2024-2025学年重庆110中学教育集团九年级（上）月考数学试卷（12月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年重庆110中学教育集团九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在下列各数中，最小的数是(

)A.−1 B.0 C.1 D.−22.下列图形中，是中心对称图形的是(

)A. B. C. D.3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则cosA的值是(

)A.35 B.45 C.344.若点M(−3,4)在某一反比例函数的图象上，则下列各点也在该反比例函数的图象上的是(

)A.(3,−4) B.(4,3) C.(3,4) D.(−3,−4)5.如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若△ABC与△DEF的面积比为4：9，则OA：OD为(

)A.4：9

B.2：3

C.2：1

D.3：16.下列图形是由同样大小的围棋棋子按照一定规律摆成的“山”字，其中第①个“山”字中有7颗棋子，第②个“山”字中有12颗棋子，第③个“山”字中有17颗棋子，…，按照此规律，第⑥个“山”字中棋子颗数为(    )颗．

A.32 B.37 C.22 D.427.设m=7−63，则实数A.−7和−6之间 B.−6和−5之间 C.−5和−4之间 D.−4和−3之间8.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(−1,0)，对称轴为直线x=2，下列结论：(1)a<0，b>0，c>0；(2)4a+b=0；(3)9a+c>3b；(4)若点A(−2,y1)，点B(2,y2)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个9.如图，点E为正方形ABCD的对角线BD上的一点，连接CE，过点E作EF⊥CE交AB于点F，交对角线AC于点G，且点G为EF的中点，若正方形的边长为42，则AG的长为(

)A.2

B.3

C.22

10.数形结合是解决一些数学问题的重要思想方法，比如|x1−x2|在数轴上表示数x1，x2对应的点之间的距离.现定义一种“H运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和.例如：对−1，1，2进行“H运算”，得|−1−1|+|−1−2|+|1−2|=6.下列说法：

①对m，−1进行“H运算”的结果是3，则m的值是2；

②对n，−3，5进行“H运算”的结果是16，则n的取值范围是−3<n<5；

③对a，a，b，c进行“HA.0 B.1 C.2 D.3二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。11.计算：(12)−112.二次函数y=−2(x−2)2−513.某种茶叶的价格两次下降，每次下降的百分率相同，原来每袋125元，现在每袋80元，则每次下降的百分率是______．14.在一只不透明的袋中，装着标有数字3，4，5，7的质地、大小均相同的4个小球．小明和小东同时从袋中随机各摸出1个球，并计算这两球上的数字之和，当和小于9时小明获胜，反之小东获胜．则小东获胜的概率是______．15.如图，△ABO的顶点A在函数y=kx(x<0)的图象上，∠ABO=90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q.若四边形MNQP的面积为3，则k的值为______．16.若整数a使得关于x的不等式组x−42+x+13≤5a−x<0有解，且关于y的分式方程a+y2−y17.已知正方形ABCD的边长为4，CE=DF=3，DE和AF相交于点G，连接BG，点H是线段AE的中点，连接HG，若∠HGB=∠DAF，则GB=______．18.如果一个四位自然数，其千位数字等于百位数字加十位数字的和，个位数字等于百位数字减十位数字的差，则我们称这样的四位数为“幸福数”.例如：自然数5413，因为5=4+1，3=4−1，所以5413是“幸福数”.最小的“幸福数”是______；若一个“幸福数”的后三位数字所表示的数与千位数字的7倍之差能被13整除，则满足条件的“幸福数”中，最大的一个是______．三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.(本小题8分)

(1)解一元二次方程：m2+4m+3=0；

(2)计算：x20.(本小题10分)

某学校团委举行了以“热血青春逐梦想，挺膺担当筑韶华”为主题的建国知识竞赛活动.为了了解七、八年级学生对建国知识的掌握情况，现从七年级和八年级参加比赛的学生中各随机抽取20名同学的成绩(百分制)进行分析(单位：分，成绩得分用x表示，成绩均为整数，满分为100分，95分及95分以上为优秀)，将学生的比赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是：A.95≤x≤100，B.90≤x<95，C.85≤x<90，D.80≤x<85.下面给出了部分信息：

