相似三角形专题解答题试题一附答案

相似三角形专题解答题试题精选一附答案一．解答题（共30小题）1．（2015•咸宁）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD为角平分线，DE⊥AB，垂足为E．（1）写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形；（2）选择（1）中一对加以证明．2．（2015•南京）如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．3．（2015•宁夏）在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点．连结AE．（1）若AB=AE，求证：∠DAE=∠D；（2）若点E为BC的中点，连接BD，交AE于F，求EF：FA的值．4．（2015•滨州）如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角形，其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F，求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）=．第1页（共45页）5．（2015•黄石）在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′．（1）如图1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分别为OA，OB的中点，证明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；（2）如图2，若△AOB为任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′与BD′交于点E，猜想∠AEB=θ是否成立？请说明理由．6．（2015•乐山）如图1，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=2，tanA=．（1）求CD边的长；（2）如图2，将直线CD边沿箭头方向平移，交DA于点P，交CB于点Q（点Q运动到点B停止）．设DP=x，四边形PQCD的面积为y，求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．7．（2015•上海）已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE．（1）求证：DE⊥BE；（2）如果OE⊥CD，求证：BD•CE=CD•DE．第2页（共45页）8．（2015•茂名）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒（0＜t＜），连接MN．（1）若△BMN与△ABC相似，求t的值；（2）连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．9．（2015•厦门）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，AD=3，AB=5，求的值．10．（2015•杭州）如图，在△ABC中（BC＞AC），∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E．（1）若=，AE=2，求EC的长；（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由．第3页（共45页）11．（2015•绥化）如图1，在正方形ABCD中，延长BC至M，使BM=DN，连接MN交BD延长线于点E．（1）求证：BD+2DE=BM．（2）如图2，连接BN交AD于点F，连接MF交BD于点G．若AF：FD=1：2，且CM=2，则线段DG=．12．（2015•岳阳）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．13．（2015•淄博）如图，在△ABC中，点P是BC边上任意一点（点P与点B，C不重合），平行四边形AFPE的顶点F，E分别在AB，AC上．已知BC=2，S=1．设BP=x，平行△ABC四边形AFPE的面积为y．（1）求y与x的函数关系式；（2）上述函数有最大值或最小值吗？若有，则当x取何值时，y有这样的值，并求出该值；若没有，请说明理由．第4页（共45页）14．（2015•大连）在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且∠ADF+∠DEC=180°，∠AFE=∠BDE．（1）如图1，当DE=DF时，图1中是否存在与AB相等的线段？若存在，请找出，并加以证明；若不存在，说明理由；（2）如图2，当DE=kDF（其中0＜k＜1）时，若∠A=90°，AF=m，求BD的长（用含k，m的式子表示）．15．（2015•湘潭）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．（1）求证：△BDE∽△BAC；（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．16．（2015•抚顺）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．（1）如图①，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；（2）如图②，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由；（3）当∠ABC=α时，请直接写出线段AD与DE的数量关系．（用含α的三角函数表示）17．（2015•威海）（1）如图1，已知∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=6，CD=CE，AE=3，∠CAE=45°，求AD的长．（2）如图2，已知∠ACB=∠DCE=90°，∠ABC=∠CED=∠CAE=30°，AC=3，AE=8，求AD的长．第5页（共45页）18．（2015•赤峰）如图，直线y=﹣2x+4与坐标轴分别交于C、B两点，过点C作CD⊥x轴，点P是x轴下方直线CD上的一点，且△OCP与△OBC相似，求过点P的双曲线解析式．19．（2015•连云港）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，D为AC延长线上一点，AC=3CD，过点D作DH∥AB，交BC的延长线于点H．（1）求BD•cos∠HBD的值；（2）若∠CBD=∠A，求AB的长．