对应的复数z=2+3i,共轭复数为=23i.答案:23i6.复数z1=3与z2=2i对应的两点间的距离为______.

【解析】复数z1=3与z2=2i对应的两点Z1(3,0),Z2(2,)间的距离为|Z1Z2|==2.答案:27.已知z|z|=1+i,则复数z=______.

【解析】设z=x+yi(x,y∈R),由题意得x+yi=1+i,即(x)+yi=1+i,所以解得所以z=i.答案:i8.已知复数z=(a2-2a)+(a2a2)i对应的点在虚轴上,且z≠0,则a的值为________.

【解析】由题意,得a2-2a=0,得a=0或a=2.当a=2时z=0,与题意不符.答案:0三、解答题(每小题10分,共30分)9.如果复数z=(m2+m1)+(4m2【解析】因为复数z对应的点在第一象限.所以解得m<或m>.所以实数m的取值范围为∪.10.已知两向量a,b对应的复数分别是z1=3,z2=+mi(m∈R),且a,b的夹角为60°,求m的值.【解析】因为a,b对应的复数分别为z1=3,z2=+mi(m∈R),所以a=(3,0),b=.又a,b的夹角为60°,所以cos60°=,即=,解得m=±.11.设复数z=(2x+a)+(2x+a)i,x,a