第13章《轴对称》教学建议

轴对称

教材分析2024年10月1本章的地位与作用2本章知识结构3课时安排4本章学习目标及重难点5教学建议6具体处理建议7中考试题举例8经典图形举例PART1本章的地位与作用线段、角、全等三角形

等腰三角形四边形多边形圆图形的变化图形的平移（七下）图形的轴对称（八上）图形的旋转（九上）图形的相似（九下）图形的投影（九下）轴对称变换与平移变换轴对称变换与旋转变换PART2本章知识结构PART3课时安排本章教学时间约需14课时，具体分配如下（仅供参考）：13.1轴对称

3课时13.2画轴对称图形

2课时13.3等腰三角形

5课时13.4课题学习最短路径问题

2课时数学活动小结

2课时PART4本章学习目标及重难点1.通过具体实例认识轴对称、轴对称图形，探索轴对称的基本性质，理解对应点连线被对称轴垂直平分的性质.2.探索简单图形之间的轴对称关系，能够按照要求画出简单平面图形（点、线段、直线、三角形等）关于给定对称轴对称的图形；认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形.3.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理.本章学习目标4.了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理和判定定理；探索并掌握等边三角形的性质定理和判定定理.5.能初步应用本章所学的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题，在观察、操作、想象、论证、交流的过程中，发展空间观念，激发学习兴趣.本章学习目标重点：轴对称的性质；等腰三角形的性质和判定.难点：运用轴对称分析、认识复杂图形，进行推理论证.本章重点与难点2022版课程标准（红字为与上一版的区别）通过具体实例理解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分.能画出简单平面图形（点、线段、直线、三角形等）关于给定对称轴的对称图形.理解轴对称图形的概念；探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质.认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理.2022版课程标准（红字为与上一版的区别）理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理.探索并掌握等腰三角形的判定定理.探索等边三角形的性质定理.探索等边三角形的判定定理.理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形.在平面直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系.能用尺规作图：作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线.PART5教学建议1.注意联系实际，体现具体—抽象—具体的过程.2.注意知识间的联系，有机地整合相关内容，通过对比，加深对知识的理解.3.注意实验几何与论证几何地有机结合，让学生经历观察、实验、探究、归纳、推理、论证的全过程，发展学生的创新思维和推理能力.4.引导学生总结归纳，综合运用所学的知识解决问题.PART6具体处理建议13.1.1轴对称在注重与实际生活相结合以及让学生进行动手实践的同时，还应体现“思维的教学”如何体现“思维的教学”？要让学生知道，性质是变化中的不变性图形轴对称的性质，就是翻折前后两个图形的关系，就是这两个图形形状、大小和位置的关系你认为研究轴对称的性质就是要研究什么？对应元素之间的什么关系？你认为对应元素有哪些？它们在形状大小和位置关系方面有什么不变性？观察翻折前后的两个图形，你能立即得出它们有哪些不变性吗？对应点的不变性怎么体现？你认为还有什么不变性？13.1.2线段的垂直平分线的性质可仿照对轴对称的性质的研究方法，先去研究垂直平分线上的一个点与线段AB的不变的关系然后研究2个点、3个点、······、n个点最后通过对垂直平分线上的基本元素的研究，经过归纳和总结，得出性质也可以通过研究过直线外一点作已知直线的垂线的过程中，去让学生去发现垂直平分线的性质然后由学生研究出它的证明方法反思：难点在于如何让学生主动地去发现该性质的内容，而不是告诉学生，然后让学生去证明教材中与垂直平分线相关的实际应用问题13.2画轴对称图形教材中在这里给出了画一个点关于一条直线的对称点的方法研究了两个问题：1.探究点或图形的轴对称引起的点的坐标的变化规律；2.如何利用这种坐标的变化规律在平面直角坐标系中画出一个图形的轴对称图形.可由此问题作为一个范例，进行一些问题的改编.在此问题中出现了让学生研究一个图形关于平行于坐标轴的直线的轴对称图形的问题，并用含字母的式子来反映对应点的坐标变化规律.在日后的几何与代数问题中，还会经常遇到此类问题.13.3等腰三角形学生对于等腰三角形并不陌生，因此可以直接通过书上设计的探究过程，让学生自己动手去发现等腰三角形的性质.也可以借助线段的垂直平分线这一基本图形工具去研究等腰三角形的性质.线段的垂直平分线对于研究等腰三角形、菱形、筝形、垂径定理、切线长定理都有重要的作用.边角底边：三线合一等腰三角形等边三角形概念性质判定应用三线等边对等角两腰：三线相等边：按定义，证两边相等角：等角对等边尺规作图解决此问题的方法和作法是此例题的重点.作法的前两条说明，在完成复杂的尺规作图问题时，五种基本作图不用再叙述具体的作法了.学生先由学习等腰三角形的性质与判定的方法研究等边三角形的性质与判定.再综合应用等边三角形的性质来研究直角三角形的性质.可以归纳整理直角三角形已经研究出的所有性质并给出继续研究的方向13.4课题学习