七年级被抽取的20名学生的竞赛成绩分别是：100，97，97，96，94，94，94，92，91，90，90，89，88，88，87，85，83，82，82，81；

八年级被抽取的20名学生的竞赛成绩在B等级中的数据分别是：90，91，92，93，93，94；

七、八年级抽取的学生比赛成绩统计表

年级平均数中位数众数优秀率七年级9090a20%八年级90b96m%根据以上信息，解答下列问题：

(1)请填空：a=______，b=______，m=______；

(2)根据以上数据，你认为这次竞赛中该校七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好？请说明理由(一条理由即可)；

(3)若该校七年级有1500人、八年级有1600人参加了这次竞赛活动，请估计七年级、八年级学生参加此次竞赛成绩为优秀的共有多少人？21.(本小题10分)

如图，在四边ABCD中，AD//BC，BD是对角线．

(1)用尺规完成以下基本作图：作线段BD的垂直平分线EF，EF分别交BD，AD，BC于点O，E，F.连接BE，DF.(只保留作图痕迹)

(2)在(1)问所作的图形中，求证：四边形BFDE为菱形.(请完成下面的填空)

证明：∵EF垂直平分BD，

∴①______，EF⊥BD．

∵AD//BC，

∴②______．

∵在△EDO和△FBO中，

∠EDO=∠FBODO=BO③_____

∴△EDO≌△FBO(ASA)．

∴OE=OF，

∵DO=BO，

∴四边形BFDE为平行四边形．

∵④______，

∴四边形BFDE为菱形(对角线垂直的平行四边形为菱形)．

在作图过程中，进一步研究还可发现，夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后，可以得到一个特殊四边形，请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后⑤______．22.(本小题10分)

某商场有A，B两款电器，已知每台A款电器的售价是每台B款电器售价的54倍，顾客用1200元购买A款电器的数量比用1200元购买B款电器的数量少1台．

(1)求A，B两款电器每台的售价；

(2)经统计，每台A款电器的利润为100元时每月可以卖出100台，为了尽可能减少库存，该商场决定采取适当降价措施.调查发现，每台A款电器的售价每降低10元，则平均每月可多售出20台，该商场想要每月销售A款电器的利润为10800元，则每台A款电器应降价多少元？23.(本小题10分)

如图，正方形ABCD是边长为4，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿折线A→D→C运动，到达点C停止运动，动点F以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿折线C→B→A运动，到达点A停止运动，两动点同时出发，设运动时间为x秒，△BEF的面积为y．

(1)请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围；

(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；

(3)结合函数图象，直接写出△BEF的面积为6时x的值．24.(本小题10分)

在公园里，同一平面内的五处景点的道路分布如图所示，经测量，点D、E均在点C的正北方向且CE=900米，点B在点C的正西方向，且BC=3003米，点B在点A的南偏东60°方向且AB=600米，点D在点A的东北方向.(参考数据：2≈1.414,3≈1.732,6≈2.449)

(1)求道路AD的长度(结果保留根号)；

(2)若甲从A点出发沿A−D−E的路径去点E，与此同时乙从点B出发，沿B−A−E25.(本小题10分)

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+94x+c经过点A(−4,0)，B(1,0)，交y轴于点C．

(1)求抛物线的表达式；

(2)点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，过点P作PD/​/AC交x轴于点D，求AD−PE的最大值及此时点P的坐标；

(3)将原抛物线沿射线CA方向平移52个单位长度，平移后抛物线上一点G，使得∠BAG=45°−∠OCB，请写出所有符合条件的点G的坐标26.(本小题10分)

△ABC是等边三角形，点D为线段BC上任意一点，连接AD，E为直线AB上一点．

(1)如图1，当点D为BC中点时，点E在AB边上，连接DE，若AE=1，BE=3，求DE的长．

(2)如图2，若点E为AB延长线上一点，且BE=CD，点F为CB延长线一点，且∠FAD=60°，猜想线段AF，EF，AD之间的数量关系，并证明你的猜想；

(3)如图3，在(1)的条件下，M为线段AD上一点，连接ME，将线段ME绕点E顺时针旋转60°，得到线段EN，连接MN，当BN+DN的值最小时，直接写出△AEM的面积．

