2024年高一上学期期末数学考点《指数与指数函数》含答案解析

高中PAGE1高中专题06指数与指数函数（考点清单）目录TOC\o"1-3"\h\u一、思维导图 2二、知识回归 2三、典型例题讲与练 6考点清单01：根式 6【期末热考题型1】根式的化简求值 6考点清单02：分数指数幂 7【期末热考题型1】分数指数幂的化简求值 7考点清单03：条件求值 8【期末热考题型1】条件求值 8考点清单04：指数函数定义 9【期末热考题型1】指数函数的判断与求值 9【期末热考题型2】根据函数是指数函数求参数 9考点清单05：指数函数的图象 10【期末热考题型1】指数函数的图象过定点 10【期末热考题型2】指数函数图象的识别 11【期末热考题型3】画指数（型）函数图象 12考点清单06：指数函数的单调性 13【期末热考题型1】利用指数函数的单调性比较大小 13【期末热考题型2】利用指数函数的单调性解不等式 13【期末热考题型3】指数型复合函数的单调性 14考点清单07：值域 15【期末热考题型1】与指数函数（指数型复合函数）有关的值域 15【期末热考题型2】可化为一元二次函数型 16考点清单08：与指数函数的相关的综合问题 17【期末热考题型1】与指数函数的相关的综合问题 17一、思维导图二、知识回归知识点01：整数指数幂1、正整数指数幂的定义：，其中，2、正整数指数幂的运算法则：①（）②（，，）③（）④（）⑤（）知识点02：根式1、次根式定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且.特别的：①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示.②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成().③负数没有偶次方根；④的任何次方根都是，记作2、根式：式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．在根式符号中，注意：①，②当为奇数时，对任意都有意义③当为偶数时，只有当时才有意义.3、与的区别：①当为奇数时，（）②当为偶数时，（）③当为奇数时，且，④为偶数时，且，知识点03：分式指数幂1、正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式.2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）.3、的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义.知识点04：有理数指数幂①（，）②（，）③（，）知识点05：无理数指数幂①（，）②（，）③（，）知识点05：指数函数的概念1、一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是.2、学习指数函数的定义，注意一下几点（1）定义域为：（2）规定是因为：①若，则（恒等于1）没有研究价值；②若，则时，（恒等于0），而当时，无意义；③若，则中为偶数，为奇数时，无意义.④只有当或时，即，可以是任意实数.（3）函数解析式形式要求：指数函数只是一个新式定义，判断一个函数是指数函数的关键有三点：①的系数必须为1；②底数为大于0且不等于1的常数，不能是自变量；③指数处只有一个自变量，而不是含自变量的多项式.知识点06：指数函数的图象与性质1、函数的图象和性质如下表：底数图象性质定义域值域定点图象过定点单调性增函数减函数函数值的变化情况当时，当时，当时，当时，当时，当时，对称性函数与的图象关于轴对称2、指数函数的底数对图象的影响函数的图象如图所示：观察图象，我们有如下结论：2.1.底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”.（1）当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快.（2）当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快.2.2.底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”.在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低；在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”；知识点07：指数函数的定义域与值域1、定义域：（1）指数函数的定义域为（2）的定义域与函数的定义域相同（3）的定义域与函数的定义域不一定相同.2、值域（1）指数函数的值域为（2）求形如的函数的值域，先求的值域，然后结合得性质确定的值域（3）求形如的值域，转化为先求的值域，再将的取值范围代入函数中.知识点08：指数函数的图象变换已知函数1、平移变换①②③④2、对称变换①②③3、翻折变换①（去掉轴左侧图象，保留轴右侧图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧）②（保留轴上方的图象，将轴下方的图象翻折到轴上方）三、典型例题讲与练01：根式【期末热考题型1】根式的化简求值【解题方法】①当为奇数时，（）②当为偶数时，（）③当为奇数时，且，④为偶数时，且，【典例1】（2023上·江苏连云港·高一江苏省板浦高级中学校考期中）下列各式正确的是（

）A． B．C． D．【典例2】（2023·全国·高一专题练习）若，求的取值范围．【专训1-1】（2023上·高一课时练习）计算下列各式．（1）＝；（2）＝；（3）＝.【专训1-2】（多选）（2023上·黑龙江牡丹江·高一牡丹江市第二高级中学校考期中）若，则实数的取值可以是（