20．（2015•泰安）如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B．（1）求证：AC•CD=CP•BP；（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．第6页（共45页）21．（2015•武汉）已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8．（1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K．①求的值；②设EH=x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值；（2）若AB=AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长．22．（2015•邵阳）如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，求旗杆的高度．23．（2015•陕西）晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞．小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点（距N点5块地砖长）时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点（距N点9块地砖长）时，其影长BF恰好为2块地砖长．已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ．请你根据以上信息，求出小军身高BE的长．（结果精确到0.01米）第7页（共45页）24．（2015•崇左）一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．（1）求证：△AEF∽△ABC；（2）求这个正方形零件的边长；（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？25．（2015•湖州模拟）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．26．（2015•镇江）某兴趣小组开展课外活动．如图，A，B两地相距12米，小明从点A出发沿AB方向匀速前进，2秒后到达点D，此时他（CD）在某一灯光下的影长为AD，继续按原速行走2秒到达点F，此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得这个影长为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点H，此时他（GH）在同一灯光下的影长为BH（点C，E，G在一条直线上）．（1）请在图中画出光源O点的位置，并画出他位于点F时在这个灯光下的影长FM（不写画法）；（1）求小明原来的速度．第8页（共45页）27．（2015•黄冈校级自主招生）如图，已知锐角△ABC的面积为1，正方形DEFG是△ABC的一个内接正方形，DG∥BC，求正方形DEFG面积的最大值．28．（2015•青岛模拟）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，问△AOB与△COD是否相似？有一位同学解答下：∵AD∥BC，∴∠ADO=∠CBO，∠DAO=∠BCO．∴△AOD∽△BOC．∴．又∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△COD．请判断这位同学的解答是否正确并说明理由．29．（2015•大庆模拟）如图，点C为线段AB上任意一点（不与A、B两点重合），分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BDE，CA=CD，CB=CE，∠ACD与∠BDE都是锐角且∠ACD=∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接PC．（1）求证：△ACE≌△DCB；（2）请你判断△AMC与△DPM的形状有何关系，并说明理由．30．（2015•常州模拟）如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF=3FD，△ABE与△DEF相似吗？为什么？第9页（共45页）第10页（共45页）相似三角形专题解答题试题精选一附答案参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2015•咸宁）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD为角平分线，DE⊥AB，垂足为E．（1）写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形；（2）选择（1）中一对加以证明．【考点】相似三角形的判定；全等三角形的判定．【分析】（1）利用相似三角形的性质以及全等三角形的性质得出符合题意的答案；（2）利用相似三角形的判定以及全等三角形的判定方法分别得出即可．【解答】解：（1）△ADE≌△BDE，△ABC∽△BCD；（2）证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD为角平分线，∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A，在△ADE和△BDE中∵，∴△ADE≌△BDE（AAS）；证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD为角平分线，∴∠DBC=∠ABC=36°=∠A，∵∠C=∠C，∴△ABC∽△BCD．【点评】此题主要考查了相似三角形以及全等三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．2．（2015•南京）如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．第11页（共45页）（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD∽△CBD；（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A=∠BCD，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．