固体物理第九章6

9-6晶格弛豫及其对电子跃迁的影响固体中的杂质和缺陷束缚电子所形成的局域电子态和自由原子束缚的电子有一个很重要的区别，即固体中局域态的波函数总是在一定程度上扩展到四周晶格原子之中而与晶格原子密切相互作用。由于这种相互作用，局域态中的电子使四周晶格原子的平衡位置发生或多或少的移动，当电子处于不同的电子态时，原子的平衡位置将有所不同，这种依赖于电子态的晶格畸变现象常称为晶格弛豫。晶格弛豫将会使电子在跃迁的过程中，发射或吸收若干声子，称为多声子跃迁。晶格弛豫引起多声子跃迁的基本思想为：根据跃迁的微扰理论，跃迁几率主要取决于跃迁的初态和末态波函数之间的微扰矩阵元。由于电子跃迁前后，晶格位形要发生一定变化，在初态和末态的波函数中必须包含描述晶格运动的振动波函数。从晶格的简正坐标来看，跃迁前后原子平衡位置的移动意味着坐标原点的移动。即由于晶格弛豫使电子跃迁前后的晶格坐标发生相对移动，这样就破坏了原来量子数不同的振动波函数之间的严格正交关系，从而使跃迁前后晶格振动的量子数（即声子的数目）可以不同，而跃迁矩阵元并不为零，这就意味着，在电子跃迁过程中原则上可以伴随着任何声子数目的变化。或者说，按照绝热近似理论，光吸收和发射前后，晶格原子的平衡位置应有所不同。因为电子由一个状态越到另一个状态，离子的平衡位置也会发生一定的变化，因为电子的位置变了，离子所受的力也不同了，所以离子的平衡位置就会有所变化。这导致我们描述晶格振动，如果平衡点没有移动，在一个跃迁的过程里，如电子与声子无作用，则声子数目不可能改变，这就称之为声子波函数的正交性，即每种声子模式数目都不变。

如果声子数目一变，破坏了声子波函数的正交性，即在晶格发生位移后，在跃迁前后这两个波函数的重叠积分，即使声子数目变了，它也不等于零，是个有限的值。如原子在平衡位置的变化越大，声子改变的数目就越多。因为晶格缺陷中的电子从一个量子态跃到另一量子态，电子四周的晶格离子的平衡位置一般会发生一定位的位移称为晶格弛豫。在缺陷电子跃迁中，如果电子与声子间无相互作用，则在电子跃迁前后声子数目不能改变。这是由于声子之间的正交性。但是当电子跃迁导致晶格弛豫时，就破坏了这种正交性，使声子数目在电子跃迁前后可以发生或多或少的变化。定量的理论是以绝热近似为基础的。按照绝热近似，局域电子态和与之相互作用的晶格振动的波函数可以写为r和Q分别为电子坐标和晶格振动坐标。

满足

是单纯的电子哈密顿量。

是电子——声子相互作用

代表依赖于参量Q的本征值。i表示不同的原子态电子态反作用于晶格，使描述晶格振动的波函数满足：

代表晶格振动本身的哈密顿量在有许多模，s=1，2，3，…,N的情形,对晶格振动取简谐近似对只保留线性项保留线性项，取为：

，

单纯电子哈密顿量的本征值引入参量代入晶格波函数方程得到使

成为晶格振动新原点

即表达了电子态i的晶格弛豫，使电子态能量下降了正好是位移所对应的“弹性能”。本征函数本征值这里的振动量子数ns也就是各个振动模中的声子数，可以发生变化。下面结合只有一个振动模与局域态电子相互作用的简单模型，扼要介绍局域态电子在发射或吸收光子的同时发射多个声子。无论发射还是吸收光子，其跃迁几率一般都正比于电子偶极矩在初态和末态的波函数之间矩阵元的平方。跃迁几率跃迁几率其中上式表明发射或吸收不同数目声子的相对几率完全决定与于跃迁前后简谐振子波函数之间的重叠积分。在kBT<<声子能量时，可认为跃迁前电子处于振动基态。发射n个声子的几率

参量表示跃迁中晶格弛豫能折合的声子数。电子在跃迁中发射不同数目的声子，使相应的发射或吸收光谱分裂成一系列光谱线。CdS带边辐射平均发射声子能量代表由于多声子发射导致的光谱“质心”移动，对于发射谱，“质心”向低能量方向移动△E；对于吸收谱，“质心”向高能量方向移动△E。对于电子—声子耦合较强s>>1，而且多声子谱线不能明显分辨，而形成光谱带的情形。光谱的“质心”实际上代表了光谱峰值的位置。采用位形坐标可生动形象的描述晶格弛豫的现象。特别适用于把晶格坐标当作经典变量的准经典近似。实际的局域电子态往往不止同一个模相互作用，但单一模的多声子发射几率公式为更普遍的情形提供了基础。如果有频率相同的若干个振动模与局域态相互作用，它们完全等效于一个具有相同弛豫能的单一模，所以这种情形可以直接采用单一模的多声子发射几率公式。在有不同频率的多个振动模的情形，其电子跃迁前后振动波函数的重叠积分就是各个模的重叠积分的乘积，所以，只要把单模的多声子发射几率，按所有各个模相乘就得到在多数情况下，各类多声子发射的几率。有限温度下的多声子跃迁几率形式上也可以利用单一核的几率公式表达。有限温度下，既可以发射声子，还可以吸收声子，但具有耦合参数s的一个振动模，在有限温度下发射或吸收声子的几率，形式上具有相当于两个假想的模按上面提到的单一模的多声子发射几率公式发射声子。两个模的声子分别具有正的和负的能量以及耦合参量和，是温度T时的热平

均声子数在有限温度T，净发射n个声子的几率可以写为这个式子把凡是两个假想模净发射

的所有可能都加了起来。在有限温度下，多数模作用的情况下，发射或吸收光谱“质心”的移动，和以上单模情形一样，仍旧等于跃迁前后晶格弛豫能（即所有模