数学课堂探究：排列与组合（第课时）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一简单的排列问题在“树形图”的操作中,先将元素按一定顺序排出，然后以安排哪个元素为首位为标准，进行分类,再在余下的元素中确定第二位并按顺序分类，依次一直进行到完成一个排列．这样就能不重不漏地依照“树形图”写出所有的排列．【典型例题1】（1）从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成不同的两位数，一共可以组成多少个？(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列．思路分析:解答时按顺序分步解决，然后利用树形图列出所有排列．解：（1)由题意作树形图，如下．故组成的所有两位数为12,13,14,21,23，24,31,32，34,41,42,43，共有12个．（2）由题意作树形图，如下．故所有的排列为：abc，abd，acb,acd，adb,adc,bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab,cad,cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc,dca,dcb。规律总结解决排列问题的步骤:(1）分清问题是否与元素的顺序有关，若与顺序有关，则是排列问题；（2）注意排列对元素或位置有无特殊要求；(3）借助排列数公式计算．探究二排列数公式（1）排列数的第一个公式Aeq\o\al(m，n）＝n（n－1)(n－2)…(n－m＋1)适用于具体计算以及解当m较小时的含有排列数的方程和不等式；在运用该公式时要注意它的特点．(2)排列数的第二个公式Aeq\o\al（m,n）＝eq\f(n!，n－m！)适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，应注意先提取公因式，再计算，同时还要注意隐含条件“m≤n且m∈N*，n∈N*”的运用．【典型例题2】（1)计算2Aeq\o\al（3，4)＋Aeq\o\al(4，4)；（2）计算eq\f（4A\o\al(4,8)＋2A\o\al(5,8)，A\o\al(8，8)－A\o\al(5，9))；（3)求3Aeq\o\al(x，8）＝4Aeq\o\al(x－1,9)中的x。思路分析：（1)，（2）两题直接运用排列数的公式计算．（3）用排列数的公式展开得方程，然后求解．要注意x的取值范围，并检验根是否合理．解：（1)2Aeq\o\al（3,4）＋Aeq\o\al（4，4)＝2×4×3×2＋4×3×2×1＝72。（2)eq\f(4A\o\al(4，8）＋2A\o\al(5，8），A\o\al（8,8）－A\o\al（5，9))＝eq\f（4A\o\al（4，8）＋2×4A\o\al（4，8)，4×3×2A\o\al（4，8)－9A\o\al（4，8）)＝eq\f（4＋8,24－9)＝eq\f(4，5).(3）原方程3Aeq\o\al(x，8）＝4Aeq\o\al（x－1，9）可化为eq\f（3×8！，8－x！）＝eq\f（4×9!，10－x!）,即eq\f(3×8!,8－x！）＝eq\f（4×9×8！，10－x9－x8－x！),化简,得x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13.由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤8，，x－1≤9,）)解得x≤8.所以原方程的解为x＝6。规律总结应用排列数公式时应注意以下几个方面:(1）准确展开：应用排列数公式展开时要注意展开式的项数要准确．(2)合理约分:若运算式是分式形式,则要先约分后计算．(3)合理组合：运算时要结合数据特点,应用乘法的交换律、结合律，进行数据的组合，可以提高运算的速度和准确性．探究三常见的排列问题涉及有约束条件的排列问题，首先考虑元素的排法或特殊位置上元素的选法，再考虑其他元素的位置（这种方法称为特殊元素法或特殊位置法）；或者，先求出无约束条件的排列数，再减去不符合条件的排列数（也叫做间接法或排除法）,这是解排列题的基本策略．所谓“捆绑法”与“插空法”，实际上都是特殊元素（位置）特殊考虑的结果．要求相邻的两个元素是特殊元素，先把这两个元素“捆绑"起来处理；要求不相邻的元素也是特殊元素，一般考虑用“插空法”．【典型例题3】用0，1，2，3,4这五个数字，组成五位数：（1）可组成多少个五位数?(2)可组成多少个无重复数字的五位数？（3)可组成多少个无重复数字的五位奇数？（4）若1和3相邻，则可组成多少个无重复数字的五位数?（5)若1和3不相邻，则可组成多少个无重复数字的五位数？（6）若1不在万位，2不在个位，则可组成多少个无重复数字的五位数？思路分析:该题目中的特殊元素为0，它不能放在首位．（1）首位不为0,数字可以重复；(2）只需限制首位不为0；(3）限制末位是奇数，首位不是0；（4)把1,3看成整体进行排列；(5）可间接求，也可直接求,用插空法；（6）可从特殊位置或元素入手分析．