【解答】（1）证明：∵CD是边AB上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°，∵=．∴△ACD∽△CBD；（2）解：∵△ACD∽△CBD，∴∠A=∠BCD，在△ACD中，∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟记相似三角形的判定定理与性质定理．3．（2015•宁夏）在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点．连结AE．（1）若AB=AE，求证：∠DAE=∠D；（2）若点E为BC的中点，连接BD，交AE于F，求EF：FA的值．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】（1）根据平行四边形的对边互相平行可得AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠AEB=∠EAD，根据等边对等角可得∠ABE=∠AEB，即可得证；（2）由四边形ABCD是平行四边形，可证得△BEF∽△AFD，即可求得EF：FA的值．【解答】证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠AEB=∠EAD，∵AE=AB，∴∠ABE=∠AEB，∴∠B=∠EAD，∵∠B=∠D，第12页（共45页）∴∠DAE=∠D；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△BEF∽△AFD，∴，∵E为BC的中点，∴BE=BC=AD，∴EF：FA=1：2．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．4．（2015•滨州）如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角形，其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F，求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）=．【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【专题】证明题．【分析】（1）由三角形ABC与三角形CDE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，一对角相等，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS即可得证；（2）由（1）得出的三角形全等得到对应角相等，再由一对角相等，且夹边相等，利用ASA得到三角形GCD与三角形FCE全等，利用全等三角形对应边相等得到CG=CF，进而确定出三角形CFG为等边三角形，确定出一对内错角相等，进而得到GF与CE平行，利用平行线等分线段成比例即可得证．【解答】证明：（1）∵△ABC与△CDE都为等边三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中，，第13页（共45页）∴△ACE≌△BCD（SAS），（2）∵△ACE≌△BCD，∴∠BDC=∠AEC，在△GCD和△FCE中，，∴△GCD≌△FCE（ASA），∴CG=CF，∴△CFG为等边三角形，∴∠CGF=∠ACB=60°，∴GF∥CE，∴=．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．5．（2015•黄石）在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′．（1）如图1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分别为OA，OB的中点，证明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；（2）如图2，若△AOB为任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′与BD′交于点E，猜想∠AEB=θ是否成立？请说明理由．【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质．【专题】证明题．【分析】（1）①由旋转的性质得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，证出OC′=OD′，由SAS证明△AOC′≌△BOD′，得出对应边相等即可；②由全等三角形的性质得出∠OAC′=∠OBD′，又由对顶角相等和三角形内角和定理得出∠BEA=90°，即可得出结论；（2）由旋转的性质得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，由平行线得出比例式，得出，证明△AOC′∽△BOD′，得出∠OAC′=∠OBD′再由对顶角相等和三角形内角和定理即可得出∠AEB=θ．【解答】（1）证明：①∵△OCD旋转到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵OA=OB，C、D为OA、OB的中点，第14页（共45页）∴OC=OD，∴OC′=OD′，在△AOC′和△BOD′中，，∴△AOC′≌△BOD′（SAS），∴AC′=BD′；②延长AC′交BD′于E，交BO于F，如图1所示：∵△AOC′≌△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE，∠OAC′+∠AFO=90°，∴∠OBD′+∠BFE=90°，∴∠BEA=90°，∴AC′⊥BD′；（2）解：∠AEB=θ成立，理由如下：如图2所示：∵△OCD旋转到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵CD∥AB，∴，∴，∴，又∠AOC′=∠BOD′，∴△AOC′∽△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE，∴∠AEB=∠AOB=θ．【点评】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握旋转的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．第15页（共45页）6．（2015•乐山）如图1，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=2，tanA=．（1）求CD边的长；（2）如图2，将直线CD边沿箭头方向平移，交DA于点P，交CB于点Q（点Q运动到点B停止）．