）A． B． C． D．102：分数指数幂【期末热考题型1】分数指数幂的化简求值【解题方法】根据分数指数幂定义①（，，）②（，，）【典例1】（2023上·上海普陀·高一校考期中）化简：．（结果用根式表示）【典例2】（2023上·山西临汾·高一统考期中）（1）计算；（2）化简．【专训1-1】（2023上·浙江杭州·高一杭州高级中学校考期中）化简求值：.【专训1-2】（2023·全国·高一专题练习）化简().03：条件求值【期末热考题型1】条件求值【解题方法】完全平方公式；立方公式【典例1】（2022上·广西玉林·高一校考期中）已知，则．【典例2】（2023上·江西南昌·高一南昌二中校考期中）已知．(1)求；(2)求．【专训1-1】（2023上·江苏无锡·高一江苏省梅村高级中学校考期中）化简求值：若，求下列各式的值：①；②.【专训1-2】（2023上·江苏连云港·高一统考期中）已知，求下列各式的值.(1)(2)(3)04：指数函数定义【期末热考题型1】指数函数的判断与求值【解题方法】指数函数的定义【典例1】（2023上·广东茂名·高三校考阶段练习）若函数的图象经过，则（

）A． B． C．3 D．9【典例2】（2023·高一课时练习）下列函数中，属于指数函数的是．（填序号）①﹔②；③；④（a为常数，，）；⑤；⑥﹔⑦．【专训1-1】（2021·全国·高一专题练习）下列函数中，是指数函数的个数是（

）①；②；③；④.A．1 B．2 C．3 D．0【专训1-2】（2023下·贵州黔东南·高一校考期末）已知指数函数的图像经过点，则．【期末热考题型2】根据函数是指数函数求参数【解题方法】指数函数的定义【典例1】（2023·江苏·高一专题练习）若函数是指数函数，则（）A．或 B．C． D．且【典例2】（2020上·吉林·高一吉化第一高级中学校校考阶段练习）已知且，函数是指数函数，且．(1)求和的值；【专训1-1】（2023·高一课时练习）已知函数是指数函数，求实数a的值．【专训1-2】（2022上·甘肃定西·高三校考期末）已知函数是指数函数.(1)求实数的值；05：指数函数的图象【期末热考题型1】指数函数的图象过定点【解题方法】【典例1】（2023上·福建厦门·高一厦门市海沧中学校考期中）函数且的图象过定点（

）A． B． C． D．【典例2】（2022下·浙江温州·高二乐清市知临中学校考期中）函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为．【专训1-1】（2023上·海南海口·高一海口一中校考期中）函数且的图象必经过点．【专训1-2】（2023下·江西南昌·高三南昌市八一中学校考阶段练习）已知曲线且过定点，若且，则的最小值为（

）A．9 B． C． D．【期末热考题型2】指数函数图象的识别【解题方法】根据指数函数的图象特征【典例1】（2023上·广西南宁·高一南宁三中校考期中）函数与的图象大致是（）A． B．C． D．【典例2】（2023上·重庆涪陵·高一校考阶段练习）函数（）的图象可能是（

）A． B．C． D．【专训1-1】（2023上·江西吉安·高一江西省遂川中学校考阶段练习）函数的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．

【专训1-2】（多选）（2023上·广西百色·高一统考期末）函数（，且）与在同一坐标系中的图像可能是（

）A．.

B．

C．

D．

【期末热考题型3】画指数（型）函数图象【解题方法】根据函数图象变换方法【典例1】（2023上·陕西西安·高三长安一中校考阶段练习）函数恰有一个零点，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【典例2】（2018·高一课时练习）（1）已知是奇函数，求的值；（2）画出函数的图象，并利用图象回答：为何值时，方程无解？有一解？有两解.【专训1-1】（2023·全国·高三专题练习）若直线与函数(且)的图像有两个公共点，则的取值范围为（

）.A． B． C． D．【专训1-2】（2023上·江西·高一上饶市第一中学校联考期中）若函数在上单调递增，则实数m的最小值为．06：指数函数的单调性【期末热考题型1】利用指数函数的单调性比较大小【解题方法】根据指数函数的单调性【典例1】（2023上·江西·高一上饶市第一中学校联考期中）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【典例2】（2023上·北京大兴·高一统考期中）设，则（