解:（1)各个数位上的数字允许重复，由分步计数原理得,共可组成4×5×5×5×5＝2500个五位数．(2）方法一：(优先考虑特殊位置)先排万位，从1，2，3,4中任取一个有Aeq\o\al（1,4）种方法，其余四个位置排四个数字共有Aeq\o\al(4,4）种方法，所以组成的无重复数字的五位数共有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al（4,4）＝96(个)．方法二:（优先考虑特殊元素）先排0，除首位之外的其他四个数位均可,有Aeq\o\al（1，4）种方法，其余四个数字全排，有Aeq\o\al（4，4)种方法．故组成的无重复数字的五位数共有Aeq\o\al（1，4)Aeq\o\al（4,4）＝96（个）．（3)（优先考虑特殊位置）先排个位，1和3均可,有Aeq\o\al（1，2)种方法．然后从剩下的3个非0数中选一个排在万位，有Aeq\o\al(1，3)种方法，最后将剩下的3个数排在其他三个数位上，有Aeq\o\al(3,3)种方法．故组成的无重复数字的五位奇数共有Aeq\o\al（1,2）Aeq\o\al(1,3）Aeq\o\al(3，3）＝36（个)．（4）(捆绑法）若1和3相邻，则把1和3“捆绑”，看成一个整体与0,2,4进行排列．则共可组成无重复数字的五位数共有Aeq\o\al(2，2）Aeq\o\al（1，3）Aeq\o\al(3,3）＝36（个)．(5)方法一:（间接法）由(2),（4)两问可得，1和3不相邻时，共可组成无重复数字的五位数有96－36＝60(个）．方法二：(插空法）先将0，2,4排好,再将1和3分别插入产生的4个空当中有Aeq\o\al(3，3）Aeq\o\al（2,4）＝72种排法，而当0在万位时，1，3分别插入2，4产生的3个空当中有Aeq\o\al（2，2）Aeq\o\al(2,3)＝12种排法．所以1和3不相邻的无重复数字的五位数共有72－12＝60(个)．(6)方法一：(间接法）无重复数字的所有五位数有96个,当1在万位时，有Aeq\o\al(4，4)种排法，当2在个位时,0又不能在万位,先把0排在中间三个位上，再排其余的3个数,有Aeq\o\al(1，3)Aeq\o\al(3，3)种排法,但这两种排法中都包括1在万位，2在个位的排法，这种排法有Aeq\o\al(3，3)种,所以符合条件的五位数共有96－Aeq\o\al（4,4）－Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al（3,3）＋Aeq\o\al（3，3）＝60(个)．方法二:(优先考虑特殊元素或位置)①1排在个位时，0不能在万位，有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3，3）＝18种排法．②1不在个位且不在万位时，先排1，有Aeq\o\al(1，3）种方法,再排剩下的数分两类．一类是当2在万位时，有Aeq\o\al(3,3)种方法,另一类是2不在万位，有Aeq\o\al(1，2）Aeq\o\al(1，2）Aeq\o\al(2,2)种排法，所以1不在个位且不在万位时，有Aeq\o\al(1，3）（Aeq\o\al(3,3）＋Aeq\o\al(1,2）Aeq\o\al(2,2）Aeq\o\al（2，2））＝42种排法,所以1不在万位,2不在个位时，共可组成无重复数字的五位数18＋42＝60(个）．规律总结（1)排列问题的限制条件一般包括某些元素不能在某个位置，某个位置只能放某些元素等．要先处理特殊元素或先处理特殊位置，再去排其他元素．当用直接法比较麻烦时，可以先不考虑限制条件，把所有的排列数算出，再从中减去全部不符合条件的排列数,这种方法也称为“去杂法"，但必须注意要不重复,不遗漏．（2)对于某些特殊问题，可采取相对固定的特殊方法，如相邻问题，可用“捆绑法”，即将相邻元素看成一个整体与其他元素排列，再进行内部排列；不相邻问题，则用“插空法”，即先排其他元素,再将不相邻元素排入形成的空位中．(3)对于定序问题，可采用“除阶乘法”解决．探究四易错辨析易错点重复排列【典型例题4】6个人站成前后三排，每排2人，有多少种不同的排法?错解一：分步完成，先安排第一排的2人，有Aeq\o\al(2,6）种排法；再安排中间一排的2人,有Aeq\o\al（2,4）种排法;余下的2人排在最后一排．由分步乘法计数原理,共有Aeq\o\al（2,6）·Aeq\o\al(2，4)＝360种不同排法．错解二：分步完成，先安排第一排的2人,有Aeq\o\al(2,6)种排法;再安排中间一排的2人，有Aeq\o\al(2,4）种排法；最后安排余下的2人，有Aeq\o\al（2,2）种排法．因为排在第一排,中间一排和最后一排不同，所以三排再排列，有Aeq\o\al（3，3)种排法．由分步乘法计数原理，有Aeq\o\al（2,6）·Aeq\o\al（2,4）·Aeq\o\al（2，2)·Aeq\o\al(3,3）＝4320种不