参考答案1.D

2.D

3.B

4.A

5.B

6.A

7.B

8.C

9.B

10.A

11.2−12.(2,−5)

13.20%

14.2315.−18

16.−11

17.418.1101

9817

19.解：(1)m2+4m+3=0；

(m+3)(m+1)=0，

m1=−3，m2=−1；

(2)x2−xx20.21.在作图过程中，进一步研究还可发现，夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后，可以得到一个特殊四边形，请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后得到的四边形是菱形，22.解：(1)设每台B款电器的售价为x元，则每台A款电器的售价为54x元，

由题意得：120054x=1200x−1，

解得：x=240，

经检验，x=240是原方程的解，且符合题意，

答：每台B款电器的售价为240元；

(2)设每台A款电器应降价m元，

由题意得：(100−m)(100+m10×20)=10800，

整理得：m2−50m+400=0，

23.解：(1)①当0≤x<4时，动点E在上AD运动，动点F在上BC运动，

作EG⊥BC，如图所示：

∵CF=x，EG=AB=4，

∴BF=4−x，

∴S△BEF=12BF×EG=12(4−x)×4=8−2x；

②当4<x≤8时，动点E在上CD运动，动点F在上AB运动，

作EG⊥AB，如图所示：

∵BF=x−4，EG=BC=4，

∴S△BEF=12BF×EG=12(x−4)×4=2x−8；

综上所述：y=8−2x(0≤x≤4)2x−8(4<x≤8)；

(2)由(1)中的表达式可知：当x=0时，y=8；当时x=4，y=0；当时x=8，y=8；分别描出三个点(0,8)，(4,0)，(8,0)，然后依次连接，如图：

由图可知，当0≤x≤4时，y随x的增大而减小；当4<x≤8时，y随x的增大而增大；

(3)解：作出直线y=6，如图所示：

可知直线y=6与函数y=8−2x(0≤x≤4)24.解：(1)过点A作AF⊥CB，交CB的延长线于点F，过点A作AG⊥DC，垂足为G，如图所示：

由题意得：

AF=CG，AG=CF，

在Rt△AFB中，∠BAF=60°，AB=600米，

∴AF=AB⋅cos60°=600×12=300(米)，

BF=AB⋅sin60°=600×32=3003(米)，

∴CG=AF=300米，

∵BC=3003米，

∴CF=BF+BC=3003+3003=6003(米)，

∴AG=CF=6003米，

在Rt△ADG中，∠DAG=90°−45°=45°，

∴AD=AGcos45∘=600322=6006(米)，

∴道路AD的长度约为6006米；

(2)∵CE=900米，CG=300米，

∴EG=CE−CG=600(米)，

在Rt△AGE中，AG=60025.解：(1)将A(−4,0)，B(1,0)代入y=ax2+94x+c，

∴16a−9+c=0a+94+c=0，

解得a=34c=−3，

∴抛物线的解析式为y=34x2+94x−3；

(2)过点P作PF/​/y轴交直线AC于点F，交x轴于点M，过点A作AN⊥DP交于N点，

∵PE⊥AC，

∴∠EPF=∠OAC，

∵OC=3，OA=4，

∴AC=5，

∴cos∠OAC=cos∠EPF=45，

∴PE=45PF，

∵PD//AC，

∴∠OAC=∠ODP，

∴AN=PE=35AD，

∴AD=PE=43PF，

∴AD−PE=43PF−45PF=815PF，

设直线AC的解析式为y=kx−3，

∴−4k−3=0，

解得k=−34，

∴直线AC的解析式为y=−34x−3，

设P(t,34t2+94t−3)，则F(t,−34t−3)，

∴PF=−34t2−3t，

∴AD−PE=815(−34t2−3t)=−25(t+2)2+85，

∴当t=2时，AD−PE有最大值85，此时P(−2,−92)；

(3)∵原抛物线沿射线CA方向平移52个单位长度，

∴抛物线沿着x轴负半轴平移2个单位长度，沿着y26.解：(1)如图1，

作EF⊥AD于F，

∵△ABC是等边三角形，点D是BC的中点，

∴BC=AB=AE+BE=4，AD⊥BC，BD=CD=12BC=2，AD=32AB=23，

∴EF/​/BC，

∴△AEF∽△ABD，

∴AFA