）A． B．C． D．【专训1-1】（2023上·广东广州·高一广州市协和中学校考期中）已知，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【专训1-2】（2023上·广东广州·高一广州市第二中学校考期中）已知，，，则（

）A． B． C． D．【期末热考题型2】利用指数函数的单调性解不等式【解题方法】根据指数函数的单调性【典例1】（2023上·江西上饶·高一校考期中）已知指数函数经过点(2,9)，则不等式的解集为．【典例2】（2023上·浙江·高一浙江省江山中学校联考期中）已知定义在上的函数是奇函数．(1)求实数的值；(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．【专训1-1】（2023上·陕西汉中·高一校联考期中）设函数（，且），若的图象过点．(1)求a的值及的解；(2)求不等式的解集．【专训1-2】（2023上·北京通州·高一统考期中）已知指数函数的图象过点.(1)求函数的解析式(2)试比较这三个数的大小，并说明理由;(3)若，求实数的取值范围.【期末热考题型3】指数型复合函数的单调性【解题方法】复合函数单调性法则【典例1】（2023上·广东广州·高一广东实验中学校考期中）函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023上·山东日照·高三山东省日照实验高级中学校考阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【专训1-1】（2023上·陕西咸阳·高一咸阳市实验中学校考阶段练习）函数的单调递增区间为.【专训1-2】（2023上·江西赣州·高三江西省大余中学校联考期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围为.07：值域【期末热考题型1】与指数函数（指数型复合函数）有关的值域【解题方法】换元法【典例1】（2021上·高一课时练习）函数，且在上的最大值与最小值的和为，则函数在上的最大值为.【典例2】（2019·高一课时练习）已知，且，若函数在区间上的最大值为10，则.【专训1-1】（2023下·河北石家庄·高一校考期中）已知函数在区间上的最大值比最小值大，则a=【专训1-2】（2022上·辽宁·高一渤海大学附属高级中学校考期末）若函数在上有最大值，则实数a的值为（

）A．1 B． C．1或 D．1或【期末热考题型2】可化为一元二次函数型【解题方法】换元法【典例1】（2023上·广东广州·高一广州市培英中学校考期中）设，且，函数在区间上的最小值为，则的取值范围为．【典例2】（2023上·吉林长春·高一长春外国语学校校考期中）已知函数，且，．(1)求a，b的值，并写出的解析式；(2)设，求在的最大值和最小值．【专训1-1】（2023上·广东广州·高一广州市第二中学校考期中）函数，．(1)若，求的最大值．(2)若时，图象恒在图象的上方，求实数的取值范围．【专训1-2】（2023上·山东潍坊·高一校考阶段练习）已知函数.(1)若，求的值；(2)求函数的值域.08：与指数函数的相关的综合问题【期末热考题型1】与指数函数的相关的综合问题【解题方法】指数函数的图象与性质【典例1】（2023上·浙江绍兴·高一浙江省柯桥中学校考期中）已知函数（且）是定义在R上的奇函数.(1)求及的值；(2)求函数的值域.【典例2】（2023上·陕西咸阳·高一咸阳市实验中学校考阶段练习）已知函数.(1)求证：函数是上的奇函数；(2)判断函数的单调性，并用单调性的定义证明；(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【典例3】（2023上·浙江温州·高一校联考期中）已知函数(1)若在上单调递增，求m的取值范围．(2)若，对任意的总存在使得成立，求的取值范围．【专训1-1】（2023上·山西临汾·高一统考期中）已知定义在上的函数为奇函数．(1)求a，b的值；(2)判断并证明的单调性；(3)求不等式的解集．【专训1-2】（2023上·天津滨海新·高一大港一中校考期中）设函数（且）是定义域为R的奇函数．(1)求及k的值；(2)若，试判断函数单调性（不需证明）并求不等式的解集；(3)若，设，且在上的最小值为，求m的值．

