2024-2025学年浙江省杭州市高三（上）诊断数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年浙江省杭州市高三（上）诊断数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|−2<x<4}，B={x|x2−2x−3>0}，则A∩B=A.(−2,−1) B.(3,4) C.(−1,3) D.(−2,−1)∪(3,4)2.已知复数z满足(z−1)i=1，则z=(

)A.1+i B.1−i C.−1+i D.−1−i3.“xy>0”是“x>0，y>0”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知a=(1,1)，b=(1,0)，若(a+λbA.−2 B.2 C.−1 D.15.已知奇函数f(x)在(0,+∞)上是减函数，则f(x)可以是(

)A.1x+x B.1x−x C.6.已知{an}是等比数列，且a1=1，a2a3=8，A.a4=16 B.S5=32 C.7.已知△ABC的三个顶点在半径为2的球O的球面上，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则三棱锥O−ABC的体积为(

)A.12 B.13 C.38.已知函数f(x)=cos(ωx−π3)(ω>0)在(π2,π)A.(1,2) B.(1,43] C.(二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c且a=3，b=5，c=2A.△ABC是锐角三角形B.B=π4C.△ABC的面积为32D.10.已知定义域为Z的函数f(x)满足对于任意x，y∈Z，都有f(x+y)=f(x)f(1−y)+f(1−x)f(y)，且f(1)=1，则下列结论正确的是(

)A.f(2)=0 B.f(x)的图象关于点(1,0)对称

C.f(x)的图象关于直线x=1对称 D.f(2025)=−111.已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，CC1=1，ACA.直线AB与平面AB1C1所成角为30° B.直线AC1与平面BCC1B1所成角为45°

C.点C到直线A三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且a3+a413.已知函数f(x)=logax(a>0,a≠1)的图象经过点(2,−1)，则不等式f(x)<f(2x−1)14.如图，扇形OPQ的半径为1，圆心角∠POQ=120°，A是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形，则矩形ABCD面积的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知集合A={x|0<log2x≤1}，B={y|y=2x}.

(1)求A∩B；

(2)若f(x)=216.(本小题15分)

已知单调递增的等比数列{an}满足a4−a2=12，a3=8．

(1)求{an}的通项公式；

(2)设17.(本小题15分)

已知函数f(x)=3sinxcosx−cos2x+12，x∈R，设锐角△ABC三个角A，B，C的对边分别为a，b，c．

(1)若a=7，f(A)=1，2sinB=3sinC，求b，c的值；

(2)将函数f(x)的图象向左平移π3个单位后得到函数18.(本小题17分)

如图，三棱锥P−ABC中，AB⊥AC，AB=AC=PA，∠PAB=∠PAC=60°，O为BC中点，点Q满足BQ=AP．

(1)证明：OP⊥平面ABC；

(2)求二面角A−BC−Q的大小；

(3)在线段BQ上是否存在一点M，使得直线AM与平面BCQ所成角的正弦值为7719.(本小题17分)

已知函数f(x)=ex，令a1>0，过点(a1,f(a1))作曲线y=f(x)的切线，交x轴于点(a2,0)，再过(a2,f(a2))作曲线y=f(x)的切线，交x轴于点(a3,0)，…，以此类推，得到数列{an}(n∈N∗).

(1)参考答案1.D

2.B

3.B

4.A

5.B

6.C

7.A

8.B

9.BC

10.AC

11.BCD

12.145

13.{x|114.315.解：(1)由题意得A={x|0<log2x≤1}={x|1<x≤2}，B={y|y>0}，

∴A∩B=(1,2]；

(2)由题意得f(x)=2x+a2x的定义域为R，且f(x)是奇函数，

∴f(0)=1+a=0，∴a=−1，f(x)=2x−12x，经检验合题意，

∵f(x)=2x16.解：(1)设单调递增的等比数列{an}的公比为q，

由a4−a2=12，a3=8，可得a1q3−a1q=12，a1q2=8，

解得a1=q=2或a1=32，q=−12(舍去)，

∴an=2n(n∈N∗)；

(2)由(1)可得bn=(n−4)×217.解：(1)由题意得f(x)=32sin2x−12cos2x=sin(2x−π6)，

∴f(A)=sin(2A−π6)=1，

∵0<A<π2，∴A=π3，

∵2sinB=3sinC，由正弦定理可得2b=3c，

∵a=7，由余弦定理得a2=b2+c2−2bccosA=9c24+c218.解：(1)证明：连接AO，

∵AB=PA，∠PAB=60°，

∴△PAB是正三角形，得PB=AB=PA，

同理可得PC=AB，

∴PB=PC，又BO=CO，∴OP⊥BC，

∵AB=AC，∴AO⊥BC，

∵AB⊥AC，

∴AO=BO=12BC，结合OP⊥BC，

得PB2=OP2+BO2，

∴PA2=PB2=OP2+BO2=OP2+AO2，

∴OP⊥AO，

∵AO∩BC=O，AO，BC在平面ABC内，

∴OP⊥平面ABC；

(2)由(1)得OP⊥AO，OP⊥BO，AO⊥BO，以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

设AB=2，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,−1,0)，P(0,0,1)，

∵BQ=AP，∴Q(−1,1,1)，

OP=(0,0,1)是平面ABC的一个法向量，

设m=(x,y,z)是平面BCQ的一个法向量，则m⊥BCm⊥BQ，

即−2y=0−x+z=0，取z=1，得m=(1,0,1)，

∴cos<19.解：(1)证明：根据已知得曲线y=f(x)在点(an,f(an))处的切线方程为y−f(an)=f′(an)(x−an)，

所以y−ean=ean