设DP=x，四边形PQCD的面积为y，求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．【考点】相似三角形的判定与性质；函数关系式；平移的性质；解直角三角形．【分析】（1）分别延长AD、BC相交于E，在Rt△ABE中，由tanA=，AB=3，BC=2，得到BE=4，EC=2，AE=5，通过等角的余角相等得到∠A=∠ECD，由tanA=，得cosA=，于是得到cos∠ECD==，即问题可得；（2）由（1）可知tan∠ECD=，得到ED=，如图4，由PQ∥DC，可知△EDC～EPQ，得到比例式，求得PQ=，由S=S﹣S，于是得到y=PQ•EP四边形PQCD△EPQ△EDC﹣DC•ED=﹣=，于是当Q点到达B点时，点P在M点处，由EC=BC，DC∥PQ，得到DM=ED=，于是结论可得．【解答】解：（1）如图（3），分别延长AD、BC相交于E，在Rt△ABE中，∵tanA=，AB=3，BC=2，∴BE=4，EC=2，AE=5，又∵∠E+∠A=90°，∠E+∠ECD=90°，∴∠A=∠ECD，由tanA=，得cosA=，∴cos∠ECD==，∴CD=；第16页（共45页）（2）如图4，由（1）可知tan∠ECD=，∴ED=，如图4，由PQ∥DC，可知△EDC～EPQ，∴，∴，即PQ=，∵S=S﹣S，四边形PQCD△EPQ△EDC∴y=PQ•EP﹣DC•ED=﹣=，∴当Q点到达B点时，点P在M点处，由EC=BC，DC∥PQ，∴DM=ED=，∴自变量x的取值方范围为：0＜x≤．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平移的性质，求函数的解析式，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．7．（2015•上海）已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE．（1）求证：DE⊥BE；（2）如果OE⊥CD，求证：BD•CE=CD•DE．第17页（共45页）【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质．【专题】证明题．【分析】（1）由平行四边形的性质得到BO=BD，由等量代换推出OE=BD，根据平行四边形的判定即可得到结论；（2）根据等角的余角相等，得到∠CEO=∠CDE，推出△BDE∽△CDE，即可得到结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=BD，∵OE=OB，∴OE=BD，∴∠BED=90°，∴DE⊥BE；（2）∵OE⊥CD∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°，∴∠CEO=∠CDE，∵OB=OE，∴∠DBE=∠CDE，∵∠BED=∠BED，∴△BDE∽△DCE，∴，∴BD•CE=CD•DE．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟记定理是解题的关键．8．（2015•茂名）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒（0＜t＜），连接MN．（1）若△BMN与△ABC相似，求t的值；（2）连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．第18页（共45页）【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形．【专题】压轴题；动点型．【分析】（1）根据题意得出BM，CN，易得BN，BA，分类讨论当△BMN∽△BAC时，利用相似三角形的性质得，解得t；当△BMN∽△BCA时，，解得t，综上所述，△BMN与△ABC相似，得t的值；（2）过点M作MD⊥CB于点D，利用锐角三角函数易得DM，BD，由BM=3tcm，CN=2tcm，易得CD，利用三角形相似的判定定理得△CAN∽△DCM，由三角形相似的性质得，解得t．【解答】解：（1）由题意知，BM=3tcm，CN=2tcm，∴BN=（8﹣2t）cm，BA==10（cm），当△BMN∽△BAC时，，∴，解得：t=；当△BMN∽△BCA时，，∴，解得：t=，∴△BMN与△ABC相似时，t的值为或；（2）过点M作MD⊥CB于点D，由题意得：DM=BMsinB=3t=（cm），BD=BMcosB=3t=t（cm），BM=3tcm，CN=2tcm，∴CD=（8﹣）cm，∵AN⊥CM，∠ACB=90°，∴∠CAN+∠ACM=90°，∠MCD+∠ACM=90°，∴∠CAN=∠MCD，∵MD⊥CB，∴∠MDC=∠ACB=90°，∴△CAN∽△DCM，第19页（共45页）∴，∴=，解得t=．【点评】本题主要考查了动点问题，相似三角形的判定及性质等，分类讨论，数形结合是解答此题的关键．9．（2015•厦门）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，AD=3，AB=5，求的值．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理得出=，再根据AD=3，AB=5，即可得出答案．【解答】解：∵DE∥BC，∴=，∵AD=3，AB=5，∴=．【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题难度不大，解题的关键是注意准确应用平行线分线段成比例定理与数形结合思想的应用．10．（2015•杭州）如图，在△ABC中（BC＞AC），∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E．（1）若=，AE=2，求EC的长；（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由．第20页（共45页）【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】分类讨论．【分析】（1）易证DE∥BC，由平行线分线段成比例定理列比例式即可求解；（2）分三种情况讨论：①若∠CFG=∠ECD，此时线段CP是△CFG的FG边上的中线；②若∠CFG=∠EDC，此时线段CP为△CFG的FG边上的高线；③当CD为∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，DE⊥AC，∴DE∥BC，∴，∵，AE=2，∴EC=6；（2）①如图1，若∠CFG=∠ECD，此时线段CP是△CFG的FG边上的中线．