专题06指数与指数函数（考点清单）目录TOC\o"1-3"\h\u一、思维导图 2二、知识回归 3三、典型例题讲与练 7考点清单01：根式 7【期末热考题型1】根式的化简求值 7考点清单02：分数指数幂 9【期末热考题型1】分数指数幂的化简求值 9考点清单03：条件求值 10【期末热考题型1】条件求值 10考点清单04：指数函数定义 12【期末热考题型1】指数函数的判断与求值 12【期末热考题型2】根据函数是指数函数求参数 13考点清单05：指数函数的图象 14【期末热考题型1】指数函数的图象过定点 14【期末热考题型2】指数函数图象的识别 16【期末热考题型3】画指数（型）函数图象 18考点清单06：指数函数的单调性 20【期末热考题型1】利用指数函数的单调性比较大小 20【期末热考题型2】利用指数函数的单调性解不等式 21【期末热考题型3】指数型复合函数的单调性 23考点清单07：值域 24【期末热考题型1】与指数函数（指数型复合函数）有关的值域 24【期末热考题型2】可化为一元二次函数型 26考点清单08：与指数函数的相关的综合问题 28【期末热考题型1】与指数函数的相关的综合问题 28一、思维导图二、知识回归知识点01：整数指数幂1、正整数指数幂的定义：，其中，2、正整数指数幂的运算法则：①（）②（，，）③（）④（）⑤（）知识点02：根式1、次根式定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且.特别的：①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示.②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成().③负数没有偶次方根；④的任何次方根都是，记作2、根式：式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．在根式符号中，注意：①，②当为奇数时，对任意都有意义③当为偶数时，只有当时才有意义.3、与的区别：①当为奇数时，（）②当为偶数时，（）③当为奇数时，且，④为偶数时，且，知识点03：分式指数幂1、正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式.2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）.3、的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义.知识点04：有理数指数幂①（，）②（，）③（，）知识点05：无理数指数幂①（，）②（，）③（，）知识点05：指数函数的概念1、一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是.2、学习指数函数的定义，注意一下几点（1）定义域为：（2）规定是因为：①若，则（恒等于1）没有研究价值；②若，则时，（恒等于0），而当时，无意义；③若，则中为偶数，为奇数时，无意义.④只有当或时，即，可以是任意实数.（3）函数解析式形式要求：指数函数只是一个新式定义，判断一个函数是指数函数的关键有三点：①的系数必须为1；②底数为大于0且不等于1的常数，不能是自变量；③指数处只有一个自变量，而不是含自变量的多项式.知识点06：指数函数的图象与性质1、函数的图象和性质如下表：底数图象性质定义域值域定点图象过定点单调性增函数减函数函数值的变化情况当时，当时，当时，当时，当时，当时，对称性函数与的图象关于轴对称2、指数函数的底数对图象的影响函数的图象如图所示：观察图象，我们有如下结论：2.1.底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”.（1）当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快.（2）当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快.2.2.底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”.在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低；在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”；知识点07：指数函数的定义域与值域1、定义域：（1）指数函数的定义域为（2）的定义域与函数的定义域相同（3）的定义域与函数的定义域不一定相同.2、值域（1）指数函数的值域为（2）求形如的函数的值域，先求的值域，然后结合得性质确定的值域（3）求形如的值域，转化为先求的值域，再将的取值范围代入函数中.知识点08：指数函数的图象变换已知函数1、平移变换①②③④2、对称变换①②③3、翻折变换①（去掉轴左侧图象，保留轴右侧图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧）②（保留轴上方的图象，将轴下方的图象翻折到轴上方）三、典型例题讲与练01：根式【期末热考题型1】根式的化简求值【解题方法】①当为奇数时，（）②当为偶数时，（）③当为奇数时，且，④为偶数时，且，【典例1】（2023上·江苏连云港·高一江苏省板浦高级中学校考期中）下列各式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】，，故A错误；，故B错误；∵，∴当为奇数时，；当为偶数时，，故C错误；成立，故D正确.故选：D.【典例2】（2023·全国·高一专题练习）若，求的取值范围．【答案】【详解】由题意，∵，由可知，∴．故a的取值范围为．【专训1-1】（2023上·高一课时练习）计算下列各式．（1）＝；（2）＝；（3）＝.【答案】【详解】（1）.（2）.（3）.故答案为：（1）；（2）；（3）【专训1-2】（多选）（2023上·黑龙江牡丹江·高一牡丹江市第二高级中学校考期中）若，则实数的取值可以是（

