22.1 二次函数的图象和性质（练习题+答案解析）

22.122.1二次函数的图象和性质▒▓▒▓▒▓▒▓▒▓▒▓▒▓▒▓一、选择题（共10小题）1．（2024•西山区校级开学）已知点，，都在函数的图象上，则A． B． C． D．2．（2024•八步区三模）一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象大致为A． B． C． D．3．（2024•肥城市二模）若将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是A．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位4．（2023秋•合江县校级月考）若将抛物线y＝x2向左平移4个单位，再向上平移2个单位，则所得抛物线的解析式为（）A．y＝（x+4）2+2 B．y＝（x﹣4）2+2 C．y＝（x+2）2﹣4 D．y＝（x﹣2）2﹣45．（2023秋•榆林期末）二次函数在的范围内有最小值为，则的值为A．3或 B． C．或1 D．36．（2024•富顺县三模）抛物线的顶点坐标是A． B． C． D．7．（2024•凉山州模拟）已知是关于的二次函数，其图象经过，则的值为A． B． C． D．无法确定8．（2024•满洲里市模拟）对于抛物线，下列说法错误的是A．对称轴是直线 B．函数的最大值是3 C．开口向下，顶点坐标 D．当时，随的增大而增大9．（2024•凉山州模拟）抛物线上部分点的坐标如下表，下列说法错误的是01A．对称轴是直线 B．当时， C．当时，随的增大而减小 D．抛物线开口向下10．（2024•西陵区模拟）如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：①；②；③；④抛物线上有两点，和，，若且，则．其中正确的有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（共10小题）11．（2024秋•姑苏区校级月考）抛物线的顶点是．12．（2024•海淀区校级开学）二次函数中，二次项系数是，一次项系数是，常数项是．13．（2023秋•赣州期末）二次函数的顶点坐标是．14．（2024•岳麓区校级开学）抛物线关于轴对称的抛物线的解析式为．15．（2023秋•中山区期末）抛物线上有两点，，则与的大小关系为．16．（2024•拱墅区校级开学）时，函数的最小值为，则实数的值为．17．（2024•兴宁区校级开学）二次函数的顶点坐标是．18．（2024•东城区校级开学）抛物线的对称轴是．19．（2024•高邮市校级模拟）点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（用“”连接）．20．（2024•鄞州区校级自主招生）已知函数，当时，有最大值5，则的值为．三、解答题（共6小题）21．（2024秋•花都区校级月考）已知是关于的二次函数．（1）求满足条件的的值；（2）为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点．当为何值时，的值随值的增大而增大？（3）为何值时，函数有最大值？最大值是多少？当为何值时，的值随值的增大而减小？22．（2023秋•双辽市期末）已知抛物线过点和点（1）求这个函数的关系式；（2）当为何值时，函数随的增大而增大．23．（2023秋•青龙县校级月考）在平面直角坐标系中，已知点，在二次函数的图象上．（1）当时，求的值；（2）在（1）的条件下，当时，求的取值范围．24．（2023秋•丰满区校级月考）若二次函数的图象如图所示，试求的值．25．（2023秋•魏县校级期中）已知点是抛物线上的点，且点在第一象限内．（1）求的值；（2）过点作轴交抛物线于点，若的值为3，试求点，点及原点围成的三角形的面积．26．（2023•中原区模拟）如图，点在抛物线上．（1）直接写出抛物线的解析式：，顶点的坐标：；（2）点在抛物线上，且在抛物线的对称轴的右侧，求的值；（3）在坐标平面内放置一透明胶片，并在胶片上描画出点及的一段，分别记为，，平移该胶片，使所在抛物线对应的解析式恰为，求点移动的最短路程．