证明：∵∠CFG+∠CGF=90°，∠ECD+∠PCG=90°，又∵∠CFG=∠ECD，∴∠CGF=∠PCG，∴CP=PG，∵∠CFG=∠ECD，∴CP=FP，∴PF=PG=CP，∴线段CP是△CFG的FG边上的中线；②如图2，若∠CFG=∠EDC，此时线段CP为△CFG的FG边上的高线．证明：∵DE⊥AC，∴∠EDC+∠ECD=90°，∵∠CFG=∠EDC，∴∠CFG+∠ECD=90°，∴∠CPF=90°，∴线段CP为△CFG的FG边上的高线．③如图3，当CD为∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线．第21页（共45页）【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、等腰三角形的判定、三角形的有关概念，分类讨论，能全面的思考问题是解决问题的关键．11．（2015•绥化）如图1，在正方形ABCD中，延长BC至M，使BM=DN，连接MN交BD延长线于点E．（1）求证：BD+2DE=BM．（2）如图2，连接BN交AD于点F，连接MF交BD于点G．若AF：FD=1：2，且CM=2，则线段DG=．【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．【专题】证明题．【分析】（1）过点M作MP⊥BC交BD的延长线于点P，首先证明△DEN≌△PEM，得到DE=PE，由△BMP是等腰直角三角形可知BP=BM，即可得到结论；（2）由AF：FD=1：2，可知DF：BC=2：3，由△BCN∽△FDN，可求出BC=2，再由△DFG∽△BMG即可求出DG的长．【解答】（1）证明：过点M作MP⊥BC交BD的延长线于点P，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，∠DBC=∠BDC=45°，∴PM∥CN，∴∠N=∠EMP，∠BDC=∠MPB=45°，第22页（共45页）∴BM=PM，∵BM=DN，∴DN=MP，在△DEN和△PEM中，∴△DEN≌△PEM，∴DE=EP，∵△BMP是等腰直角三角形∴BP=BM∴BD+2DE=BM．（2）解：∵AF：FD=1：2，∴DF：BC=2：3，∵△BCN∽△FDN，∴设正方形边长为a，又知CM=2，∴BM=DN=a+2，CN=2a+2∴，解得：a=2，∴DF=，BM=4，BD=2，又∵△DFG∽△BMG，∴，∴，∴DG=．故答案为：．第23页（共45页）【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的综合运用，运用三角形相似求出正方形的边长是解决第2小题的关键．12．（2015•岳阳）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】（1）由正方形的性质得出AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，得出∠AMB=∠EAF，再由∠B=∠AFE，即可得出结论；第24页（共45页）（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，∴∠AMB=∠EAF，又∵EF⊥AM，∴∠AFE=90°，∴∠B=∠AFE，∴△ABM∽△EFA；（2）解：∵∠B=90°，AB=12，BM=5，∴AM==13，AD=12，∵F是AM的中点，∴AF=AM=6.5，∵△ABM∽△EFA，∴，即，∴AE=16.9，∴DE=AE﹣AD=4.9．【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．13．（2015•淄博）如图，在△ABC中，点P是BC边上任意一点（点P与点B，C不重合），平行四边形AFPE的顶点F，E分别在AB，AC上．已知BC=2，S=1．设BP=x，平行△ABC四边形AFPE的面积为y．（1）求y与x的函数关系式；（2）上述函数有最大值或最小值吗？若有，则当x取何值时，y有这样的值，并求出该值；若没有，请说明理由．【考点】相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；平行四边形的性质．【分析】（1）由平行四边形的性质得出PF∥CA，证出△BFP∽△BAC，得出面积比等于相2似比的平方，得出S=，同理：S=（），即可得出y与x的函数关系式；△BFP△PEC（2）由﹣＜0得出y有最大值，把（1）中函数关系式化成顶点式，即可得出结果．【解答】解：（1）∵四边形AFPE是平行四边形，第25页（共45页）∴PF∥CA，∴△BFP∽△BAC，∴=（），2∵S=1，△ABC∴S=，△BFP2同理：S=（），△PEC∴y=1﹣﹣，∴y=﹣+x；（2）上述函数有最大值，最大值为；理由如下：2∵y=﹣+x=﹣（x﹣1）+，﹣＜0，∴y有最大值，∴当x=1时，y有最大值，最大值为．【点评】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似得出关系式是解决问题的关键．14．（2015•大连）在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且∠ADF+∠DEC=180°，∠AFE=∠BDE．（1）如图1，当DE=DF时，图1中是否存在与AB相等的线段？若存在，请找出，并加以证明；若不存在，说明理由；（2）如图2，当DE=kDF（其中0＜k＜1）时，若∠A=90°，AF=m，求BD的长（用含k，m的式子表示）．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】（1）如图1，连结AE．先由DE=DF，得出∠DEF=∠DFE，由∠ADF+∠DEC=180°，得出∠ADF=∠DEB．由∠AFE=∠BDE，得出∠AFE+∠ADE=180°，那么A、D、E、F四点共圆，根据圆周角定理得出∠DAE=∠DFE=∠DEF，∠ADF=∠AEF．再由第26页（共45页）∠ADF=∠DEB=∠AEF，得出∠AEF+∠AED=∠DEB+∠AED，则∠AEB=∠DEF=∠BAE，根据等角对等边得出AB=BE；（2）如图2，连结AE．由A、D、E、F四点共圆，得出∠ADF=∠AEF，由∠DAF=90°，得出∠DEF=90°，再证明∠DEB=∠AEF．又∠AFE=∠BDE，根据两角对应相等的两三角形相似得出△BDE∽△AFE，利用相似三角形对应边成比例得到=．在直角△DEF中，利用勾股定理求出EF==DF，然后将AF=m，DE=kDF代入，计算即可求解．【解答】解：（1）如图1，连结AE．∵DE=DF，∴∠DEF=∠DFE，∵∠ADF+∠DEC=180°，∴∠ADF=∠DEB．∵∠AFE=∠BDE，∴∠AFE+∠ADE=180°，∴A、D、E、F四点共圆，∴∠DAE=∠DFE=∠DEF，∠ADF=∠AEF．