）A． B． C． D．1【答案】ABC【详解】，则，解得．故选：ABC02：分数指数幂【期末热考题型1】分数指数幂的化简求值【解题方法】根据分数指数幂定义①（，，）②（，，）【典例1】（2023上·上海普陀·高一校考期中）化简：．（结果用根式表示）【答案】【详解】由题意.故答案为：.【典例2】（2023上·山西临汾·高一统考期中）（1）计算；（2）化简．【答案】（1）41；（2）【详解】（1）；（2）.【专训1-1】（2023上·浙江杭州·高一杭州高级中学校考期中）化简求值：.【答案】8【详解】.故答案为：8.【专训1-2】（2023·全国·高一专题练习）化简().【答案】【详解】.03：条件求值【期末热考题型1】条件求值【解题方法】完全平方公式；立方公式【典例1】（2022上·广西玉林·高一校考期中）已知，则．【答案】【详解】由可得，即，又因为，即，可得即，所以．故答案为：【典例2】（2023上·江西南昌·高一南昌二中校考期中）已知．(1)求；(2)求．【答案】(1)(2)【详解】（1），因为，所以.（2）由（1）得，，所以.【专训1-1】（2023上·江苏无锡·高一江苏省梅村高级中学校考期中）化简求值：若，求下列各式的值：①；②.【答案】①；②【详解】①，则，则，则；②设，则，则，即【专训1-2】（2023上·江苏连云港·高一统考期中）已知，求下列各式的值.(1)(2)(3)【答案】(1)(2)6(3)【详解】（1）由，可知，因为，故（2）（3）由（1）知，所以又因为，所以所以04：指数函数定义【期末热考题型1】指数函数的判断与求值【解题方法】指数函数的定义【典例1】（2023上·广东茂名·高三校考阶段练习）若函数的图象经过，则（

）A． B． C．3 D．9【答案】B【详解】解：因为函数的图象经过，所以，解得，所以，则，故选：B【典例2】（2023·高一课时练习）下列函数中，属于指数函数的是．（填序号）①﹔②；③；④（a为常数，，）；⑤；⑥﹔⑦．【答案】③④【详解】对①：指数式的系数为2，不是1，故不是指数函数；对②：其指数为，不是，故不是指数函数；对③④：满足指数函数的定义，故都是指数函数；对⑤：是幂函数，不是指数函数；对⑥：指数式的系数为，不是1，故不是指数函数；对⑦：指数的底数为，不满足底数大于零且不为1的要求，故不是；综上，是指数函数的只有③④.故答案为：③④.【专训1-1】（2021·全国·高一专题练习）下列函数中，是指数函数的个数是（

）①；②；③；④.A．1 B．2 C．3 D．0【答案】D【详解】解：①中底数－8<0，所以不是指数函数；②中指数不是自变量，而是的函数，所以不是指数函数；③中底数，只有规定且时，才是指数函数；④中前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数.故选：D.【专训1-2】（2023下·贵州黔东南·高一校考期末）已知指数函数的图像经过点，则．【答案】/0.5【详解】设（，且），由于其图像经过点，所以，解得或（舍去），因此，故.故答案为：.【期末热考题型2】根据函数是指数函数求参数【解题方法】指数函数的定义【典例1】（2023·江苏·高一专题练习）若函数是指数函数，则（）A．或 B．C． D．且【答案】C【详解】因为函数是指数函数，所以，解得.故选：C.【典例2】（2020上·吉林·高一吉化第一高级中学校校考阶段练习）已知且，函数是指数函数，且．(1)求和的值；【答案】(1)【详解】（1）由题意得，，解得或(不符合题意，舍去)，由，且，得．【专训1-1】（2023·高一课时练习）已知函数是指数函数，求实数a的值．【答案】4【详解】因为函数是指数函数，所以，解得，即实数a的值为4.【专训1-2】（2022上·甘肃定西·高三校考期末）已知函数是指数函数.(1)求实数的值；【答案】(1)【详解】（1）由函数是指数函数可得，解得05：指数函数的图象【期末热考题型1】指数函数的图象过定点【解题方法】【典例1】（2023上·福建厦门·高一厦门市海沧中学校考期中）函数且的图象过定点（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以令即时，有，即函数且的图象过定点.故选：D.【典例2】（2022下·浙江温州·高二乐清市知临中学校考期中）函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为．【答案】【详解】当时，，所以，定点的坐标为，由已知可得，因为，则且，所以，.当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故答案为：.【专训1-1】（2023上·海南海口·高一海口一中校考期中）函数且的图象必经过点．【答案】【详解】因为当时，，所以函数且的图象必经过点，故答案为：【专训1-2】（2023下·江西南昌·高三南昌市八一中学校考阶段练习）已知曲线且过定点，若且，则的最小值为（