最短路径问题可利用信息技术手段，在学生画图探究时，及时在屏幕上展示出学生的研究成果并组织学生对展示出的成果进行评价.另外，还可以利用本节学习到的内容，去设计综合实践活动，比如设计公园的最佳游览路线，体育比赛的最佳疏散路线等.距离之和最小值三角形周长最小值13.4课题学习

最短路径问题两点一线13.4课题学习

最短路径问题一点两线在锐角∠AOB内有一定点P，试在OA、OB上确定两点C、D，使△PCD的周长最短．13.4课题学习

最短路径问题两点两线如图，点M、N在∠AOB的内部，P为射线OA上的一个动点，Q为射线OB上的一个动点，求作点P、Q，使得MP+PQ+QN的长最短．PART7经典图形举例经典图形举例由角平分线+平行线得等腰三角形经典图形举例由角平分线+垂线得等腰三角形经典图形举例由倍角角平分线得等腰三角形经典图形举例等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和不变经典图形举例以一条线段为边做等腰三角形——两圆一线经典图形举例等腰（等边三角形）的手拉手经典图形举例等腰（等边三角形）的手拉手经典图形举例等腰（等边三角形）的手拉手经典图形举例对角互补一组邻边相等经典图形举例常见的等腰三角形辅助线添加方法【作中线构造三线合一】【作垂线构造等腰三角形】【构造等腰（直角）三角形】【作平行线构造等腰三角形】【倍长中线构造等腰三角形】【截长补短构造等腰三角形】【旋转构造等腰三角形】PART8中考试题举例中考试题举例2024年北京中考已知∠MAN=α（0°<α<45°），点B，C分别在射线AN，AM上，将线段BC绕点B顺时针旋转180°-2α得到线段BD，过点D作AN的垂线交射线AM于点E.如图，当点D在∠MAN内部时，作DF∥AN，交射线AM于点F，用等式表示线段EF与AC的数量关系，并证明.方法1：在AE上截取点G，使BA=BG，连接DG，取EF中点H，连接DH可得等腰三角形HFD和DHG中考试题举例2024年北京中考已知∠MAN=α（0°<α<45°），点B，C分别在射线AN，AM上，将线段BC绕点B顺时针旋转180°-2α得到线段BD，过点D作AN的垂线交射线AM于点E.如图，当点D在∠MAN内部时，作DF∥AN，交射线AM于点F，用等式表示线段EF与AC的数量关系，并证明.方法2：取EF中点H，连接BH，将BH绕点B逆时针旋转（180°-2α），得BG，连接AG、CG、GH可得等腰三角形BGH和AGC中考试题举例2023年北京中考在△ABC中，∠B=∠C=α（0°<α<45°），AM⊥BC于点M，G是线段MC上的动点（不与点M，C重合），将线段GM绕点G顺时针旋转2α得到线段GE.若在线段BM上存在点F（不与点B，M重合）满足GF=GC，连接AE,EF，直接写出∠AEF的大小，并证明．方法1：延长GE，交AC于点H，连接FH

由二倍角得等腰三角形，

由GH=GF=GC得直角三角形中考试题举例2023年北京中考方法2：延长FE至点H，使HE=FE，

连接AH，CH

由中位线得黄色三角形全等，

由等腰三角形三线合一得垂直在△ABC中，∠B=∠C=α（0°<α<45°），AM⊥BC于点M，G是线段MC上的动点（不与点M，C重合），将线段GM绕点G顺时针旋转2α得到线段GE.若在线段BM上存在点F（不与点B，M重合）满足GF=GC，连接AE,EF，直接写出∠AEF的大小，并证明．中考试题举例2023年北京中考方法3：延长EG至点H，使HG=EG，

连接CH，MH，EH

由倍长EG得黄色三角形全等，

由2倍角得等腰三角形，

由GM=GE=GH得直角三角形在△ABC中，∠B=∠C=α（0°<α<45°），AM⊥BC于点M，G是线段MC上的动点（不与点M，C重合），将线段GM绕点G顺时针旋转2α得到线段GE.若在线段BM上存在点F（不与点B，M重合）满足GF=GC，连接AE,EF，直接写出∠AEF的大小，并证明．经典试题举例如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上任意一点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F.求证：AE＝EF.

方法1：连接AC并延长至点G，使CG=CF，连接GE

由△GCE≌△FCE，