一、选择题（共10小题）1．【答案】【分析】由已知确定函数的对称轴为直线，根据三点到对称轴的距离大小即可求解．【解答】解：抛物线的图像开口向上，对称轴为直线，点到对称轴距离为5，点到对称轴距离为4，点到对称轴距离为2，，．故选：．2．【分析】对于每个选项，先根据二次函数的图象确定和的符号，然后根据一次函数的性质看一次函数图象的位置是否正确，若正确，说明它们可在同一坐标系内存在．【解答】解：、由二次函数的图象得，，则一次函数经过第一、三、四象限，且它们的交点为，所以选项正确；、由二次函数的图象得，，则一次函数经过第一、二、三象限，所以选项错误；、由二次函数的图象得，，则一次函数经过第一、二、四象限，所以选项错误；、由二次函数的图象得，，则一次函数经过第二、三、四象限，所以选项错误．故选：．3．【答案】【分析】先把配成顶点式，然后根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可．【解答】解：由抛物线根据“上加下减，左加右减”规律要得到抛物线，则即由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，故答案为：．4．【答案】A【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律解答．【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向左平移4个单位，再向上平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣4，2）．可设新抛物线的解析式为：y＝（x﹣h）2+k，代入得：y＝（x+4）2+2．故选：A．5．【答案】【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，从而可得在的范围内函数取最小值时的值，进而求解．【解答】解：，抛物线开口向下，对称轴为直线，，在的范围内，时，为函数最小值，，解得或，故选：．6．【答案】【分析】依据题意，由抛物线为，从而可以判断得解．【解答】解：由题意，抛物线为，顶点为．故选：．7．【答案】【分析】把代入二次函数解析式得到，求出，然后根据二次函数的定义确定的值．【解答】解：把代入得，解得或，，的值为．故选：．8．【答案】【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：抛物线，该抛物线的对称轴是直线，故选项正确；函数有最大值，最大值，故选项正确；开口向下，顶点坐标为，故选项正确；当时，随的增大而减小，故选项错误；故选：．9．【答案】【分析】根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．【解答】解：、由表格中点，，可知对称轴是直线，故不符合题意；、根据对称轴是直线，图象过点，所以当时，，故符合题意；、由表格数据可知，当时，随的增大而减小，故不符合题意；、根据对称轴是直线，当时，随的增大而减小，可知抛物线开口向下，故不符合题意；故选：．10．【答案】【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置判断①；由抛物线的对称性可判断②；由二次函数与方程的关系，以及根与系数的关系可判断③；由二次函数的性质可判断④．【解答】解：抛物线开口向下，，抛物线交轴于正半轴，，，，，故①正确；抛物线对称轴为直线，时，，时，，，故②正确；抛物线开口向下，对称轴为直线，，，，故③正确；抛物线开口向下，对称轴为直线，若且，则点，到对称轴的距离小于，到直线的距离，，故不正确．故选：．二、填空题（共10小题）11．【答案】．【分析】利用顶点坐标公式，，直接求解．【解答】解：，，顶点坐标是．故答案为：．12．【答案】3，，5．【分析】二次函数：，，是常数且，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【解答】解：由，得它的二次项系数是3，一次项系数是，常数项是5．故答案是：3，，5．13．【答案】．【分析】根据顶点式的顶点坐标为求解即可．【解答】解：抛物线的顶点坐标是，故答案为：．14．【答案】．【分析】轴对称的两点横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此解答．【解答】解：关于轴对称：则变为，，抛物线关于轴对称的抛物线的解析式为，故答案为：．15．【答案】．【分析】先根据抛物线的解析式得出抛物线的开口向上，抛物线的对称轴是轴，由二次函数的性质即可得出结论．