）A．9 B． C． D．【答案】C【详解】曲线且中，由，得，因此该曲线过定点，即，于是，又，因此，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为16.故选：C【期末热考题型2】指数函数图象的识别【解题方法】根据指数函数的图象特征【典例1】（2023上·广西南宁·高一南宁三中校考期中）函数与的图象大致是（）A． B．C． D．【答案】A【详解】当时，函数单调递增，当时，，故选：A【典例2】（2023上·重庆涪陵·高一校考阶段练习）函数（）的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】当时，，因此，且函数在上单调递增，故A、B均不符合；当时，，因此，且函数在上单调递减，故C符合，D不符合．故选：C．【专训1-1】（2023上·江西吉安·高一江西省遂川中学校考阶段练习）函数的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【详解】因为又，根据指数函数的性质知，时，函数为增函数，排除B、D；时，函数为减函数，排除A．故选：C．【专训1-2】（多选）（2023上·广西百色·高一统考期末）函数（，且）与在同一坐标系中的图像可能是（

）A．.

B．

C．

D．

【答案】BD【详解】由题意得，中若，，则，若，，则；中表示纵截距.对于A，图像中，图像中，故A错误；对于B，图像中，图像中，故B正确；对于C，图像中，图像中，故C错误；对于D，图像中，图像中，故D正确；故选：BD【期末热考题型3】画指数（型）函数图象【解题方法】根据函数图象变换方法【典例1】（2023上·陕西西安·高三长安一中校考阶段练习）函数恰有一个零点，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题设，与只有一个交点，又的图象如下：

∴.故选：C.【典例2】（2018·高一课时练习）（1）已知是奇函数，求的值；（2）画出函数的图象，并利用图象回答：为何值时，方程无解？有一解？有两解.【答案】（1）；（2）时，无解；时，有两个解；或时，有一个解.【详解】（1）为奇函数，，所以（2）

