24.1 圆的有关性质2（练习题+答案解析）

24.124.1圆的有关性质（2）▒▓▒▓▒▓▒▓▒▓▒▓▒▓▒▓一、选择题（共8小题）1．（2024•溧阳市模拟）如图，为的直径，为上的一动点（不与、重合），于，的平分线交于，则当在上运动时，点的位置A．随点的运动而变化 B．不变 C．在使的劣弧上 D．无法确定2．（2024春•新城区校级月考）如图，内接于，点是弧的中点，是的直径．，，则的长为A．5 B． C． D．3．（2024•龙岗区校级开学）下列说法正确的是A．对角线垂直的四边形是菱形 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线垂直且相等的平行四边形是正方形4．（2024•甘谷县三模）如图，是的直径，四边形内接于，若，则的周长为A． B． C． D．5．（2024•碑林区校级模拟）如图，、是的弦，且，若，则的度数为A． B． C． D．6．（2024•西安二模）如图，四边形内接于，为的直径，连接，若，则的度数为A． B． C． D．7．（2023秋•新吴区期末）如图，是内接四边形的一个外角，若，那么的度数为A． B． C． D．8．（2024•弥勒市二模）如图，，，三点在上，，则为A． B． C． D．二、填空题（共8小题）9．（2024•湖南模拟）如图，是的直径，点，分别是弦，弧的中点，，，则的长是．10．（2023秋•秦淮区期末）如图，点，在上，为的中点，直径交于点，，，则的长为．11．（2023秋•滨海新区期中）是的直径，点在上，点，是的三等分点，，的度数是．12．（2023•盱眙县模拟）如图，是的直径，，则．13．（2024•凉州区校级一模）如图，在中，直径，弦相交于点．连接．且，若，则的度数为．14．（2024•大丰区模拟）如图，点，，，在上，，则．15．（2024•岳阳县一模）如图，在中，，，点在上，连接，，则的度数是．16．（2024•同心县模拟）如图，四边形是的内接四边形，，则．三、解答题（共8小题）17．（2023秋•南岳区校级期末）已知，如图，．求证：．18．（2024•武汉模拟）如图，为的直径，是的弦，，于点，交于点，连接交于点．（1）求证：；（2）若，，求的长．19．（2024•新城区模拟）如图，在中，，是的直径，与边交于点，为的中点，连接，与交于点．（1）求证：．（2）当为的中点时，求证：．20．（2024•利辛县开学）如图，已知为的直径，弦，，交于．求证：．21．（2024•青阳县三模）如图，是的直径，为上一点，为上一点，且，延长交于，连．（1）求证：；（2）若，，求的长．22．（2024•海门区校级开学）如图，已知内接，为直径，于点，连接．求证：．23．（2024•安徽二模）如图，为的直径，为的一条弦，的平分线交于点，，的延长线交于点．（1）若，求的度数．（2）求证：．24．（2024•莲湖区模拟）如图，点，，，均在上，且．与相交于点，，．（1）求的度数；（2）若，，求的长．

一、选择题（共8小题）1．【分析】因为是的平分线，所以，所以，则，所以弧等于弧，所以．从而可得出答案．【解答】解：连接，是的平分线，，又，，，，又，，，．点是线段垂直平分线和圆的交点，当在上运动时，点不动．故选：．2．【答案】【分析】连接，先求得，进而得到，再利用直角三角形的性质求得，又由点是弧的中点得，进而利用勾股定理即可得解．【解答】解：如图，连接，是的直径，，，，，，点是弧的中点，，，即，解得，故选：．3．【答案】【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定方法及圆周角和对应的弧的关系，分别分析得出答案．【解答】解：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故不符合题意；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故不符合题意；对角线相等的四边形不一定是矩形，故不符合题意；对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故不符合题意．故选：．4．【答案】【分析】如图，连接、．根据圆心角、弧、弦的关系证得是等边三角形，则的半径长为；然后由圆的周长公式进行计算．【解答】解：如图，连接、．是的直径，四边形内接于，，，．