∵∠ADF=∠DEB=∠AEF，∴∠AEF+∠AED=∠DEB+∠AED，∴∠AEB=∠DEF=∠DFE=∠BAE，∴AB=BE；（2）如图2，连结AE．∵∠AFE=∠BDE，∴∠AFE+∠ADE=180°，∴A、D、E、F四点共圆，∴∠ADF=∠AEF，∵∠DAF=90°，∴∠DEF=90°，∵∠ADF+∠DEC=180°，∴∠ADF=∠DEB．∵∠ADF=∠AEF，∴∠DEB=∠AEF．在△BDE与△AFE中，，∴△BDE∽△AFE，∴=．在直角△DEF中，∵∠DEF=90°，DE=kDF，∴EF==DF，第27页（共45页）∴==，∴BD=．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，四点共圆，圆周角定理，勾股定理等知识，有一定难度．连结AE，证明A、D、E、F四点共圆是解题的关键．15．（2015•湘潭）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．（1）求证：△BDE∽△BAC；（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．【考点】相似三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】（1）根据折叠的性质得出∠C=∠AED=90°，利用∠DEB=∠C，∠B=∠B证明三角形相似即可；（2）由折叠的性质知CD=DE，AC=AE．根据题意在Rt△BDE中运用勾股定理求DE，进而得出AD即可．【解答】证明：（1）∵∠C=90°，△ACD沿AD折叠，∴∠C=∠AED=90°，∴∠DEB=∠C=90°，又∵∠B=∠B，∴△BDE∽△BAC；（2）由勾股定理得，AB=10．由折叠的性质知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90°．∴BE=AB﹣AE=10﹣6=4，在Rt△BDE中，由勾股定理得，222DE+BE=BD，222即CD+4=（8﹣CD），解得：CD=3，第28页（共45页）222在Rt△ACD中，由勾股定理得AC+CD=AD，222即3+6=AD，解得：AD=．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，关键是根据1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、勾股定理求解．16．（2015•抚顺）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．（1）如图①，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；（2）如图②，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由；（3）当∠ABC=α时，请直接写出线段AD与DE的数量关系．（用含α的三角函数表示）【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】（1）首先过点D作DF⊥BC，交AB于点F，得出∠BDE=∠ADF，以及∠EBD=∠AFD，再得出△BDE≌△FDA（ASA），求出即可；（2）首先过点D作DG⊥BC，交AB于点G，进而得出∠EBD=∠AGD，证出△BDE∽△GDA即可得出答案；（3）首先过点D作DG⊥BC，交AB于点G，进而得出∠EBD=∠AGD，证出△BDE∽△GDA即可得出答案．【解答】（1）证明：如图1，过点D作DF⊥BC，交AB于点F，则∠BDE+∠FDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠FDE+∠ADF=90°，∴∠BDE=∠ADF，∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠C=45°，∵MN∥AC，∴∠EBD=180°﹣∠C=135°，∵∠BFD=45°，DF⊥BC，∴∠BFD=45°，BD=DF，∴∠AFD=135°，∴∠EBD=∠AFD，在△BDE和△FDA中，第29页（共45页）∴△BDE≌△FDA（ASA），∴AD=DE；（2）解：DE=AD，理由：如图2，过点D作DG⊥BC，交AB于点G，则∠BDE+∠GDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠GDE+∠ADG=90°，∴∠BDE=∠ADG，∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，∴∠C=60°，∵MN∥AC，∴∠EBD=180°﹣∠C=120°，∵∠ABC=30°，DG⊥BC，∴∠BGD=60°，∴∠AGD=120°，∴∠EBD=∠AGD，∴△BDE∽△GDA，∴=，在Rt△BDG中，=tan30°=，∴DE=AD；（3）AD=DE•tanα；理由：如图2，∠BDE+∠GDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠GDE+∠ADG=90°，∴∠BDE=∠ADG，∵∠EBD=90°+α，∠AGD=90°+α，∴∠EBD=∠AGD，∴△EBD∽△AGD，∴=，在Rt△BDG中，=tanα，则=tanα，∴AD=DE•tanα．第30页（共45页）【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，得出△EBD∽△AGD是解题关键．17．（2015•威海）（1）如图1，已知∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=6，CD=CE，AE=3，∠CAE=45°，求AD的长．（2）如图2，已知∠ACB=∠DCE=90°，∠ABC=∠CED=∠CAE=30°，AC=3，AE=8，求AD的长．【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．【分析】（1）连接BE，证明△ACD≌△BCE，得到AD=BE，在Rt△BAE中，AB=6，AE=3，求出BE，得到答案；（2）连接BE，证明△ACD∽△BCE，得到==，求出BE的长，得到AD的长．