函数图象如图，可知时，无解；时，有两个解；或时，有一个解【专训1-1】（2023·全国·高三专题练习）若直线与函数(且)的图像有两个公共点，则的取值范围为（

）.A． B． C． D．【答案】A【详解】作出和两种图像，如图，作直线，由图可知，∴，故选：A.【专训1-2】（2023上·江西·高一上饶市第一中学校联考期中）若函数在上单调递增，则实数m的最小值为．【答案】3【详解】因为，作函数函数的图象如下，结合图象可知，函数在单调递增，所以，则实数m的最小值为3，故答案为:3.06：指数函数的单调性【期末热考题型1】利用指数函数的单调性比较大小【解题方法】根据指数函数的单调性【典例1】（2023上·江西·高一上饶市第一中学校联考期中）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为为增函数，所以，即；又，即；所以.故选：A.【典例2】（2023上·北京大兴·高一统考期中）设，则（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为为减函数，所以，即；因为在为增函数，所以，即；所以.故选：A.【专训1-1】（2023上·广东广州·高一广州市协和中学校考期中）已知，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，因为在R上单调递增，且，所以，即.故选：A【专训1-2】（2023上·广东广州·高一广州市第二中学校考期中）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，因为函数是实数集上的增函数，所以，即，，，因为函数是正实数集上的增函数，所以，即，综上所述：，故选：A【期末热考题型2】利用指数函数的单调性解不等式【解题方法】根据指数函数的单调性【典例1】（2023上·江西上饶·高一校考期中）已知指数函数经过点(2,9)，则不等式的解集为．【答案】(1,2)【详解】设且，所以有，解得，即，因此函数为R上的增函数，因为，所以，解得，故答案为：.【典例2】（2023上·浙江·高一浙江省江山中学校联考期中）已知定义在上的函数是奇函数．(1)求实数的值；(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2).【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，即，经检验满足题意，所以.（2）由（1）知，易知在上单调递减，由，可得，因为为定义在上的奇函数，所以原不等式等价于，又在上单调递减，所以，所以在上恒成立，当时，恒成立，符合题意；当时，有，解得，综上所述，实数的取值范围是.【专训1-1】（2023上·陕西汉中·高一校联考期中）设函数（，且），若的图象过点．(1)求a的值及的解；(2)求不等式的解集．【答案】(1)，方程的解为；(2)．【详解】（1）根据题意，函数的图象过点，则有，又，且，则，故，若，则．（2），即，变形可得，解得，即不等式的解集为．【专训1-2】（2023上·北京通州·高一统考期中）已知指数函数的图象过点.(1)求函数的解析式(2)试比较这三个数的大小，并说明理由;(3)若，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)，理由见解析(3)【详解】（1）设函数为，则，解得，即；（2）函数在上单调递减，且，故，即；（3）函数在上单调递减，，即，故，解得，即.【期末热考题型3】指数型复合函数的单调性【解题方法】复合函数单调性法则【典例1】（2023上·广东广州·高一广东实验中学校考期中）函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】函数的定义域为R，函数在上单调递减，在单调递增，而函数在R上单调递减，因此函数在上单调递增，在单调递减，所以函数的单调递增区间是.故选：A【典例2】（2023上·山东日照·高三山东省日照实验高级中学校考阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为函数为R上的减函数，根据复合函数的单调性可知，要使函数在区间上单调递减，则函数在区间上单调递增.根据二次函数的性质可知，函数在上单调递增，所以应有，即.故选：C.【专训1-1】（2023上·陕西咸阳·高一咸阳市实验中学校考阶段练习）函数的单调递增区间为.【答案】【详解】，令，则；因为为增函数，的增区间为，所以的单调递增区间为.故答案为：【专训1-2】（2023上·江西赣州·高三江西省大余中学校联考期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围为.【答案】【详解】令，则在上递减，在上递增，而在定义域上为增函数，所以在上递减，在上递增，又在上单调递减，故，则.故答案为：07：值域【期末热考题型1】与指数函数（指数型复合函数）有关的值域【解题方法】换元法【典例1】（2021上·高一课时练习）函数，且在上的最大值与最小值的和为，则函数在上的最大值为.【答案】12.【详解】指数函数，且在定义域上是单调函数，又在上的最大值与最小值的和为，，解得，函数在定义域上为减函数，在为减函数，在上的最大值为.故答案为：12.【典例2】（2019·高一课时练习）已知，且，若函数在区间上的最大值为10，则.【答案】或【详解】（1）若，则函数在区间上是递增的，当时，取得最大值，即，又，∴.（2）若，则函数在区间上是递减的，当时，取得最大值，所以.综上所述，的值为或.故答案为：或【专训1-1】（2023下·河北石家庄·高一校考期中）已知函数在区间上的最大值比最小值大，则a=【答案】或【详解】当时，在上的最大值为，最小值为，故，解得或（舍去）；当时，在上的最大值为，最小值为，故，解得或（舍去），综上或.故答案为：或【专训1-2】（2022上·辽宁·高一渤海大学附属高级中学校考期末）若函数在上有最大值，则实数a的值为（

）A．1 B． C．1或 D．1或【答案】A【详解】∵函数在上有最大值，∴，，∴，解得或（舍去）.故选：A.【期末热考题型2】可化为一元二次函数型【解题方法】换元法【典例1】（2023上·广东广州·高一广州市培英中学校考期中）设，且，函数在区间上的最小值为，则的取值范围为．【答案】【详解】因为，且函数在区间上的最小值为，故，当且时，，则，解得；当且时，，则，解得.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.【典例2】（2023上·吉林长春·高一长春外国语学校校考期中）已知函数，且，．(1)求a，b的值，并写出的解析式；(2)设，求在的最大值和最小值．【答案】(1)，，(2)最大值为，最小值为．【详解】（1）由，得，解得，．且．所以a，b的值分别为1，2，的解析式为．（2），令，则由得，所以变为，．对称轴为直线，，所以当，即时，；当，即时，．综上时，的最大值为，最小值为．【专训1-1】（2023上·广东广州·高一广州市第二中学校考期中）函数，．(1)若，求的最大值．(2)若时