又，是等边三角形，，的周长．故选：．5．【答案】【分析】根据圆心角、弧、弦的关系求出，再根据等腰三角形的性质求解即可．【解答】解：如图，连接，，，，，，，，故选：．6．【答案】【分析】连接，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理得到，，再根据直角三角形的两锐角互余计算即可．【解答】解：如图，连接，四边形内接于，，，，由圆周角定理得：，为的直径，，，故选：．7．【答案】【分析】根据圆内接四边形的性质证得，在根据圆周角定理求出即可．【解答】解：，，，，，．故选：．8．【答案】【分析】由得的度数，再由圆周角定理即可求得结果．【解答】解：，，；故选：．二、填空题（共8小题）9．【分析】根据圆周角定理得到，根据含的直角三角形的性质求出，根据三角形中位线定理求出，进而求出．【解答】解：是的直径，，，，在中，，，则，点是的中点，点是的中点，是的中位线，，，故答案为：2．10．【答案】．【分析】连接，根据圆心角、弦、弧的关系推出，根据垂径定理求出，再根据勾股定理求解即可．【解答】解：如图，连接，为的中点，直径交于点，，，，，在中，，，或（舍去），，故答案为：．11．【答案】．【分析】先根据圆心角、弧、弦的关系得到，然后利用平角的定义计算的度数．【解答】解：点、是的三等分点，即，，．故答案为：．12．【分析】根据圆周角定理即可推出，通过计算即可推出结果．【解答】解：，，是的直径，．故答案为：．13．【答案】．【分析】根据，利用圆周角与圆心角关系可求出，再由三角形外角定理即可求得．【解答】解：，，，，，．故答案为：．14．【答案】115．【分析】先作出弧所对的圆周角，如图，根据圆周角定理得到，然后根据圆内接四边形的性质求的度数．【解答】解：为弧所对的圆周角，，，．故答案为：115．15．【分析】根据等弧所对的圆周角相等，求出即可解决问题．【解答】解：连接．，，，故答案为16．【分析】先根据圆周角定理求出的度数，再由圆内接四边形的性质即可得出结论．【解答】解：，．四边形是圆内接四边形，．故答案为：130．三、解答题（共8小题）17．【分析】根据圆心角、弧、弦的关系得到，则，所以．【解答】证明：，，，即，．18．【答案】（1）答案见解答过程；（2）．【分析】（1）由垂径定理得，，，根据得，则，进而得，再根据弧弧可得，则，由此可得出结论；（2）连接交于，连接，设的半径为，先求出，，则，证明和全等得，，则，再根据，及（1）的结论得，则，证明得，由此可得的长．【解答】（1）证明：为的直径，且于点，，，，，，，，，，，，；（2）连接交于，连接，设的半径为，如图所示：，，，，，在中，由勾股定理得：，，在中，，，，由勾股定理得：，即，解得：，，在和中，，，，，，为的直径，，即，又，，由（1）的结论得：，，即，，，，即，，，．19．【答案】（1）（2）证明见解答过程．【分析】（1）连接，，根据圆周角定理得到，，证明，得到；（2）作，垂足为，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的三线合一得到，进而证明结论．【解答】证明：（1）如图1，连接，，为的中点，，，，是的直径，，，，，，；（2）如图2，作，垂足为，连接，为的中点，，在和中，，，，由（1）可知，且，，，．20．【答案】见解析．【分析】连接，根据垂径定理得，再根据，得，根据圆心角、弧、弦的关系得，即可得出结论．【解答】证明：如图，连接，为的直径，弦，，，弧弧，，．21．【答案】（1）见解析；（2）．【分析】（1）根据圆周角定理得到，则，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到，从而得到结论；（2）连接、，如图，利用（1）的结论和圆周角定理得到，则，所以，然后利用勾股定理计算的长．【解答】（1）证明：是的直径，，，，，，，；（2）解：连接、，如图，由（1）得，，，，，，而，．22．【答案】见解析．【分析】由圆周角定理，推出，，由垂直的定义得到，由三角形内角和定理推出．【解答】证明：是圆的直径，，，，，，．23．【答案】（1）；（2）见解析．【分析】（1）如图，连接，证明，可得，结合圆周角定理可得，从而可得答案；（2）如图，连接．证明，，可得，，从而可得结论．【解答】（1）解：如图，连接．，平分，．为的直径，，，