【解答】解：抛物线中，此抛物线开口向上，对称轴是轴，，．故答案为：．16．【答案】或3．【分析】二次函数的最值跟二次函数的开口方向、对称轴、自变量的取值范围有关系，这三要素哪一个不确定，就讨论哪一个，其中后面两个主要谈论的是对称轴与自变量取值范围与对称轴的位置关系，本题开口方向确定，自变量范围确定，对称轴为不确定，所以谈论对称轴和自变量的位置关系，分三种情况，①范围在对称轴左侧；②范围在对称轴右侧；③对称轴在范围之间，再根据开口方向向上，离对称轴越近，值越小判断在何处取最小值即可．【解答】解：函数，对称轴，开口方向向上，当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，①当时，时有最小值，，；②当时，时有最小值，，；③当时，有最小值，，即，解得或，，此种情况不存在值满足题意；综上，的值为或3．故答案为：或3．17．【答案】．【分析】根据二次函数的性质作答即可．【解答】解：二次函数的顶点坐标是．故答案为：．18．【答案】直线．【分析】根据二次函数的对称轴为直线进行求解即可．【解答】解：抛物线解析式为，抛物线对称轴为直线，故答案为：直线．19．【答案】．【分析】根据可求出函数的对称轴，点、在对称轴右侧，函数图形开口向上，随增大而增大，可以判断，的大小，而点点离对称轴最远，故的值最大，据此即可判断．【解答】解：的开口向上，且对称轴为直线，、点在抛物线右侧，，，离对称轴最远，值最大，离对称轴最近，值最小，故答案为：．20．【答案】1或7．【分析】依据题意，由的对称轴是直线，结合当时，，又当时，，当时，，进而分类讨论即可判断得解．【解答】解：由题意，的对称轴是直线，当时，．又当时，，当时，，①当最大值为，或（不合题意）；②当最大值为，或，均不合题意；③当最大值为，（不合题意）或．综上，或7．故答案为：1或7．三、解答题（共6小题）21．【分析】（1）根据二次函数的定义求出的值即可解决问题；（2）运用“当二次项系数大于0时，抛物线开口向上，图象有最低点；在对称轴的右侧随的增大而增大．”解答便可；（3）运用“当二次项系数小于0时，抛物线开口向下，图象有最高点，函数便有最大值；在对称轴的右侧随的增大而减小．”进行解答．【解答】解：（1）根据二次函数的定义得，解得．当时，原函数是二次函数．（2）根据抛物线有最低点，可得抛物线的开口向上，，即，根据第（1）问得，．该抛物线的解析式为，抛物线的最低点为，当时，随的增大而增大，故当时，抛物线有最低点，其最低点坐标为，当时，随的增大而增大；（3）根据二次函数有最大值，可得抛物线的开口向下，，即，根据第（1）问得：．该抛物线的解析式为，其函数最大值为0，当时，函数有最大值为0．当时，随的增大而减小．故当时，抛物线有最大值，其最大值为0，当时，随的增大而减小．22．【分析】（1）利用待定系数法即可求出函数的关系式．（2）由开口及对称轴即可判定出当为何值时，函数随的增大而增大．【解答】解：（1）把点和点代入得，解得所以这个函数的关系式为；（2）这个函数的关系式为；对称轴，，抛物线开口向下，当时，函数随的增大而增大．23．【答案】（1）的值为；（2）．【分析】（1）分别求出当和时的函数值，再根据建立关于的方程即可解决问题．（2）根据已经确定的二次函数表达式，利用抛物线的对称性和增减性即可解决问题．【解答】解：（1）将点和点代入函数解析式得，，．又，则，解得．故的值为．（2）由（1）知，，所以二次函数的表达式为．此抛物线的对称轴为直线，且开口向上，抛物线的顶点坐标为，．当时，；当时，，所以当时，的取值范围是．24．【分析】依据题意，由图象知，过，故可以代入解析式，再结合开口向下，进而可以得解．【解答】解：由题意，二次函数图象过，．．或．又函数图象开口向下，．．25．【分析】（1）将点的坐标代入抛物线的解析式，从而可以求得的值；（2）首先将的值代入得到二次函数的解析式，然后将点的横坐标代入即可求得其纵坐标，然后根据轴得到点的纵坐标与点的纵坐标相同，从而求得点的坐标，从而求得三角形的面积．【解答】解：（1）点是抛物线上的点，，解得：或，点在第一象限内，；（2）的值为3，二次函数的解析式为：，点的横坐标为2，点的纵坐标，点的坐标为，轴交抛物线于点，，解得：或，点的坐标为，，．26．【答案】（1），；（2）6；（3）．【分析】（1）把点坐标代入中求出，从而得到抛物线的解析式为，然后把一般式配成顶点式得到顶点的坐标；（2）把代入得，解方程得到，，然后利用抛物线的对称轴为