【解答】解：（1）如图1，连接BE，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，又∵AC=BC，DC=EC，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE，第31页（共45页）∵AC=BC=6，∴AB=6，∵∠BAC=∠CAE=45°，∴∠BAE=90°，在Rt△BAE中，AB=6，AE=3，∴BE=9，∴AD=9；（2）如图2，连接BE，在Rt△ACB中，∠ABC=∠CED=30°，tan30°==，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠BCE=∠ACD，∴△ACD∽△BCE，∴==，∵∠BAC=60°，∠CAE=30°，∴∠BAE=90°，又AB=6，AE=8，∴BE=10，∴AD=．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握性质定理和判定定理是解题的关键，正确作出辅助线是重点．18．（2015•赤峰）如图，直线y=﹣2x+4与坐标轴分别交于C、B两点，过点C作CD⊥x轴，点P是x轴下方直线CD上的一点，且△OCP与△OBC相似，求过点P的双曲线解析式．第32页（共45页）【考点】相似三角形的判定与性质；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式．【分析】由直线y=﹣2x+4与坐标轴分别交于C、B两点，易得OC=2，OB=4，再分两种情况①当∠OBC=∠COP时，△OCP与△OBC相似，②当∠OBC=∠CPO时，△OCP与△OBC相似分别求出点的坐标，再求出过点P的双曲线解析式．【解答】解：∵直线y=﹣2x+4与坐标轴分别交于C、B两点，∴令y=0，可得﹣2x+4=0，解得x=2，即C（2，0），OC=2，令x=0，可得y=4，即B（0，4），OB=4，①如图1，当∠OBC=∠COP时，△OCP∽△BOC，∴=，即=，解得CP=1，∴P（2，﹣1），设过点P的双曲线解析式y=，把P点代入解得k=﹣2，∴过点P的双曲线解析式y=﹣，②如图2，当∠OBC=∠CPO时，△OCP∽△COB，第33页（共45页）在△OCP和△COB中，∴△OCP≌△COB（AAS）∴CP=BO=4，∴P（2，﹣4）设过点P的双曲线解析式y=，把P点代入得﹣4=，解得k=﹣8，∴过点P的双曲线解析式y=．综上可得，过点P的双曲线的解析式为y=﹣或y=．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，待定系数求反比例函数，解题的关键是分两种情况正确画出图形．19．（2015•连云港）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，D为AC延长线上一点，AC=3CD，过点D作DH∥AB，交BC的延长线于点H．（1）求BD•cos∠HBD的值；（2）若∠CBD=∠A，求AB的长．【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形．【分析】（1）首先根据DH∥AB，判断出△ABC∽△DHC，即可判断出=3；然后求出BH的值是多少，再根据在Rt△BHD中，cos∠HBD=，求出BD•cos∠HBD的值是多少即可．第34页（共45页）（2）首先判断出△ABC∽△BHD，推得；然后根据△ABC∽△DHC，推得，所以AB=3DH；最后根据，求出DH的值是多少，进而求出AB的值是多少即可．【解答】解：（1）∵DH∥AB，∴∠BHD=∠ABC=90°，∴△ABC∽△DHC，∴=3，∴CH=1，BH=BC+CH，在Rt△BHD中，cos∠HBD=，∴BD•cos∠HBD=BH=4．（2）∵∠CBD=∠A，∠ABC=∠BHD，∴△ABC∽△BHD，∴，∵△ABC∽△DHC，∴，∴AB=3DH，∴，解得DH=2，∴AB=3DH=3×2=6，即AB的长是6．【点评】（1）此题主要考查了相似三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．（2）此题还考查了直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．20．（2015•泰安）如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B．（1）求证：AC•CD=CP•BP；（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．【考点】相似三角形的判定与性质．第35页（共45页）【分析】（1）易证∠APD=∠B=∠C，从而可证到△ABP∽△PCD，即可得到=，即AB•CD=CP•BP，由AB=AC即可得到AC•CD=CP•BP；（2）由PD∥AB可得∠APD=∠BAP，即可得到∠BAP=∠C，从而可证到△BAP∽△BCA，然后运用相似三角形的性质即可求出BP的长．【解答】解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C．∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC，∴∠BAP=∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴=，∴AB•CD=CP•BP．∵AB=AC，∴AC•CD=CP•BP；（2）∵PD∥AB，∴∠APD=∠BAP．∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C．∵∠B=∠B，∴△BAP∽△BCA，∴=．∵AB=10，BC=12，∴=，∴BP=．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，把证明AC•CD=CP•BP转化为证明AB•CD=CP•BP是解决第（1）小题的关键，证到∠BAP=∠C进而得到△BAP∽△BCA是解决第（2）小题的关键．21．（2015•武汉）已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8．（1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K．①求的值；②设EH=x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值；（2）若AB=AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长．第36页（共45页）【考点】相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；矩形的性质；正方形的性质．【专题】压轴题．【分析】（1）①根据EF∥BC，可得，所以，据此求出的值是多少即可．②首先根据EH=x，求出AK=8﹣x，再根据=，求出EF的值；然后根据矩形的面积公式，求出S与x的函数关系式，利用配方法，求出S的最大值是多少即可．（2）根据题意，设正方形的边长为a，分两种情况：①当正方形PQMN的两个顶点在BC边上时；②当正方形PQMN的两个顶点在AB或AC边上时；分类讨论，求出正方形PQMN的边长各是多少即可．【解答】解：（1）①∵EF∥BC，∴，∴=，即的值是．②∵EH=x，∴KD=EH=x，AK=8﹣x，∵=，∴EF=，∴S=EH•EF=x（8﹣x）=﹣+24，∴当x=4时，S的最大值是24．（2）设正方形的边长为a，①当正方形PQMN的两个顶点在BC边上时，，解得a=．②当正方形PQMN的两个顶点在AB或AC边上时，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD=12÷2=6，第37页（共45页）∴AB=AC=，∴AB或AC边上的高等于：AD•BC÷AB=8×12÷10=∴，解得a=．综上，可得正方形PQMN的边长是或．【点评】（1）此题主要考查了相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．（2）此题还考查了二次函数的最值的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．（3）此题还考查了矩形、正方形、直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．22．（2015•邵阳）如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，求旗杆的高度．【考点】相似三角形的应用．【分析】根据题意可得：△DEF∽△DCA，进而利用相似三角形的性质得出AC的长，即可得出答案．【解答】解：由题意可得：△DEF∽△DCA，则=，第38页（共45页）∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5m，DC=20m，∴=，解得：AC=10，故AB=AC+BC=10+1.5=11.5（m），答：旗杆的高度为11.5m．【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，得出△DEF∽△DCA是解题关键．23．（2015•陕西）晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞．小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点（距N点5块地砖长）时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点（距N点9块地砖长）时，其影长BF恰好为2块地砖长．已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ．请你根据以上信息，求出小军身高BE的长．（结果精确到0.01米）【考点】相似三角形的应用．【分析】先证明△CAD～△MND，利用相似三角形的性质求得MN=9.6，再证明△EFB～△MFN，即可解答．【解答】解：由题意得：∠CAD=∠MND=90°，∠CDA=MDN，∴△CAD～△MND，∴，∴，∴MN=9.6，又∵∠EBF=∠MNF=90°，∠EFB=∠MFN，∴△EFB～△MFN，∴，∴∴EB≈1.75，∴小军身高约为1.75米．【点评】本题考查的是相似三角形的判定及性质，解答此题的关键是相似三角形的判定．第39页（共45页）24．（2015•崇左）一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．（1）求证：△AEF∽△ABC；（2）求这个正方形零件的边长；（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？【考点】相似三角形的应用；二次函数的应用．【专题】压轴题．【分析】（1）根据矩形的对边平行得到BC∥EF，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”判定即可．（2）根据正方形边的平行关系，得出对应的相似三角形，即△AEF∽△ABC，△BFG∽△BAD，从而得出边长之比，，得到，进而求出正方形的边长；（3）分别讨论长方形的长和宽在BC上的情况，再根据相应得关系式得出所求．【解答】解：（1）∵四边形EGFH为矩形，∴BC∥EF，∴△AEF∽△ABC；（2）设正方形零件的边长为a在正方形EFGH中，EF∥BC，EG∥AD∴△AEF∽△ABC，△BFG∽△BAD∴，，∴，即：解得：a=48即：正方形零件的边长为48；（3）设长方形的长为x，宽为y，当长方形的长在BC时，由（1）知：，∵，∴当，即x=60，y=40，xy最大为2400第40页（共45页）当长方形的宽在BC时，，∵，∴当，即x=40，y=60，xy最大为2400，又∵x≥y，所以长方形的宽在BC时，面积＜2400综上，长方形的面积最大为2400．【点评】本题考查了正方形以及矩形的性质，结合了平行线的比例关系求解，注意数形结合的运用．25．（2015•湖州模拟）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．【考点】相似三角形的判定；正方形的性质；平行线分线段成比例．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；（2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求得BG的长．【解答】（1）证明：∵ABCD为正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，∵AE=ED，∴，∵DF=DC，∴，∴，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵ABCD为正方形，∴ED∥BG，∴，第41页（共45页）又∵DF=DC，正方形的边长为4，∴ED=2，CG=6，∴BG=BC+CG=10．【点评】此题考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似）、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用．解题的关键是数形结合思想的应用．26．（2015•镇江）某兴趣小组开展课外活动．如图，A，B两地相距12米，小明从点A出发沿AB方向匀速前进，2秒后到达点D，此时他（CD）在某一灯光下的影长为AD，继续按原速行走2秒到达点F，此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得这个影长为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到